初中数学苏科版九年级下册5.1 二次函数课时练习

这是一份初中数学苏科版九年级下册5.1 二次函数课时练习，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

二次函数--5.1--5.2小节提优练习
一、选择题
1. 将 y=x−22+3 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，所得函数的对称轴和最小值分别为   
A． x=4，y=1 B． x=2，y=3 C． x=4，y=3 D． x=0，y=5

2. 如图，A，B 分别为 y=2x−22+4 图象上的两点，且直线 AB 垂直于 y 轴．若 AB=2，则直线 AB 的解析式为   

A． y=2 B． y=4 C． y=6 D． y=9

3. 如图为二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象，则下列说法：① a>0；② 2a+b=0；③ a+b+c>0；④ 当 −10．其中正确的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

4. 已知二次函数 y=x−h2+1（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为   
A． 1 或 −5 B． −1 或 5 C． 1 或 −3 D． 1 或 3

5. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，下列说法：
① 2a+b=0；
②当 −1≤x≤3 时，y<0；
③ 3a+c=0；
④若 x1,y1，x2,y2 在函数图象上，当 0 其中正确的是   

A．①②④ B．①③ C．①②③ D．①③④

6. 二次函数 y=ax2+bx 的图象如图，若一元二次方程 ax2+bx+m=0 有实数根，则 m 的最大值为

A．−3 B．3 C．−6 D．9

7. 如图，已知抛物线 y=x2+px+q 的对称轴为直线 x=−2，过其顶点 M 的一条直线 y=kx+b 与该抛物线的另一个交点为 N−1,−1．若要在 y 轴上找一点 P，使得 PM+PN 最小，则点 P 的坐标为   

A． 0,−2 B． 0,−43 C． 0,−53 D． 0,−54

8. 如图，抛物线 y=x2−1．将该抛物线在 x 轴和 x 轴下方的部分记作 C1，将 C1 沿 x 轴翻折记作 C2，C1 和 C2 构成的图形记作 C3．关于图形 C3，给出如下四个结论，其中错误的是   

A．图形 C3 恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
B．图形 C3 上任意一点到原点的距离都不超过 1
C．图形 C3 的周长大于 2π
D．图形 C3 所围成的区域的面积大于 2 且小于 π

9. 如图，抛物线 y=−47xx+6 与 x 轴负半轴交于点 A，点 B 为线段 OA 上一动点，点 D 的坐标为 −3,−6，连接 BD，以 BD 为底边向右侧作等腰直角 △DCB，若点 C 恰好在抛物线上，则 AB 长为   

A． 4 B． 4.5 C． 5 D． 5.5

10. 如图，已知抛物线 y=x2+2x−3，把此抛物线沿 y 轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点 −2,0，2,0 且平行于 y 轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为 s，平移的距离为 m，则下列图象中，能表示 s 与 m 的函数关系的图象大致是

A． B．
C． D．

二、填空题
11. 如图，抛物线 y=12x2+12x−3 与 x 轴的负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，连接 AB，点 D，E 分别是直线 x=−1 与抛物线上的点，若点 A，B，D，E 围成的四边形是平行四边形，则点 E 的坐标为 ．


12. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+ca<0 的图象过正方形 ABOC 的三个顶点 A，B，C，则 ac 的值是 ．


13. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 1,0 和 x1,0，其中 −20；② ac<14b2；③ a>b；④ −a
14. 设抛物线 y=x2+a+1x+a，其中 a 为实数．
（1）若抛物线经过点 −1,m，则 m= ；
（2）将抛物线 y=x2+a+1x+a 向上平移 2 个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．

15. 将抛物线 y=ax2+bx−1 向上平移 3 个单位长度后，经过点 −2,5，则 8a−4b−11 的值是 ．

16. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A0,3，且抛物线上任意不同两点 Mx1,y1，Nx2,y2 都满足：当 x10；当 0
17. 已知当 x=2m+n+2 和 x=m+2n 时，多项式 x2+4x+6 的值相等，且 m−n+2≠0，则当 x=6m+n+1 时，多项式 x2+4x+6 的值等于 ．

