2021学年1.3导数在研究函数中的应用复习课件ppt

这是一份2021学年1.3导数在研究函数中的应用复习课件ppt，共29页。PPT课件主要包含了值则a＝，值分别，－15，－4－15，－16，考点1，讨论函数的单调性，y＝3x＋1，考点2，互动探究等内容，欢迎下载使用。

1．函数 f(x)＝x3－3x2＋1 是减函数的区间为(A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0,2)
2．函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)在 x＝－3 时取得极
3．函数 y＝2x3－3x2－12x＋5 在区间[0,3]上最大值与最小
解析：y′＝ex＋xex＋2，斜率 k＝e0＋0＋2＝3，所以，y－1＝3x，即 y＝3x＋1.
例 1：设函数 f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线 y＝8 相切，求 a、b的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值点．
5．曲线 y＝xex＋2x＋1 在点(0,1)处的切线方程为_________.
解题思路：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值．解析：(1)f′(x)＝3x2－3a，∵曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线 y＝8 相切，
(2)∵f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当 a＜0 时，f′(x)＞0，函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数 f(x)没有极值点．当 x∈(－∞，－ a)时，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增，当 x∈(－ a， a)时，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减，当 x∈( a，＋∞)时，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增，∴此时 x＝－ a是 f(x)的极大值点，x＝ a是 f(x)的极小值点．本题出错最多的就是将(1)中结论 a＝4 用到(2)中．
【互动探究】1．设函数 f(x)＝xekx (k≠0)．(1)求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数 f(x)的单调区间；(3)若函数 f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求 k 的取值范围．
导数与函数的极值和最大(小)值
例 2：设函数 f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c 在 x＝1 及 x＝2 时取得极值．(1)求 a、b 的值；(2)若对于任意的 x∈[0,3]，都有 f(x)例 3：已知函数 f(x)是(0，＋∞)上的可导函数，若 xf′(x)>f(x)在 x>0 时恒成立．
(2)求证：当 x1>0，x2>0 时，有 f(x1＋x2)>f(x1)＋f(x2)．
因为 xf′(x)>f(x)，所以 g′(x)>0 在 x>0 时恒成立，
在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)知函数 g(x)＝
在(0，＋∞)上是增函数，
所以当 x1>0，x2>0 时，
两式相加得 f(x1＋x2)>f(x1)＋f(x2)．
≤ln(x＋1)≤x.
【互动探究】3．已知函数 f(x)＝ln(x＋1)－x.(1)求函数 f(x)的单调递减区间；
(2)若 x＞－1，证明：1－
(1)解：函数 f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
由 f′(x)＜0 及 x＞－1，得 x＞0.所以当 x∈(0，＋∞)时，f(x)是减函数，即 f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．(2)证明：由(1)知，当 x∈(－1,0)时，f′(x)＞0；当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0.因此，当 x＞－1 时，f(x)≤f(0)，即 ln(x＋1)－x≤0，
所以 ln(x＋1)≤x.
令 g(x)＝ln(x＋1)＋
1 1x＋1 (x＋1)
当 x∈(－1,0)时，g′(x)＜0；当 x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0.所以当 x＞－1 时，g(x)≥g(0)，
－1≥0，ln(x＋1)≥1－
综上可知，若 x＞－1，则 1－
错源：f′(x0)＝0 是 f(x0)为极值的必要但不充分条件例 4：已知函数 f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2 在 x＝－1 时有极值0，则 m＝_______，n＝________.
误解分析：对 f(x)为极值的充要条件理解不清，导致出现多 解．正解：f′(x)＝3x2＋6mx＋n，由题意，f′(－1)＝3－6m＋n＝0，f(－1)＝－1＋3m－n＋m2＝0，
即 x＝－1 不是 f(x)的极值点，应舍去．故 m＝2，n＝9.
纠错反思：f′(x)=0 是 f(x0)为极值的必要但不充分条件,判断x0不是极值点需要检查 x0侧 f′(x)的符号.如果左正右负，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值；如果左负右正，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值；如果符号相同，那么 f(x0)不是函数 f(x)的极值.此题就没有讨论在两种情况下，f(-1)是不是为极值.本题说明用导数求函数极值时一定要判断某函数值是不是极值，要检验相关区间内导数的符号.
【互动探究】4．设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图 4－
2－1，则 y＝f(x)的图像最有可能的是(图 4－2－1
解析：由导函数的图像知，导函数在 x＝0 和 x＝2 时的导函数值为 0，故原来的函数 y＝f(x)在 x＝0 和 x＝2 时取得极值．当 x≤0 或 x≥2 时，导函数值为正(或 0)，当 0＜x＜2 时，导函数值为负，所以当 x≤0 或 x≥2 时函数 y＝f(x)为增函数，当 0＜x＜2 时，函数 y＝f(x)为减函数，故选项为 C.
(2)若 z＝a＋2b，求 z 的取值范围．
解析：f′(x)＝ax2－2bx＋2－b.(1)由函数 f(x)在 x＝x1 处取得极大值，在 x＝x2处取得极小值，知 x1、x2是 f′(x)＝0 的两个根．所以 f′(x)＝a(x－x1)(x－x2)．当 x0，由 x－x1<0，x－x2<0 得 a>0.(2)在题设下，01．求函数的极值的步骤：
(1)确定函数的定义区间，求导数 f′(x)．(2)求方程 f′(x)＝0 的根．
(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查 f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值．
2．求函数最值的步骤：
(1)求出 f(x)在(a，b)上的极值．(2)求出端点函数值 f(a)、f(b)．
(3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值．
1．(2010 年佛山调研)已知函数 f(x)＝x2＋ax＋blnx(x>0，实
数 a、b 为常数)．
(1)若 a＝1，b＝－1，求函数 f(x)的极值；(2)若 a＋b＝－2，讨论函数 f(x)的单调性．
(1)求函数 f(x)为奇函数的充要条件；
(2)若任取 a∈[0,4]，b∈[0,3]，求函数 f(x)在 R 上是增函数
所以 f(x)为奇函数．
故 f(x)为奇函数的充要条件是 a＝1.(2)因为 f′(x)＝x2－2(a－1)x＋b2.
若 f(x)在 R 上是增函数，则对任意 x∈R，f′(x)≥0 恒成立．所以Δ＝4(a－1)2 －4b2≤0，即|a－1|<|b|.设“f(x)在 R 上是增函数”为事件 A，
则事件 A 对应的区域为{(a，b)||a－1|<|b|}．
又全部试验结果Ω＝{(a，b)|0≤a≤4,0≤b≤3}，如图 4－2