高中人教版新课标A1.3导数在研究函数中的应用免费课后复习题

这是一份高中人教版新课标A1.3导数在研究函数中的应用免费课后复习题，共22页。试卷主要包含了3　导数在研究函数中的应用，函数y=x3-3x2-9x有，函数f= lnxx,则，下列四个函数等内容，欢迎下载使用。

第一章　导数及其应用
1.3　导数在研究函数中的应用
1.3.2　函数的极值与导数
基础过关练
题组一　极值的概念
1.已知函数f(x)在点x0处连续,下列命题中正确的是(　　)
A.导数为零的点一定是极值点
B.如果在点x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值
C.如果在点x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极小值
D.如果在点x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极大值
2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是(　　)

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
3.(2019内蒙古开来中学高二期中)函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法错误的是(　　)

A.(-1,3)为函数y=f(x)的单调递增区间
B.(3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间
C.函数y=f(x)在x=5处取得极小值
D.函数y=f(x)在x=0处取得极大值
4.(2019北京海淀一o一中学高二下期中)已知函数y=f(x) 的导函数f'(x)的图象如图所示,则f(x)的极大值点共有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(2019北京八中高二下期中)如图是函数y= f(x)的导函数y= f'(x)的图象,给出下列命题:①-2是函数y= f(x)的极值点;②1是函数y= f(x)的极值点;③函数y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零;④y= f(x)在区间(-2,2)上单调递增.其中真命题的序号是　　　　. 


题组二　不含参函数的导数与极值(点)
6.(2020黑龙江牡丹江第三高级中学高二期末)函数y=x3-3x2-9x(-2 A.极大值5,极小值-22 B.极大值5,极小值-2
C.极大值5,无极小值 D.极小值-22,无极大值
7.(2019天津耀华中学高二下期中)函数f(x)= lnxx,则(　　)
A.x=e为函数f(x)的极大值点
B.x=e为函数f(x)的极小值点
C.x=1e为函数f(x)的极大值点
D.x=1e为函数f(x)的极小值点
8.(2019北京海淀一o一中学高二下期中)下列四个函数:①y=x3;②y=x2+1;
③y=|x|;④y=2x,其中在x=0处取得极值的是(　　)
A.①② B.②③
C.③④ D.①③
9.(2019内蒙古包头高二下期中)已知函数f(x)=2ef'(e)ln x-xe,则f(x)的极大值点为(　　)
A.1e B.1
C.e D.2e
10.(2019河南驻马店高二上期末)函数f(x)=x3-3x的极大值为　　　　. 

题组三　含参函数的导数与极值(点)
11.(2019四川成都七中高三模考)若函数f(x)=x(x-c)2 在x=2处有极大值,则常数c为(　　)
A.2或6 B.2
C.6 D.-2或-6
12.(2019辽宁丹东高三总复习质量测试)若x=1是函数f(x)=13x3+(a+1)x2-(a2+a-3)x的极值点,则a的值为(　　)
A.-2 B.3
C.-2或3 D.-3或2
13.(2019河北邢台一中高二下月考)设a<0,若函数y=ex+2ax,x∈R有小于零的极值点,则实数a的取值范围是　　　　. 
14.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求出f(x)的极大值.















题组四　导数与极值的综合运用
15.(2019辽宁省实验中学高二上期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n2+k+12,则f(x)=x3-kx2-2x+1的极大值为(　　)
A.52 B.3 C.72 D.2
16.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则 f'(1)f'(0)=　　　　. 

17.(2019湖南长沙铁路一中高二上期末)已知函数f(x)=ax2+bln x在x=1处有极值12.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数y=f(x)的单调性并求出单调区间.






18.(2019安徽高三上联考)已知函数f(x)=(a-1)ln x+x+ax.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;
(2)讨论f(x)的单调性与极值点.








能力提升练
一、选择题
1.(2019福建泉州高三月考,★★☆)已知函数f(x)=ax3-bx+2的极大值和极小值分别为M,m,则M+m=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.4
2.(2019四川雅安高二下期末,★★☆)已知函数f(x)=12e2x+(a-e)ex-aex+b(a,b∈R)在x=1时取得极大值,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-e) B.(-∞,0)
C.(-e,0) D.[0,+∞)

二、填空题
3.(2019北京西城高二下期末,★★☆)能说明“若f'(0)=0,则x=0是函数y=f(x)的极值点”为假命题的一个函数是　　　　. 
4.(2019甘肃临夏中学高二下期中,★★☆)如图为y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下列判断正确的是　　　　.(填序号) 
①f(x)在(-3,1)内是增函数;②x=-1是f(x)的极小值点;③f(x)在(2,4)内是减函数,在(-1,2)内是增函数;④x=1是f(x)的极大值点.

