人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教案设计

《函数的单调性与最大（小）值》教学设计

第一课时   函数的单调性

通过观察一些函数图像的特征，形成增（减）函数的直观认识。再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义。 掌握用定义证明函数单调性的步骤。函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

【知识与能力目标】

1、结合具体函数，了解函数的单调性及其几何意义；

2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质；

3、能够应用定义判断函数在某区间上的单调性。

【过程与方法目标】

借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的思想，运用定义进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好的思维习惯。

【情感态度价值观目标】

通过直观的图像体会抽象的概念，通过交流合作培养学生善于思考的习惯。

【教学重点】

函数单调性的概念。

【教学难点】

判断、证明函数单调性。

从观察具体函数图像引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。

(一)创设情景，揭示课题

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究。他经过测试，得到了以下一些数据：

以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数。艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,

如图：

思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个

试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？

思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？

（二）研探新知

观察下列各个函数的图像，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

 随x的增大，y的值有什么变化？

 能否看出函数的最大、最小值？

 函数图像是否具有某种对称性？

画出下列函数的图像，观察其变化规律：

（1）f(x) = x                                 （2）f(x) = x2    

思考1： 这两个函数的图像分别是什么？二者有何共同特征？

思考2： 如果一个函数的图像从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？

思考3： 如图为函数f(x)在定义 域I内某个区间D上的图像，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1＜x2时， f(x1)与f(x2)的大小关系如何？

思考4:  我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是增函数”？

1、函数单调性定义

（1）增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）。

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义。（学生活动）

注意：

 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 。

2、函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

（三）例题讲解

例1 、如图是定义在闭区间[-5，6]上的函数y=f(x) 的图像，根据图像说出 y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数。

例2 、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性定义证明。

例3 、试确定函数在区间上的单调性。

3、判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

 任取x1，x2∈D，且x1<x2；

 作差f(x1)－f(x2)；

 变形（通常是因式分解和配方）；

 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

（四）课堂练习：

1、课本P38练习第3题；

2、证明函数在（1，+∞）上为增函数。

3、借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图像并指出它的的单调区间。

思考：画出反比例函数的图像。

 这个函数的定义域是什么？

 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论。

说明：本例可利用几何画板、函数图像生成软件等作出函数图像。

（五）课堂小结

函数的单调性一般是先根据图像判断，再利用定义证明。画函数图像通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论。

（六）   布置作业

1、  书面作业：课本P45 习题1．3（A组） 第1- 5题。

2、提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，

 求f(0)、f(1)的值；

 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集。

略。

第二课时   函数的最大（小）值

在函数单调性基础上，学生已经体会了在定义域范围内函数值大小的变化，本节课将这种函数值大小更加具体化，进一步认识在定义域范围内函数的最大、最小值，并初步接触简单的求函数最大、最小值的方法，同时对于常见函数模型有进一步的接触和认识。

【知识与能力目标】

1、理解函数的最大（小）值及其几何意义；

2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

【过程与方法目标】

通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图像的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图像的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识。

【情感态度价值观目标】

利用函数的单调性和图像求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性。

【教学重点】

函数的最大（小）值及其几何意义。

【教学难点】

利用函数的单调性求函数的最大（小）值。

引导学生进行课前复习和预习，加强对函数单调性的认识，对函数最大、最小值有个初步的认识和了解。

(一)创设情景，揭示课题

问题提出：

1、确定函数的单调性有哪些手段和方法？

2、函数图像上升与下降反映了函数的单调性，如果函数的图像存在最高点或最低点，它又反映了函数的什么性质？

（二）研探新知

观察下列两个函数的图像：

思考1:这两个函数图像有何共同特征？函数图像上最高点的纵坐标叫什么名称？

思考2:设函数y=f(x)图像上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？

思考3:设函数f(x)=1-x2，则f(x)≤2成立吗？f(x)的最大值是2吗？为什么？

思考4:怎样定义函数f(x)的最大值？用什么符号表示？

函数最大（小）值定义

（1）最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）。

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义。（学生活动）

注意：

 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；

 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。

（三）例题讲解

例1、（教材P37例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值。

例2、（新题讲解）一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

欲使每天的营业额最高，应如何定价？

解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系。

设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得

=150··。

由于≤1，可知0≤≤90。

因此问题转化为：当0≤≤90时，求的最大值的问题。

将的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50＋17600。

由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）。所以该客房定价应为135元。（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）

说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图像确定函数的最大（小）值。

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法。

 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；

 利用图像求函数的最大（小）值；

 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值。

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式。

（四）课堂练习：

1、教材P38练习4。

2、如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，

如果矩形一边长为x，面积为y，试将y表示成x的函数，并画出

函数的大致图像，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

（五）课堂小结

本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：①图像法 ②单调法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域。

（六）布置作业

课本P45 习题1．3（A组） 第6、7、8题。

略。