18. 如图，一段抛物线：y=−x2+2x0≤x≤2，记为 C1，它与 x 轴交于点 O，A1；将 C1 绕点 A1 旋转 180∘ 得 C2，交 x 轴于点 A2；将 C2 绕点 A2 旋转 180∘ 得 C3，交 x 轴于点 A3；⋯ 如此进行下去，直至得 C15，若 P28.5,m 在第 15 段抛物线 C15 上，则 m 的值为 ．


三、解答题
19. 已知函数 y=−12x+12 与 y=−12x−12．
(1) 完成下表：
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y=-（x+1）2







Y=-（x-1）2







(2) 建立平面直角坐标系，并在坐标系中作出二次函数 y=−12x+12 与 y=−12x−12 的图象；
(3) 抛物线 y=−12x+12 与 y=−12x−12 之间有什么关系？它们是轴对称图形吗？它们的对称轴和顶点坐标分别是什么？
(4) 随 x 的增大，y 分别是如何变化的？

20. 已知在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 1,−3 和点 −1,5．
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 将这个二次函数的图象向上平移，交 y 轴于点 C，其纵坐标为 m，请用 m 的代数式表示平移后函数图象顶点 M 的坐标；
(3) 在第（2）小题的条件下，如果点 P 的坐标为 2,3，CM 平分 ∠PCO，求 m 的值．

21. 有一个二次函数满足以下条件：
①函数图象与 x 轴的交点坐标分别为 A1,0，Bx2,y2（点 B 在点 A 的右侧）；
②对称轴是 x=3；
③该函数有最小值是 −2．

(1) 请根据以上信息求出二次函数表达式；
(2) 将该函数图象中 x>x2 部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于 x 轴的直线 y=m 与图象“G”的交点的个数情况．

22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=−33x2−233x+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C．

(1) 若点 P 为直线 AC 上方抛物线上的动点，当 △PAC 的面积最大时，求此时 P 点的坐标；
(2) 若点 Q 是抛物线对称轴上的动点，点 M 是抛物线上的动点，当以点 M，A，C，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出此时 Q 点的坐标．
23. 有这样一个问题：探究函数 y=12x2+1x 的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数 y=12x2+1x 的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
(1) 函数 y=12x2+1x 的自变量 x 的取值范围是 ；
(2) 下表是 y 与 x 的几组对应值．
X
···
-3
-2
-1
-
-


1
2
3
···
Y
···


-
-
-




m
···
求 m 的值；
(3) 如下图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

(4) 进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是 1,32，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）： ．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A2,−2，对称轴是直线 x=1，顶点为点 B，抛物线与 y 轴交于点 C．

(1) 求抛物线的表达式和点 B 的坐标；
(2) 将上述抛物线向下平移 1 个单位，平移后的抛物线与 x 轴正半轴交于点 D，求 △BCD 的面积；
(3) 如果点 P 在原抛物线上，且在对称轴的右侧，连接 BP 交线段 OA 于点 Q，BQPQ=15，求点 P 的坐标．

25. 将抛物线 C:y=x−22 向下平移 6 个单位长度得到抛物线 C1，再将抛物线 C1 向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2．
(1) 直接写出抛物线 C1，C2 的解析式；
(2) 如图（1），点 A 在抛物线 C1 对称轴 l 右侧上，点 B 在对称轴 l 上，△OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标；

(3) 如图（2），直线 y=kx（k≠0，k 为常数）与抛物线 C2 交于 E，F 两点，M 为线段 EF 的中点；直线 y=−4kx 与抛物线 C2 交于 G，H 两点，N 为线段 GH 的中点．求证：直线 MN 经过一个定点．


26. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数 M>0，对于任意的函数值 y，都满足 −M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是 1．

(1) 分别判断函数 y=1xx>0 和 y=x+2−4≤x≤2 是不是有界函数．若是有界函数，求其边界值．
(2) 若函数 y=−x+2（a≤x≤b，b>a）的边界值是 3，且这个函数的最大值也是 3，求 b 的取值范围．
(3) 将函数 y=x2（−1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移 m 个单位，得到的函数的边界值是 t，当 m 在什么范围时，满足 34≤t≤1．

