人教版新课标A选修2-23.1数系的扩充和复数的概念导学案

§3.1.1  数系的扩充与复数的概念

学习目标

理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.

学习过程

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：实数系、数系的扩充脉络是：

        →         →        →         ，

用集合符号表示为：                    

复习2：判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：

（1）   （2） 

（3）   （4）

二、新课导学

学习探究

探究任务一：复数的定义

问题：方程的解是什么？

为了解决此问题，我们定义，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为         .

新知：形如的数叫做复数，通常记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集.

试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

，，，，，，，0

反思：形如        的数叫做复数，其中   和  都是实数，其中     叫做复数的实部，     叫做复数的虚部.

对于复数当且仅当      时，它是实数；当        时，它是虚数；当        时，它是纯虚数；

探究任务二：复数的相等

若两个复数与的实部与虚部分别    ，即:        ，        .则说这两个复数相等.

=                 ；

=0                 .

注意:两复数        比较大小.

 典型例题

例1 实数取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

变式：已知复数，试求实数分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

小结：数集的关系：

例2已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值.

 变式：设复数，则为纯虚数的必要不充分条件是（    ）

A．               B．且

C．且        D．且

小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件.

 动手试试

练1. 若，求的值.

练2. 已知是虚数单位，复数，当取何实数时，是：

（1）实数；（2） 虚数；（3）纯虚数；（4）零.

三、总结提升

 学习小结

1. 复数的有关概念；

2. 两复数相等的充要条件；

3. 数集的扩充.

 知识拓展

复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的作用.

学习评价

 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 实数取什么数值时，复数是实数（    ）

A．0      B．     C．      D．

2. 如果复数与的和是纯虚数，则有（    ）

A．且

B．且

C．且

D．且

3. 如果为实数,那么实数的值为（    ）

A．1或    B．或2 

C．1或2     D．或

4.若是纯虚数，则实数的值是             

5. 若，则实数

=          ；=            .

课后作业

1. 求适合下列方程的实数与的值:

(1)

(2)

2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在，请举出例子；若不存在,请说明理由.

(1)实部为的虚数

(2)虚部为的虚数

(3)虚部为的纯虚数