数学2.1合情推理与演绎推理学案

§2.1.2  演绎推理

学习目标

1. 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；
2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.

学习过程

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：归纳推理是由     到      的推理.

       类比推理是由     到      的推理.

复习2：合情推理的结论             .

二、新课导学

 学习探究

探究任务一：演绎推理的概念

问题：观察下列例子有什么特点？

（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以    ；

（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此               ；

（3）在一个标准大气压下，水的沸点是，所以在一个标准大气压下把水加热到时，    ；

（4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以                  ；

（5）三角函数都是周期函数，是三角函数，所以                  ；

（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么                .

新知：演绎推理是从          出发，推出      

情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由     

到        的推理.

探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？

所有的金属都导电   铜是金属    铜能导电

已知的一般原理    特殊情况  根据原理，对特殊情况做出的判断

大前提            小前提        结论

新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：

大前提——                         ；

小前提——                            ；

结论——                                 .

试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式.

典型例题

例1  在锐角三角形ABC中，，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.

新知：用集合知识说明“三段论”：

      大前提：                  

      小前提：                  

      结  论：                  

例2证明函数在上是增函数.

小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.

例3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？

所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）

菱形是所有边长都相等的凸多边形， （小前提）

菱形是正多边形.                  （结  论）

小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.

动手试试

练1. 用三段论证明：通项公式为的数列是等比数列.

练2. 在中，，CD是AB 边上的高，求证.

证明：在中，，

      所以，

      于是.

指出上面证明过程中的错误.

三、总结提升

 学习小结

1. 合情推理；结论不一定正确.

2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.

知识拓展

乒乓球教练组将从右手执拍的选手R、S、T和左手执拍的选手L、M、N、O中选出四名队员去参加奥运会。要求至少有两名右手执拍的选手，而且选出的四名队员都可以互相配对进行双打。已知s不能与L配对.T不能与N配对，M不能与L或N配对。若R不被选入队中，那么有几种不同的选法?
A. 只有一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种

学习评价

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 因为指数函数是增函数，是指数函数，则是增函数.这个结论是错误的，这是因为

A.大前提错误           B.小前提错误     

C.推理形式错误         D.非以上错误

2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”

结论显然是错误的，是因为                                                 

A.大前提错误           B.小前提错误     

C.推理形式错误         D.非以上错误

3. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为                            

A.大前提错误           B.小前提错误     

C.推理形式错误         D.非以上错误

4.归纳推理是由      到      的推理；

  类比推理是由      到      的推理；

  演绎推理是由      到      的推理.

5.合情推理的结论                  ；

 演绎推理的结论                            .

课后作业

1. 用三段论证明：在梯形ABCD中，AD//BC ，AB=DC，则.

2. 用三段论证明：为奇函数.

§2.1  合情推理与演绎推理(练习)

学习目标

1. 能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理;

2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理;

3. 体会合情推理和演绎推理的区别与联系.

学习过程

一、课前准备

（复习教材，找出疑惑之处）

复习1：归纳推理是由     到      的推理.

       类比推理是由     到      的推理.

合情推理的结论             .

复习2：演绎推理是由      到        的推理.

演绎推理的结论             .

二、新课导学

典型例题

例1 观察（1）（2）

由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论.

变式：已知：

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.

例2 在中，若，则，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.

变式：已知等差数列的公差为d ，前n项和为，有如下性质：

（1），

（2）若，

则，

 类比上述性质，在等比数列中，写出类似的性质.

动手试试

练1.

若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出

练2. 若三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c,则三角形的面积，根据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为，则四面体的体积V=             .

三、总结提升

学习小结

1. 合情推理；结论不一定正确.

2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.

知识拓展

有金盒、银盒、铝盒各一个，只有一个盒子里有肖像，金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里，银盒子上写有命题q：肖像不在这个盒子里，铝盒子上写有命题r：肖像不在金盒里，这三个命题有且只有一个是真命题，问肖像在哪个盒子里？为什么？

学习评价

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 由数列，猜想该数列的第n项可能是（    ）.

A.  B.  C.  D.

2.下面四个在平面内成立的结论

①平行于同一直线的两直线平行

②一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条相交

③垂直于同一直线的两直线平行

④一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交

在空间中也成立的为（    ）.

A.①② B. ③④  C. ②④  D.①③

3.用演绎推理证明函数是增函数时的大前提是（    ）.

A.增函数的定义    

B.函数满足增函数的定义

C.若，则

D.若, 则

4.在数列中,已知,试归纳推理出                    .

5. 设平面内有ｎ条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这ｎ条直线交点的个数，则=   ；当ｎ＞４时，＝              （用含n的数学表达式表示）.

课后作业

1. 证明函数在上是减函数.

2. 数列满足,先计算数列的前4项,再归纳猜想.