27. 如图 1，抛物线 y=−16x2+233x+6 与 x 轴交于 A，B（B 在 A 的左侧）两点，与 y 轴交于点 C，将直线 AC 沿 y 轴正方向平移 2 个单位得到直线 AʹCʹ，将抛物线的对称轴沿 x 轴正方向平移 323 个单位得到直线 l．

(1) 求直线 AC 的解析式；
(2) 如图 2，点 P 为直线 AʹCʹ 上方抛物线上一动点，连接 PC，PA 与直线 AʹCʹ 分别交于点 E，F，过点 P 作 PP1⊥l 于点 P1，M 是线段 AC 上一动点，过 M 作 MN⊥AʹCʹ 于点 N，连接 P1M，当 △PCA 的面积最大时，求 P1M+MN+22NAʹ 的最小值；

(3) 如图 3，连接 BC，将 △BOC 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 后得到 △B1O1C1，点 R 是直线 l 上一点，在直角坐标平面内是否存在一点 S，使得以点 O1，C1，R，S 为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点 S 的坐标；若不存在，请说明理由．


28. 已知关于 x 的二次函数 y=ax2−2a+2x+ba≠0 在 x=0 和 x=6 时函数值相等．

(1) 求 a 的值．
(2) 若该二次函数的图象与直线 y=−2x 的一个交点为 2,m，求它的解析式．
(3) 在（2）的条件下，直线 y=−2x−4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，将线段 AB 向右平移 nn>0 个单位，同时将该二次函数在 2≤x≤7 的部分向左平移 n 个单位后得到的图象记为 G，请结合图象回答，当图象 G 与平移后的线段有公共点时，n 的取值范围．
答案
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】将 y=x−22+3 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，
所得图象的函数表达式是 y=x−2−22+3−2 即 y=x−42+1，
所以对称轴为 x=4，最小值为 1．
【知识点】二次函数的图象变换、二次函数的图象与性质

2. 【答案】C
【知识点】二次函数的图象与性质、一次函数的解析式

3. 【答案】C
【解析】①开口向下，故 a<0，①错误；
②对称轴为直线 x=−1+32=1，故 b−2a=1，b=−2a，2a+b=0，②正确；
③当 x=1 时，a+b+c>0，③正确
④由图得，当 −10，④正确．
【知识点】二次函数的图象与性质

4. 【答案】B
【解析】二次函数的对称轴为直线 x=h，以下分情况讨论．
当 h<1 时，当 x=1 时，y 取得最小值，即 1−h2+1=5，解得 h1=−1，h2=3（舍去）；
当 1≤h≤3 时，当 x=h 时，y 取得最小值 1，不符合题意；
当 h>3 时，当 x=3 时，y 取得最小值，即 3−h2+1=5，解得 h3=5，h4=1（舍去）．
综上所述，h=−1或5．
【知识点】二次函数的最值

5. 【答案】B
【解析】 ∵ 函数图象的对称轴为：x=−b2a=−1+32=1，
∴b=−2a，即 2a+b=0，①正确；
由图象可知，当 −1 由图象可知，当 x=1 时，y=0，
∴a−b+c=0，
∵b=−2a，
∴3a+c=0，③正确；
∵ 抛物线的对称轴为 x=1，开口方向向上，
∴ 若 x1,y1，x2,y2 在函数图象上，
当 1y2，
故④错误．
【知识点】二次函数的图象与性质

6. 【答案】B
【解析】提示：令 y2=ax2+bx+m，则 y2 是由二次函数 y=ax2+bx 向上平移 m 个单位得到的函数，由图象可知二次函数 y=ax2+bx 向上平移三个单位后与 x 轴只有一个交点，再向上平移没有交点，所以 m 的最大值为 3．
【知识点】二次函数的图象与性质

7. 【答案】B
【解析】如图，作 N 点关于 y 轴的对称点 Nʹ，连接 MNʹ 交 y 轴于 P 点．
将 N 点坐标代入抛物线，并联立对称轴，
得 −p2=−2,1−p+p=−1, 解得 p=4,q=2,
y=x2+4x+2=x+22−2，
M−2,−2，N 点关于 y 轴的对称点 Nʹ1,−1，
设 MNʹ 的解析式为 y=kx+b，
将 M，Nʹ 代入函数解析式，
得 −2k+b=−2,k+b=−1, 解得 k=13,b=−43,
MNʹ 的解析式为 y=13x−43，
当 x=0 时，y=−43，即 P0,−43．

