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人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念导学案及答案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念导学案及答案，共9页。
[目标] 1.记住向量、相等向量的概念，会向量的几何表示；2.记住共线向量的概念，并能找共线向量．
[重点] 理解并掌握向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量的概念，会表示向量．
[难点] 向量的概念，平行向量．
要点整合夯基础
知识点一 向量的概念和表示方法
[填一填]
1．向量：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．
2．向量的表示
(1)表示工具——有向线段．
有向线段包含三个要素：起点，方向，长度．
(2)表示方法：
向量可以用有向线段eq \(AB,\s\up15(→))表示，向量eq \(AB,\s\up15(→))的大小称为向量eq \(AB,\s\up15(→))的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up15(→))|.向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(CD,\s\up15(→)).
[答一答]
1．有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？
提示：有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示．因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念．
2．两个向量可以比较大小吗？
提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．
知识点二 向量的长度(或称模)与特殊向量
[填一填]
1．向量的长度定义：向量的大小．
2．向量的长度表示：向量eq \(AB,\s\up15(→))的长度记作：|eq \(AB,\s\up15(→))|；向量a的长度记作：|a|.
3．特殊向量
长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．
[答一答]
3．零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？
提示：零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同．
知识点三 相等向量与共线向量
[填一填]
1．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a＝b.
2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量a，b平行，记作a∥b.任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．
3．规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.
[答一答]
4．零向量与任意向量有什么关系？
提示：规定零向量与任意向量是共线向量．
5．向量平行与直线平行是一样的吗？
提示：两种平行不同.
典例讲练破题型
类型一 向量的有关概念
[例1] 判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；
(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．
[分析] 解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．
[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．
(3)不正确．依据规定：0与任意向量平行．
(4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
(5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．
1判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：①是否有大小，②是否有方向.
2注意两个特殊向量：零向量和单位向量.
3注意平行向量与共线向量的含义.
[变式训练1] (1)下列物理量中不是向量的有( A )
①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功；⑧电流强度．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
(2)在下列命题中，真命题为( B )
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量eq \(AB,\s\up15(→))与向量eq \(BA,\s\up15(→))的长度相等
C．向量就是有向线段
D．零向量是没有方向的
解析：(1)看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，②③④既有大小也有方向，是向量，①⑤⑥⑦⑧只有大小没有方向，不是向量．
(2)由于单位向量的方向不一定相同，故其终点不一定相同，故A错误；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故D错误；有向线段是向量的形象表示，但并非说向量就是有向线段，故C错误，故选B.
类型二 向量的几何表示
[例2] 已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000eq \r(2) km到达D地．画图表示向量eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(BC,\s\up15(→))，eq \(CD,\s\up15(→))，并指出向量eq \(AD,\s\up15(→))的模和方向．
[分析] 以A为原点建立直角坐标系，根据已知条件确定B、C、D三点的位置，再画上箭头就可得到向量eq \(AB,\s\up15(→))、eq \(BC,\s\up15(→))、eq \(CD,\s\up15(→))，通过D点位置就可确定向量eq \(AD,\s\up15(→))的模和方向．
[解] 以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．
据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(BC,\s\up15(→))，eq \(CD,\s\up15(→))如下图所示．
由已知可得，△ABC为正三角形，
∴AC＝2 000 km，又∠ACD＝45°，CD＝1 000eq \r(2) km，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴AD＝1 000eq \r(2) km，∠CAD＝45°.
故向量eq \(AD,\s\up15(→))的模为1 000eq \r(2)，方向为东南方向．
1用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答.
2作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点.
[变式训练2] 在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)|eq \(OA,\s\up15(→))|＝3，点A在点O的正西方向；
(2)|eq \(OB,\s\up15(→))|＝3eq \r(2)，点B在点O北偏西45°方向；
(3)求出|eq \(AB,\s\up15(→))|的值．
解：取每个方格的单位长为1，
依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示．
(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，
所以|eq \(AB,\s\up15(→))|＝eq \r(\(\s\up7( ),\s\d5(|\(OB,\s\up15(→))|2－|\(OA,\s\up15(→))|2)))＝3.
类型三 相等向量和共线向量
[例3] 在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，如图．
(1)写出与向量eq \(FC,\s\up15(→))共线的向量．
(2)求证：eq \(BE,\s\up15(→))＝eq \(FD,\s\up15(→)).