5.(2019河北鹿泉一中高二月考,★★☆)若函数y=ln x+ax2-(2a+1)x(a>0)在x=1处取得极小值,则a的取值范围是　　　　. 

三、解答题
6.(★★☆)已知函数 f(x)=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3.
(1)求a,b的值;
(2)求函数 f(x)的极小值.




7.(★★☆)设函数f(x)=2ln x-x2+ax+2.
(1)当a=3时,求f(x)的单调区间和极值;
(2)若直线y=-x+1是曲线y=f(x)的切线,求a的值.






8.(2019北京西城高二下期末,★★☆)已知函数f(x)=ex-aln x-x.
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在区间(0,1)上存在极值点,求a的取值范围.







9.(2019北京朝阳高三二模,★★☆)已知函数f(x)=(2ax2+4x)ln x-ax2-4x(a∈R,且a≠0).
(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)的极小值为1a,求a的值.




答案全解全析
基础过关练
1.B　根据极值的概念,在点x0附近的左侧f'(x)>0,函数单调递增;在点x0附近的右侧 f'(x)<0,函数单调递减,所以f(x0)为极大值.
2.D　由题图可得函数y=(1-x)f'(x)的零点为-2,1,2,则当x<1时,1-x>0,此时在(-∞,-2)上y>0, f'(x)>0,在(-2,1)上y<0, f'(x)<0;当x>1时,1-x<0,此时在(1,2)上y>0, f'(x)<0,在(2,+∞)上y<0,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-2)上为增函数,在(-2,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,因此f(x)有极大值f(-2),极小值f(2),故选D.
3.D　由题图可知:
当x<-1时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当-10,函数f(x)单调递增;
当3 当x>5时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
综上,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(3,5),单调递增区间为(-1,3)和(5,+∞),且函数f(x)在x=-1和x=5处取得极小值,在x=3处取得极大值.
4.B　由题中函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象可知,
函数y=f(x)在区间(-3,-2)和(-1,2)上递增;
在区间(-2,-1)和(2,3)上递减,
f'(x)在x=-2两边左正右负,
f'(x)在x=2两边左正右负,
所以x=±2是函数y=f(x)的极大值点,
则f(x)的极大值点共有2个.故选B.
5.答案　①④
解析　命题①:通过题中导函数的图象可知当x∈(-∞,-2)时, f'(x)<0,所以函数y=f(x)单调递减,当x∈(-2,1)时, f'(x)>0,所以函数y=f(x)单调递增,故-2是函数y=f(x)的极值点,故本命题是真命题;
命题②:通过题中导函数的图象可知,当x∈(-2,1)时, f'(x)>0,所以函数y=f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0,所以函数y=f(x)单调递增,故1不是函数y=f(x)的极值点,故本命题是假命题;
命题③:由题图可知f'(0)>0,所以函数y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率大于零,故本命题是假命题;
命题④:由题图可知当x∈(-2,2)时, f'(x)≥0,且只有当x=1时, f'(x)=0,所以函数y=f(x)单调递增,故本命题是真命题.
故真命题的序号是①④.
6.C　y'=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),
当x∈(-2,-1)时,y'>0,函数单调递增;当x∈(-1,2)时,y'<0,函数单调递减,
∴当x=-1时,函数取得极大值,极大值为-1-3+9=5,无极小值.
7.A　f'(x)=1-lnxx2,故当00,函数单调递增,当x>e时, f'(x)<0,函数单调递减,故x=e为函数的极大值点.
8.B　因为函数y=x3与函数y=2x在R上递增,所以函数y=x3与函数y=2x都没有极值,所以①④不合题意,排除A、C、D.故选B.
9.D　因为f(x)=2ef'(e)ln x-xe(x>0),
所以f'(x)=2ef'(e)x-1e,
所以f'(e)=2ef'(e)e-1e=2f'(e)-1e,
因此f'(e)=1e,所以f'(x)=2x-1e,
令f'(x)>0,得02e,
所以函数f(x)在(0,2e)上单调递增,在(2e,+∞)上单调递减,因此f(x)的极大值点为x=2e.
10.答案　2
解析　∵f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
令f'(x)>0,得x<-1或x>1;
令f'(x)<0,得-1 ∴函数f(x)在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
∴函数f(x)=x3-3x在x=-1时取得极大值2.故答案为2.
11.C　f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,