【知识点】轴对称之最短路径、二次函数的图象与性质、一次函数的解析式

8. 【答案】C
【知识点】二次函数的图象变换

9. 【答案】C
【解析】由题意，作 CE⊥x 轴，DF⊥EC，垂足分别为 E，F．
设 C 点坐标为 m,−47mm+6，
则 CE=47mm+6，DF=m+3，
∵△BCD 为等腰直角三角形，
∴BC=DC，∠BCD=90∘，
∴∠DCF+∠BCE=90∘，
∵∠DCF+∠CDF=90∘，
∴∠BCE=∠CDF，
∴ 在 △BCE 与 △CDF 中，
∠BCE=∠CDF,∠BEC=∠CFD,BC=DC,
∴△BCE≌△CDFAAS，
∴CE=DF，
∴47mm+6=m+3，
∴4m2+17m−21=0，m1=1，m2=−214（舍去），
∴C1,−4，E1,0，
∴CE=4，
∴CF=6−4=2，
∴BE=CF=2，
∵E1,0，
∴B−1,0，
∴AB=−1−−6=5．

【知识点】二次函数的图象与性质、角角边

10. 【答案】B
【解析】如图，作出抛物线的对称轴 x=−1．
因为抛物线是上下平移，所以两个抛物线是同一条对称轴．
设对称轴与两抛物线分别交于 C 、 D 两点，直线 x=2 与抛物线交于 A1 、 B1，直线 x=−2 与抛物线交于 A2 、 B2，则 A1B1=A2B2=CD=m，
所以阴影部分的面积等于两个平行四边形的面积之和，即 s=4m．

【知识点】平行四边形、函数关系的表示、二次函数的图象变换

二、填空题
11. 【答案】 (−4,3) 或 (2,0) 或 (−2,−2)

【解析】 ∵ 抛物线 y=12x2+12x−3 与 x 轴的负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，
∴A−3,0，B0,−3．
当 AB 为平行四边形的边时，AB∥DE，且 AB=DE，
∴ 线段 DE 可由线段 AB 平移得到．
∵ 点 D 在直线 x=−1 上，
①当点 B 的对应点为 D1 时，如图，
需先将 AB 向左平移 1 个单位长度，此时点 A 的对应点 E1 的横坐标为 −4，
将 x=−4 代入 y=12x2+12x−3，得 y=3，
∴E1−4,3．
②当点 A 的对应点为 D2 时，
同理，先将 AB 向右平移 2 个单位长度，可得点 B 的对应点 E2 的横坐标为 2，
将 x=2 代入 y=12x2+12x−3，得 y=0，
∴E22,0；
当 AB 为平行四边形的对角线时，可知 AB 的中点坐标为 −32,−32，
∵D3 在直线 x=−1 上，
∴ 根据对称性可知 E3 的横坐标为 −2，
将 x=−2 代入 y=12x2+12x−3，得 y=−2，
∴E3−2,−2．
综上所述，点 E 的坐标为 −4,3 或 2,0 或 −2,−2．

【知识点】平行四边形的判定、二次函数的图象与性质、二次函数与方程

12. 【答案】 −2
【知识点】二次函数的图象与性质、勾股定理、正方形的性质

13. 【答案】②④
【解析】∵ 抛物线与x轴的交点为 1,0 和 x1,0，−2 ∴a<0．
∵−2 ∴−12<−b2a<0．
∴b<0，b>a，故①错误，③错误；
∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，
∴b2−4ac>0．
∴ac<14b2，故②正确；
∵ 抛物线与 x 轴的交点有一个为 1,0，
∴a+b+c=0．
∴b=−a−c．
∵b<0，b>a（已证），
∴−a−c<0，−a−c>a．
∴c>−a，c<−2a，
∴−a 【知识点】二次函数的图象与性质