[分析] (1)与eq \(FC,\s\up15(→))共线的向量需具备什么条件？(与eq \(FC,\s\up15(→))的方向相同或相反)
(2)eq \(BE,\s\up15(→))＝eq \(FD,\s\up15(→))必须具备什么条件？(①|eq \(BE,\s\up15(→))|＝|eq \(FD,\s\up15(→))|，②二者方向相同)
[解] (1)由满足共线向量的条件得与向量eq \(FC,\s\up15(→))共线的向量有：eq \(CF,\s\up15(→))，eq \(BC,\s\up15(→))，eq \(CB,\s\up15(→))，eq \(BF,\s\up15(→))，eq \(FB,\s\up15(→))，eq \(ED,\s\up15(→))，eq \(DE,\s\up15(→))，eq \(AE,\s\up15(→))，eq \(EA,\s\up15(→))，eq \(AD,\s\up15(→))，eq \(DA,\s\up15(→)).
(2)证明：在▱ABCD中，AD綉BC.
又E、F分别为AD、BC的中点，∴ED綉BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE綉FD，∴eq \(BE,\s\up15(→))＝eq \(FD,\s\up15(→)).
1共线向量和相等向量有何关系？,共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
2如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？
①证明线段相等，只要证明相应的向量长度模相等.②证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线.
[变式训练3] 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是( D )
A．与eq \(AB,\s\up15(→))相等的向量只有一个(不含eq \(AB,\s\up15(→)))
B．与eq \(AB,\s\up15(→))的模相等的向量有9个(不含eq \(AB,\s\up15(→)))
C.eq \(BD,\s\up15(→))的模恰为eq \(DA,\s\up15(→))的模的eq \r(3)倍
D.eq \(CB,\s\up15(→))与eq \(DA,\s\up15(→))不共线
解析：与eq \(AB,\s\up15(→))相等的向量只有eq \(DC,\s\up15(→))；在菱形ABCD中，AC＝AB＝BC＝CD＝DA，每一条线段可得方向相反的两个向量，它们的模都相等，故有5×2－1＝9(个)；计算得DO＝eq \f(\r(3),2)DA，所以BD＝eq \r(3)DA，即|eq \(BD,\s\up15(→))|＝eq \r(3)|eq \(DA,\s\up15(→))|；由AD∥BC知eq \(CB,\s\up15(→))与eq \(DA,\s\up15(→))共线，故D错误. 课堂达标练经典
1．下列命题正确的是( C )
A．向量eq \(AB,\s\up15(→))与eq \(BA,\s\up15(→))是相等向量
B．共线的单位向量是相等向量
C．零向量与任意向量共线
D．两平行向量所在直线平行
2．下面几个命题：
(1)若a＝b，则|a|＝|b|；
(2)若|a|＝0，则a＝0；
(3)若|a|＝|b|，则a＝b；
(4)若向量a，b满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a|＝|b|，,a∥b，))则a＝b.
其中正确命题的个数是( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．设O是等边三角形ABC的外心，则向量eq \(OA,\s\up15(→))，eq \(OB,\s\up15(→))，eq \(CO,\s\up15(→))是( D )
A．相同起点的向量
B．平行向量
C．相等向量
D．模相等的向量
解析：如图，易知A、B、C均错误；由题意得点O到△ABC的三个顶点的距离相等，∴|eq \(OA,\s\up15(→))|＝|eq \(OB,\s\up15(→))|＝|eq \(CO,\s\up15(→))|，故选D.
4．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|eq \(OA,\s\up15(→))|＝eq \r(2).