则f'(x)=3x2-4cx+c2,
由题意知f'(2)=0,即12-8c+c2=0,解得c=6或c=2.
又函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,
故导数值f'(x)在x=2附近的左侧为正数,右侧为负数.
当c=2时, f'(x)=3x2-8x+4=3x-23(x-2),不满足导数值在x=2附近的左侧为正数,右侧为负数.
当c=6时, f'(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12)=3(x-2)(x-6),满足导数值在x=2附近的左侧为正数,右侧为负数.
综上,c=6.
12.B　f(x)=13x3+(a+1)x2-(a2+a-3)x,
则f'(x)=x2+2(a+1)x-(a2+a-3),由题意可知f'(1)=0,即1+2(a+1)-(a2+a-3)=0,解得a=3或a=-2.
当a=3时, f'(x)=x2+8x-9=(x+9)(x-1),
当x>1或x<-9时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当-9 当a=-2时, f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,且只有当x=1时,等号成立,所以函数在R上是单调递增函数,没有极值,不符合题意,舍去.故选B.
13.答案　-12,0
解析　函数y=ex+2ax,x∈R有小于零的极值点等价于y'=0有小于零的根,即ex=-2a有小于零的实数根x0,
当x0∈(-∞,0)时,ex0∈(0,1),所以-2a∈(0,1),所以a∈-12,0.
14.解析　(1)f'(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=4, f'(0)=4,即b=4,a+b=8,从而a=4,b=4.
(2)由(1)知, f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,
则f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)ex-12.
令f'(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.
从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,-ln 2)时, f'(x)<0.
故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.
当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).
15.A　由于等差数列前n项和公式中,常数项为0,故k+12=0,k=-12,所以f'(x)=3x2+x-2=(3x-2)(x+1),故函数在(-∞,-1),23,+∞上单调递增,在-1,23上单调递减,故当x=-1时, f(x)取得极大值,为f(-1)=52.故选A.
16.答案　1
解析　f'(x)=3mx2+2nx+p,
由题中三次函数的图象可知,x=2是函数的极大值点,x=-1是极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个根,
由f'(-1)=3m-2n+p=0, f'(2)=12m+4n+p=0,
解得p=-6m,2n=-3m,
∵f'(0)=p=-6m, f'(1)=p=-6m,
∴f'(1)f'(0)=1,
故答案为1.
17.解析　(1)f'(x)=2ax+bx,
则2a+b=0,a×12+bln1=12,解得a=12,b=-1.
(2)由(1)知f(x)=12x2-ln x,其定义域为(0,+∞), f'(x)=x+-1x=x2-1x,
令f'(x)=0,则x=1或-1(舍去),
所以当01时, f'(x)>0, f(x)单调递增.
所以f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).
18.解析　(1)当a=1时, f(x)=x+1x,
则f(2)=52, f'(x)=1-1x2,
所以所求切线的斜率为k=f'(2)=1-14=34.
故所求的切线方程为y-52=34(x-2),即3x-4y+4=0.
(2)y=f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=a-1x+1-ax2=x2+(a-1)x-ax2=(x+a)(x-1)x2.
①若a≥0,
则当x∈(0,1)时, f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0,
所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
此时, f(x)的极小值点为1.
②若a<0,则由f'(x)=0得x=-a或x=1.
(i)当-1 当x∈(0,-a)∪(1,+∞)时, f'(x)>0,当x∈(-a,1)时, f'(x)<0,
所以f(x)在(0,-a)和(1,+∞)上单调递增,在(-a,1)上单调递减.
此时, f(x)的极小值点为1,极大值点为-a.
(ii)若a=-1,则f'(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, f(x)无极值.
(iii)若a<-1,则-a>1,
当x∈(0,1)∪(-a,+∞)时, f'(x)>0,当x∈(1,-a)时, f'(x)<0,
所以f(x)在(0,1)和(-a,+∞)上单调递增,在(1,-a)上单调递减.
此时, f(x)的极小值点为-a,极大值点为1.