14. 【答案】 0 ； 2
【解析】（1）点 −1,m 代入抛物线解析式 y=x2+a+1x+a，
得 −12+a+1×−1+a=m，解得 m=0．
（2）y=x2+a+1x+a 向上平移 2 个单位可得，y=x2+a+1x+a+2，
所以 y=x+a+122−14a−12+2，
所以抛物线顶点的纵坐标 n=−14a−12+2，
因为 −14<0，
所以 n 的最大值为 2．
【知识点】二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的图象变换、二次函数的顶点

15. 【答案】 −5
【解析】将抛物线 y=ax2+bx−1 向上平移 3 个单位长度后，
表达式为：y=ax2+bx+2，
∵ 经过点 −2,5，代入得：4a−2b=3，
则 8a−4b−11=24a−2b−11=2×3−11=−5．
【知识点】二次函数的图象变换

16. 【答案】 y=−23x2+3

【解析】 ∵ 抛物线过点 A0,3，
∴c=3，
当 x10，得到 y1−y2<0，
∴ 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大，
同理当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 抛物线的对称轴为 y 轴，且开口向下，即 b=0，
∵ 以 O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点 B，C，如图所示，
∴△ABC 为等腰三角形，
∵△ABC 中有一个角为 60∘，
∴△ABC 为等边三角形，且 OC=OA=3，
设线段 BC 与 y 轴的交点为点 D，则有 BD=CD，且 ∠OBD=30∘，
∴BD=OB⋅cos30∘=332，OD=OB⋅sin30∘=32，
∵B 在 C 的左侧，
∴B 的坐标为 −332,−32，
∵B 点在抛物线上，且 c=3，b=0，
∴27a4a+3=−32，
解得：a=−23，
则抛物线解析式为 y=−23x2+3．

【知识点】解直角三角形、二次函数的图象与性质、圆的对称性

17. 【答案】18
【解析】∵x=2m+n+2 和 x=m+2n 时，多项式 x2+4x+6 的值相等，
∴ 二次函数 y=x2+4x+6 的对称轴为直线 x=2m+n+2+m+2n2=3m+3n+22，
∵ 二次函数 y=x2+4x+6 的对称轴为直线 x=−2，
∴3m+3n+22=−2，
∴3m+3n+2=−4，m+n=−2，
∴ 当 x=6m+n+1=6−2+1=−6 时，x2+4x+6=−62+4×−6+6=18．
【知识点】二次函数的图象与性质

18. 【答案】 0.75
【解析】令 y=0，则 −xx−2=0，解得 x1=0，x2=2，
∴A12,0，
由图可知，抛物线 C14 在 x 轴下方，
相当于抛物线 C1 向右平移 4×7=28 个单位得到 C14，
再将 C14 绕点 A14 旋转 180∘ 得 C15，
∴ 抛物线 C15 解析式为 y=−x−28x−30，
∵P28.5,m 在第 15 段抛物线 C15 上，
∴m=−28.5−2828.5−30=0.75．
【知识点】二次函数的图象变换

三、解答题
19. 【答案】
(1) 略
(2) 略
(3) 抛物线 y=−12x+12 和 y=−12x−12 都可以看作是由 y=−12x2 平移得到的，即它们的开口方向相同、开口大小相同，形状相同．它们是轴对称图形，它们的对称轴分别是直线 x=−1，x=1，顶点坐标分别是 −1,0，1,0．
(4) 二次函数 y=−12x+12：x≥−1 时，y 随 x 增大而减小，x<−1 时，y 随 x 增大而增大；二次函数 y=−12x−12：x≥1 时，y 随 x 增大而减小，x<1 时，y 随 x 增大而增大．
【知识点】描点法画二次函数图像、y=a(x-h)^2的图象、二次函数的增减性、二次函数的图象变换

20. 【答案】
(1) y=x2−4x．
(2) M2,m−4．
(3) m=92．
【知识点】二次函数的解析式、角平分线的性质、二次函数的顶点、二次函数的图象变换、二次函数与方程、坐标平面内图形轴对称变换