5．如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：
(1)分别写出与eq \(AO,\s\up15(→))、eq \(BO,\s\up15(→))相等的向量；
(2)写出与eq \(AO,\s\up15(→))共线的向量；
(3)写出与eq \(AO,\s\up15(→))的模相等的向量；
(4)向量eq \(AO,\s\up15(→))与eq \(CO,\s\up15(→))是否相等？
解：(1)eq \(AO,\s\up15(→))＝eq \(BF,\s\up15(→))，eq \(BO,\s\up15(→))＝eq \(AE,\s\up15(→))；
(2)与eq \(AO,\s\up15(→))共线的向量为：eq \(BF,\s\up15(→))，eq \(CO,\s\up15(→))，eq \(DE,\s\up15(→))；
(3)因为|eq \(AO,\s\up15(→))|＝|eq \(CO,\s\up15(→))|＝|eq \(DO,\s\up15(→))|＝|eq \(BO,\s\up15(→))|＝|eq \(BF,\s\up15(→))|＝|eq \(CF,\s\up15(→))|＝|eq \(AE,\s\up15(→))|＝|eq \(DE,\s\up15(→))|，故与eq \(AO,\s\up15(→))的模相等的向量为eq \(CO,\s\up15(→))，eq \(DO,\s\up15(→))，eq \(BO,\s\up15(→))，eq \(BF,\s\up15(→))，eq \(CF,\s\up15(→))，eq \(AE,\s\up15(→))，eq \(DE,\s\up15(→))；
(4)不相等．
——本课须掌握的三大问题
1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又可以将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．
2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．
3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．
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向量在平面几何中的应用
开讲啦 利用向量可以证明线段相等、多点共线，判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)，将平面几何与
向量结合在一起，可以使问题更加直观、明了．
[典例] 如图所示，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，且eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(DC,\s\up15(→))，求证：四边形AMCN是平行四边形．
[证明] ∵eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(DC,\s\up15(→))，
∴|eq \(AB,\s\up15(→))|＝|eq \(DC,\s\up15(→))|，且AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形．∴eq \(AD,\s\up15(→))＝eq \(BC,\s\up15(→)).
∵M，N分别是BC，AD的中点，
∴|eq \(AN,\s\up15(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AD,\s\up15(→))|，|eq \(MC,\s\up15(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up15(→))|，
∴|eq \(AN,\s\up15(→))|＝|eq \(MC,\s\up15(→))|.
又∵eq \(AN,\s\up15(→))∥eq \(MC,\s\up15(→)).
∴四边形AMCN是平行四边形．
[名师点评] 若eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(DC,\s\up15(→))，且点A，B，C，D不共线，则四边形ABCD为平行四边形，利用这一重要结论，可以解决与平行、相等有关的平面几何问题．
[针对训练] 等腰三角形ABC中，E，F分别是腰AB，AC靠近顶点A的三等分点，若|eq \(BC,\s\up15(→))|＝6，则|eq \(EF,\s\up15(→))|＝2.
解析：由平面几何中相似三角形的知识可得出|eq \(EF,\s\up15(→))|＝eq \f(1,3)|eq \(BC,\s\up15(→))|＝2.
[目标] 1.记住向量、相等向量的概念，会向量的几何表示；2.记住共线向量的概念，并能找共线向量．
[重点] 理解并掌握向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量的概念，会表示向量．
[难点] 向量的概念，平行向量．
要点整合夯基础
知识点一 向量的概念和表示方法
[填一填]
1．向量：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．
2．向量的表示
(1)表示工具——有向线段．
有向线段包含三个要素：起点，方向，长度．
(2)表示方法：
向量可以用有向线段eq \(AB,\s\up15(→))表示，向量eq \(AB,\s\up15(→))的大小称为向量eq \(AB,\s\up15(→))的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up15(→))|.向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(CD,\s\up15(→)).
[答一答]
1．有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？
提示：有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示．因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念．
2．两个向量可以比较大小吗？
提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．
知识点二 向量的长度(或称模)与特殊向量
[填一填]
1．向量的长度定义：向量的大小．
2．向量的长度表示：向量eq \(AB,\s\up15(→))的长度记作：|eq \(AB,\s\up15(→))|；向量a的长度记作：|a|.
3．特殊向量
长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．
[答一答]
3．零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？
提示：零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同．
知识点三 相等向量与共线向量
[填一填]
1．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a＝b.
2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量a，b平行，记作a∥b.任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．
3．规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.
[答一答]
4．零向量与任意向量有什么关系？
提示：规定零向量与任意向量是共线向量．
5．向量平行与直线平行是一样的吗？
提示：两种平行不同.
典例讲练破题型
类型一 向量的有关概念
[例1] 判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；
(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．
[分析] 解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．
[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．
(3)不正确．依据规定：0与任意向量平行．
(4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
(5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．
1判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：①是否有大小，②是否有方向.
2注意两个特殊向量：零向量和单位向量.
3注意平行向量与共线向量的含义.
[变式训练1] (1)下列物理量中不是向量的有( A )
①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功；⑧电流强度．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
(2)在下列命题中，真命题为( B )
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量eq \(AB,\s\up15(→))与向量eq \(BA,\s\up15(→))的长度相等
C．向量就是有向线段
D．零向量是没有方向的
解析：(1)看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，②③④既有大小也有方向，是向量，①⑤⑥⑦⑧只有大小没有方向，不是向量．
(2)由于单位向量的方向不一定相同，故其终点不一定相同，故A错误；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故D错误；有向线段是向量的形象表示，但并非说向量就是有向线段，故C错误，故选B.