能力提升练
一、选择题
1.D　f'(x)=3ax2-b,设方程3ax2-b=0的两个根为x1,x2,故f(x)在x1,x2处取到极值,
M+m=4-b(x1+x2)+a(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2],而x1+x2=0,x1x2=-b3a,
所以M+m=4,故选D.
2.A　f(x)=12e2x+(a-e)ex-aex+b(a,b∈R),则f'(x)=e2x+(a-e)ex-ae=(ex+a)(ex-e),
当a≥0时,ex+a>0,由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得x<1,所以f(x)在x=1时取得极小值,不符合题意;
当a<0时,令f'(x)=0,得x=1或x=ln(-a),为使f(x)在x=1时取得极大值,则有ln(-a)>1,所以a<-e.故选A.

二、填空题
3.答案　f(x)=x3(答案不唯一)
解析　极值点的导数必须为0,且极值点左右两侧的函数单调性相反.
函数f(x)=x3,当x=0时, f'(0)=3×02=0,
但是f(x)=x3在R上单调递增,
所以x=0不是函数f(x)=x3的极值点.
4.答案　②③
解析　①错,因为在(-3,-1)上f'(x)<0,在(-1,1)上f'(x)>0,所以f(x)在(-3,-1)内是减函数,在(-1,1)内是增函数;
②正确,因为f'(x)在(-3,-1)上为负,
f'(-1)=0, f'(x)在(-1,2)上为正;
③正确,因为在(2,4)内f'(x)<0,故f(x)在(2,4)内是减函数,
在(-1,2)内f'(x)>0,故f(x)在(-1,2)内为增函数;
④错, f'(1)≠0,故x=1不是极值点.
5.答案　a>12
解析　由题意得函数的定义域(0,+∞),
yꞌ=1x+2ax(2a+1)= 2ax2-(2a+1)x+1x =2a(x-1)x-12ax,
当12a>1时,令y'>0,得x∈(0,1)∪12a,+∞,令y'<0,得x∈1,12a,即函数y=
ln x+ax2-(2a+1)x在x=1处取得极大值,不符合题意;
当12a=1时,y'=2a(x-1)2x=(x-1)2x≥0恒成立,即函数不存在极值;
当0<12a<1时,令y'>0,得x∈0,12a∪(1,+∞),令y'<0,得x∈12a,1,即函数y=
ln x+ax2-(2a+1)x在x=1处取得极小值,符合题意,此时a>12.

三、解答题
6.解析　(1)f'(x)=3ax2+2bx,
由题意得f(1)=3,f'(1)=0,即a+b=3,3a+2b=0,
解得a=-6,b=9,经检验知,满足题意.
(2)由(1)得f(x)=-6x3+9x2,
所以f'(x)=-18x2+18x,
令f'(x)=0,解得x=0或x=1,
当00,当x<0时, f'(x)<0,
所以x=0是极小值点,
所以f(x)极小值=f(0)=0.
7.解析　f(x)的定义域为(0,+∞).
(1)当a=3时, f(x)=2ln x-x2+3x+2,
所以f'(x)=2x-2x+3=-2x2+3x+2x,
令f'(x)=-2x2+3x+2x=0,
得-2x2+3x+2=0,因为x>0,所以x=2.
f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如下:
x
(0,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
2ln 2+4
↘
所以f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞),
所以f(x)有极大值,极大值为2ln 2+4,f(x)无极小值.
(2)因为f(x)=2ln x-x2+ax+2,所以f'(x)=2x-2x+a.
设直线y=-x+1与曲线y=f(x)的切点为(x0, f(x0)),
则f'(x0)=-1,即2x02-(a+1)x0-2=0.①
又因为f(x0)=2ln x0-x02+ax0+2=-x0+1,
即2ln x0-x02+(a+1)x0+1=0,②
所以由①②得2ln x0+x02-1=0.
设g(x)=2ln x+x2-1,
因为g'(x)=2(1+x2)x>0(x>0),
所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
因为g(1)=0,即x0=1.
所以a=-1.
8.解析　(1)当a=-1时, f(x)=ex+ln x-x,x>0.
所以f'(x)=ex+1x-1,f(1)=e-1,
所以 f'(1)=e,
曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-(e-1)=e(x-1),
整理得ex-y-1=0.
(2)因为f(x)=ex-aln x-x,x>0.
所以f'(x)=ex-ax-1=xex-x-ax,
依题意, f'(x)在区间(0,1)上存在变号零点.
因为x>0,设g(x)=xex-x-a,所以g(x)在区间(0,1)上存在变号零点.
因为g'(x)=ex(x+1)-1,
所以,当x∈(0,1)时,ex>1,x+1>1,
所以ex(x+1)>1,即g'(x)>0,
所以g(x)在区间(0,1)上为单调递增函数,
所以g(0)<0,g(1)>0,即-a<0,e-1-a>0,
解得0 综上,若f(x)在区间(0,1)上存在极值点,则a的取值范围是(0,e-1).
9.解析　(1)因为f(x)=(2ax2+4x)ln x-ax2-4x(a∈R,且a≠0),
所以f'(x)=4(ax+1)ln x,x∈(0,+∞),
f'(1)=0, f(1)=-a-4,
所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=-a-4.
(2)①当a<-1时, f'(x), f(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如下表:
x
0,-1a
-1a
-1a,1
1
(1,
+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
此时极小值为f-1a=3a-2aln-1a=1a,解得a=-1e>-1,故不成立.
②当a=-1时, f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
此时f(x)无极小值,故不成立.
③当-1 x
(0,1)
1
1,-1a
-1a
-1a,+∞
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
此时极小值为f(1)=-a-4=1a,解得a=-2+3或a=-2-3.
因为-1 ④当a>0时, f'(x), f(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
此时极小值为f(1)=-a-4=1a,解得a=-2+3或a=-2-3,故不成立.
综上,a=-2+3.