21. 【答案】
(1) 由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为 3,−2，
设二次函数的表达式为 y=ax−32−2．
∵ 该函数图象经过点 A1,0，
∴0=ax−32−2，解得 a=12．
∴ 二次函数解析式为 y=12x−32−2．

(2) 如图所示．
当 m>0 时，直线 y=m 与 G 有一个交点；
当 m=0 时，直线 y=m 与 G 有两个交点；
当 −2 当 m=−2 时，直线 y=m 与 G 有两个交点；
当 m<−2 时，直线 y=m 与 G 有一个交点．

【知识点】二次函数的图象变换、二次函数的解析式

22. 【答案】
(1) ∵ 抛物线 y=−33x2−233x+3 与 x 轴交于 A，B 两点，
∴0=−33x2−233x+3，
∴x1=1，x2=−3，
∴ 点 A 的坐标为 −3,0，点 B 的坐标为 1,0，
∵ 抛物线 y=−33x2−233x+3 与 y 轴交于点 C，
∴ 点 C 的坐标为 0,3，
∵ 点 A 的坐标为 −3,0，点 C 的坐标为 0,3，
∴ 直线 AC 解析式为：y=33x+3．
如图，过点 P 作 PE⊥AB，交 AC 于点 E，
设点 Pa,−33a2−233a+3，则点 Ea,33a+3，
∴PE=−33a2−233a+3−33a+3=−33a2−a，
∵△PAC 的面积 =12×PE×3=−32a+322+338，
∴ 当 a=−32 时，△PAC 的面积有最大值，
∴ 点 P−32,1+34．
(2) 点 Q 的坐标为 −1,−233 或 −1,−833 或 −1,0．
【解析】
(2) 设点 M 坐标为 x,y，
∵ 点 A 的坐标为 −3,0，点 B 的坐标为 1,0，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=−1，
∵ 点 Q 是抛物线对称轴上的动点，
∴ 设点 Q 坐标为 −1,b，
当 AC 为边时，则四边形 ACMQ 是平行四边形或四边形 ACQM 是平行四边形，
若四边形 ACMQ 是平行四边形，
∴AM 与 CQ 互相平分，
∴−3−12=0+x2，y+32=0+b2，
∴x=−4，b=y+3，
∴y=−33×16+233×4+3=−533，
∴b=−233，
∴ 点 Q 坐标为 −1,−233；
若四边形 ACQM 是平行四边形，
∴AQ 与 CM 互相平分，
∴−3+x2=−1+02，0+y2=b+32，
∴x=2，b=y−3，
∴y=−33×4−233×2+3=−533，
∴b=−833，
∴ 点 Q 坐标为 −1,−833；
当 AC 为对角线时，
∵ 以点 M，A，C，Q 为顶点的四边形是平行四边形，
∴AC 与 MQ 是互相平分，
∴−3+02=−1+x2，0+32=b+y2，
∴x=−2，b=3−y，
∴y=−33×4+233×2+3=3，
∴b=0，
∴ 点 Q 坐标为 −1,0．
综上所述：点 Q 的坐标为 −1,−233 或 −1,−833 或 −1,0．
【知识点】二次函数的图象与性质、平行四边形的判定、二次函数与方程

23. 【答案】
(1) x≠0
(2) 令 x=3，
∴y=12×32+13=92+13=296，
∴m=296．
(3) 如图，
(4) 该函数没有最大值
【解析】
(4) 或：该函数在 x=0 处断开；该函数没有最小值；该函数图象没有经过第四象限
【知识点】反比例函数的图象与性质、反比例函数的图象变换、二次函数的图象与性质

24. 【答案】
(1) 根据二次函数 y=x2+mx+n，对称轴 x=−b2a，
系数 a=1，b=m，c=n，
又 ∵ 点 A2,−2，对称轴是直线 x=1，
代入得：x=−b2a=−m2=1，−2=4+2m+n，
则 m=−2，n=−2，
∴ 函数解析式为 y=x2−2x−2．
顶点坐标为 −b2a,4ac−b24a，
代入 a=1，b=−2，c=−2 得：顶点 B1,−3．