类型二 向量的几何表示
[例2] 已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000eq \r(2) km到达D地．画图表示向量eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(BC,\s\up15(→))，eq \(CD,\s\up15(→))，并指出向量eq \(AD,\s\up15(→))的模和方向．
[分析] 以A为原点建立直角坐标系，根据已知条件确定B、C、D三点的位置，再画上箭头就可得到向量eq \(AB,\s\up15(→))、eq \(BC,\s\up15(→))、eq \(CD,\s\up15(→))，通过D点位置就可确定向量eq \(AD,\s\up15(→))的模和方向．
[解] 以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．
据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(BC,\s\up15(→))，eq \(CD,\s\up15(→))如下图所示．
由已知可得，△ABC为正三角形，
∴AC＝2 000 km，又∠ACD＝45°，CD＝1 000eq \r(2) km，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴AD＝1 000eq \r(2) km，∠CAD＝45°.
故向量eq \(AD,\s\up15(→))的模为1 000eq \r(2)，方向为东南方向．
1用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答.
2作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点.
[变式训练2] 在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)|eq \(OA,\s\up15(→))|＝3，点A在点O的正西方向；
(2)|eq \(OB,\s\up15(→))|＝3eq \r(2)，点B在点O北偏西45°方向；
(3)求出|eq \(AB,\s\up15(→))|的值．
解：取每个方格的单位长为1，
依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示．
(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，
所以|eq \(AB,\s\up15(→))|＝eq \r(\(\s\up7( ),\s\d5(|\(OB,\s\up15(→))|2－|\(OA,\s\up15(→))|2)))＝3.
类型三 相等向量和共线向量
[例3] 在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，如图．
(1)写出与向量eq \(FC,\s\up15(→))共线的向量．
(2)求证：eq \(BE,\s\up15(→))＝eq \(FD,\s\up15(→)).
[分析] (1)与eq \(FC,\s\up15(→))共线的向量需具备什么条件？(与eq \(FC,\s\up15(→))的方向相同或相反)
(2)eq \(BE,\s\up15(→))＝eq \(FD,\s\up15(→))必须具备什么条件？(①|eq \(BE,\s\up15(→))|＝|eq \(FD,\s\up15(→))|，②二者方向相同)
[解] (1)由满足共线向量的条件得与向量eq \(FC,\s\up15(→))共线的向量有：eq \(CF,\s\up15(→))，eq \(BC,\s\up15(→))，eq \(CB,\s\up15(→))，eq \(BF,\s\up15(→))，eq \(FB,\s\up15(→))，eq \(ED,\s\up15(→))，eq \(DE,\s\up15(→))，eq \(AE,\s\up15(→))，eq \(EA,\s\up15(→))，eq \(AD,\s\up15(→))，eq \(DA,\s\up15(→)).
(2)证明：在▱ABCD中，AD綉BC.
又E、F分别为AD、BC的中点，∴ED綉BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE綉FD，∴eq \(BE,\s\up15(→))＝eq \(FD,\s\up15(→)).
1共线向量和相等向量有何关系？,共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
2如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？
①证明线段相等，只要证明相应的向量长度模相等.②证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线.
[变式训练3] 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是( D )
A．与eq \(AB,\s\up15(→))相等的向量只有一个(不含eq \(AB,\s\up15(→)))
B．与eq \(AB,\s\up15(→))的模相等的向量有9个(不含eq \(AB,\s\up15(→)))
C.eq \(BD,\s\up15(→))的模恰为eq \(DA,\s\up15(→))的模的eq \r(3)倍
D.eq \(CB,\s\up15(→))与eq \(DA,\s\up15(→))不共线
解析：与eq \(AB,\s\up15(→))相等的向量只有eq \(DC,\s\up15(→))；在菱形ABCD中，AC＝AB＝BC＝CD＝DA，每一条线段可得方向相反的两个向量，它们的模都相等，故有5×2－1＝9(个)；计算得DO＝eq \f(\r(3),2)DA，所以BD＝eq \r(3)DA，即|eq \(BD,\s\up15(→))|＝eq \r(3)|eq \(DA,\s\up15(→))|；由AD∥BC知eq \(CB,\s\up15(→))与eq \(DA,\s\up15(→))共线，故D错误. 课堂达标练经典
1．下列命题正确的是( C )
A．向量eq \(AB,\s\up15(→))与eq \(BA,\s\up15(→))是相等向量
B．共线的单位向量是相等向量
C．零向量与任意向量共线
D．两平行向量所在直线平行
2．下面几个命题：
(1)若a＝b，则|a|＝|b|；
(2)若|a|＝0，则a＝0；
(3)若|a|＝|b|，则a＝b；
(4)若向量a，b满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a|＝|b|，,a∥b，))则a＝b.
其中正确命题的个数是( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．设O是等边三角形ABC的外心，则向量eq \(OA,\s\up15(→))，eq \(OB,\s\up15(→))，eq \(CO,\s\up15(→))是( D )
A．相同起点的向量
B．平行向量
C．相等向量
D．模相等的向量
解析：如图，易知A、B、C均错误；由题意得点O到△ABC的三个顶点的距离相等，∴|eq \(OA,\s\up15(→))|＝|eq \(OB,\s\up15(→))|＝|eq \(CO,\s\up15(→))|，故选D.
4．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|eq \(OA,\s\up15(→))|＝eq \r(2).
5．如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：
(1)分别写出与eq \(AO,\s\up15(→))、eq \(BO,\s\up15(→))相等的向量；
(2)写出与eq \(AO,\s\up15(→))共线的向量；
(3)写出与eq \(AO,\s\up15(→))的模相等的向量；
(4)向量eq \(AO,\s\up15(→))与eq \(CO,\s\up15(→))是否相等？
解：(1)eq \(AO,\s\up15(→))＝eq \(BF,\s\up15(→))，eq \(BO,\s\up15(→))＝eq \(AE,\s\up15(→))；
(2)与eq \(AO,\s\up15(→))共线的向量为：eq \(BF,\s\up15(→))，eq \(CO,\s\up15(→))，eq \(DE,\s\up15(→))；
(3)因为|eq \(AO,\s\up15(→))|＝|eq \(CO,\s\up15(→))|＝|eq \(DO,\s\up15(→))|＝|eq \(BO,\s\up15(→))|＝|eq \(BF,\s\up15(→))|＝|eq \(CF,\s\up15(→))|＝|eq \(AE,\s\up15(→))|＝|eq \(DE,\s\up15(→))|，故与eq \(AO,\s\up15(→))的模相等的向量为eq \(CO,\s\up15(→))，eq \(DO,\s\up15(→))，eq \(BO,\s\up15(→))，eq \(BF,\s\up15(→))，eq \(CF,\s\up15(→))，eq \(AE,\s\up15(→))，eq \(DE,\s\up15(→))；
(4)不相等．
——本课须掌握的三大问题
1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又可以将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．
2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．
3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．
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向量在平面几何中的应用
开讲啦 利用向量可以证明线段相等、多点共线，判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)，将平面几何与
向量结合在一起，可以使问题更加直观、明了．
[典例] 如图所示，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，且eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(DC,\s\up15(→))，求证：四边形AMCN是平行四边形．
[证明] ∵eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(DC,\s\up15(→))，
∴|eq \(AB,\s\up15(→))|＝|eq \(DC,\s\up15(→))|，且AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形．∴eq \(AD,\s\up15(→))＝eq \(BC,\s\up15(→)).
∵M，N分别是BC，AD的中点，
∴|eq \(AN,\s\up15(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AD,\s\up15(→))|，|eq \(MC,\s\up15(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up15(→))|，
∴|eq \(AN,\s\up15(→))|＝|eq \(MC,\s\up15(→))|.
又∵eq \(AN,\s\up15(→))∥eq \(MC,\s\up15(→)).
∴四边形AMCN是平行四边形．
[名师点评] 若eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(DC,\s\up15(→))，且点A，B，C，D不共线，则四边形ABCD为平行四边形，利用这一重要结论，可以解决与平行、相等有关的平面几何问题．
[针对训练] 等腰三角形ABC中，E，F分别是腰AB，AC靠近顶点A的三等分点，若|eq \(BC,\s\up15(→))|＝6，则|eq \(EF,\s\up15(→))|＝2.
解析：由平面几何中相似三角形的知识可得出|eq \(EF,\s\up15(→))|＝eq \f(1,3)|eq \(BC,\s\up15(→))|＝2.
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