(2) 由平移知识知平移后解析式为：y=x2−2x−3，
则与 x 正半轴交点为 y=0，代入函数式求得 x=3，即 D3,0，
根据求得坐标作图，作 BM⊥x 轴，
则 S△BCD=S△MOCB+S△BMD−S△COD，
∴S△BCD=12×MO×OC+BM+12×MD×BM−12×OD×OC，
代入数值解得：S△BCD=52，即 △BCD 的面积为 52．

(3) 作 OP 平行于 AB 交抛物线于点 P，由题意设 Px,x2−2x−2，
∵BQPQ=15，
∴AB:OP=1:5，
由点 A2,−2，B1,−3，得：AB=2，
∴OP=5AB=52，OP=x2+x2−2x−22，
∴x2+x2−2x−22=52，解得：x=4 或 x=−3，
∵P 在对称轴右侧，
∴x>0，
∴x=4，
把 x=4 代入原函数表达式得：y=6；
∴P 点坐标为 P4,6．

【知识点】二次函数的解析式、二次函数的图象变换、基本定理、二次函数与方程、二次函数的顶点、y=ax^2+bx+c的图象

25. 【答案】
(1) ∵ 抛物线 C:y=x−22 向下平移 6 个单位长度得到抛物线 C1，再将抛物线 C1 向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2，
∴ 抛物线 C1 的解析式为：y=x−22−6，即 y=x2−4x−2，
抛物线 C2 的解析式为：y=x−2+22−6，即 y=x2−6．
(2) 如下图，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，连接 AD，
∵ △OAB 是等腰直角三角形，
∴ ∠BOA=45∘，
又 ∵ ∠BDO=∠BAO=90∘，
∴ 点 A，B，O，D 四点共圆，
∴ ∠BDA=∠BOA=45∘，
∴ ∠ADC=90∘−∠BDA=45∘，
∴ △DAC 是等腰直角三角形，
∴ DC=AC．
∵ 点 A 在抛物线 C1 对称轴 l 右侧上，点 B 在对称轴 l 上，
∴ 抛物线 C1 的对称轴为 x=2，
设点 A 的坐标为 x,x2−4x−2，
∴ DC=x−2，AC=x2−4x−2，
∴ x−2=x2−4x−2，
解得：x=5 或 x=0（舍去），
∴ 点 A 的坐标为 5,3；
同理，当点 B 、点 A 在 x 轴的下方时，
x−2=−x2−4x−2，
x=4 或 x=−1（舍去），
∴ 点 A 的坐标为 4,−2，
综上，点 A 的坐标为 5,3 或 4,−2．
(3) ∵ 直线 y=kx（k≠0，k 为常数）与抛物线 C2 交于 E，F 两点，
∴ y=kx,y=x2−6
∴ x2−kx−6=0，
设点 E 的横坐标为 xE，点 F 的横坐标为 xF，
∴ xE+xF=k，
∴ 中点 M 的横坐标 xM=xE+xF2=k2，
中点 M 的纵坐标 yM=kx=k22，
∴ 点 M 的坐标为 k2,k22；
同理可得：点 N 的坐标为 −2k,8k2，
设直线 MN 的解析式为 y=ax+ba≠0，
将 Mk2,k22，N−2k,8k2 代入得：
k22=k2⋅a+b,8k2=−2k⋅a+b
解得：a=k2−4k,b=2
∴ 直线 MN 的解析式为 y=k2−4k⋅x+2k≠0，
不论 k 取何值时（k≠0），当 x=0 时，y=2，
∴ 直线 MN 经过定点 0,2．
【知识点】二次函数的图象变换、判断四点共圆的方法、连线与坐标轴平行的两点间距离、一次函数的解析式、二次函数与方程、y=ax^2+bx+c的图象

26. 【答案】
(1) 根据有界函数的定义知，函数 y=1xx>0 不是有界函数，
y=x+2−4≤x≤2 是有界函数，
当 x=−4 时，y=−4+2=−2，
当 x=2 时，y=2+2=4，
∴−2≤y≤4．
故 y=x+2−4≤x≤2 的边界值为 4．

(2) ∵ 函数 y=−x+2 的图象是 y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x=a 时，y=−a+2=3，则 a=−1，
当 x=b 时，y=−b+2，则 −3≤−b+2<3,b>a,a=−1,
解得：−1
(3) 若 m>1，函数向下平移 m 个单位后，x=0 时，函数值小于 −1，此时函数的边界 t>1，与题意不符，故 m≤1．
当 x=−1 时，y=1 即过点 −1,1，
当 x=0 时，y最小=0，即过点 0,0，
都向下平移 m 个单位，则 −1,1−m，0,−m，
34≤1−m≤1 或 −1≤−m≤−34，
∴0≤m≤14 或 34≤m≤1．

【知识点】反比例函数图像上的点的坐标特征、k,b对一次函数图象及性质的影响、一次函数图像上点的坐标特征、二次函数的图象变换

27. 【答案】
(1) 令 y=0，则 −16x2+233x+6=0，解得 x1=63，x2=−23，
∵B 在 A 的左侧，
∴A63,0，B−23,0
令 x=0，则 y=6，即 C0,6，
设直线 AC 解析式为 y=kx+b，把 A63,0，C0,6 代入，
∴63k+b=0,b=6, 解得：k=−33,b=6,
∴ 直线 AC 解析式为：y=−33x+6．
(2) 如图 1，过 P 作 PH⊥x 轴交 AC 于点 H，
∴S△PCA=12PH⋅xA−xC=33PH，
∴ 当 PH 取最大值时，S△PCA 最大，
设 Pm,−16m2+233m+6，Hm,−33m+6，
∴PH=−16m2+3m0 ∴ 当 m=33 时，PH 取最大值，此时 P33,152，
在抛物线 y=−16x2+233x+6 中，
对称轴为 x=−b2a=23，
∴ 由平移知直线 l 为：x=732，
∴P1732,152，
设直线 l 与 x 轴的垂足为 Q，连接 P1A，
在 Rt△P1AQ 中，QA=532，P1Q=152，P1A=53，
∴tan∠P1AQ=3，
∴∠P1AQ=60∘，
作 P1 关于直线 AC 的对称点 P1ʹ，连接 P1P1ʹ，
与直线 AC，AʹCʹ 分别交于 S，T 点，
则 △AP1P1ʹ 是等边三角形，
∴P1ʹA=P1A=53，P1ʹ3,0，
∵MN⊥AC，CCʹ=2，∠CʹAʹA=30∘，
∴MN=3，
将 P1ʹ 沿 MN 方向平移 3 个单位得到 P1ʺ332,32，
将直线 AʹCʹ 绕点 Aʹ 顺时针旋转 45∘ 得到直线 l1，
过点 P1ʺ 作 P1ʺG⊥l1 于点 G，与 AʹCʹ 的交点即为 N 点，
易知 △P1ʺTN 和 △AʹGN 都为等腰直角三角形，
∴P1ʺN=2P1ʺT=562，AʹN=AʹT−TN=21−532，
∴GN=2124−564，
∴P1M+MN+22NAʹ最小=2124+564+3．
(3) 连接 OO1，则 △OO1B 为等边三角形，
∴∠O1OA=∠OAO1=∠OO1A=60∘，OO1=O1A=OA=63，
∴O133,9，B123,12，C163,12，
①如图 2−1，当四边形 Q1RS1C1 为矩形时，
xR−xO1=732−33=32，
∵ 由题意知，QR 与直线 l 的夹角为 30∘，
∴yQ1−yR=32×3=32，
∴xS1=xC1+32=1332，yS1=yC1−32=212，
∴S11332,212，
同理可求出 S232,332，S31132,212−6，S41132,212+6．
综上所述：在直角坐标平面内存在一点 S，使得以点 O1，C1，R，S 为顶点的四边形是矩形，坐标是 S11332,212，S232,332，S31132,212−6，S41132,212+6．
【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数的解析式、旋转及其性质

28. 【答案】
(1) 方法一：
将 x=0 和 x=6 代入方程得：b=36a−62a+2+b，
整理得：24a−12=0，
解得：a=12．

(2) 方法一：
将 2,m 代入 y=−2x，得：m=−4，
将 2,−4 代入二次函数 y=12x2−3x+b，
得：−4+b=−4，则 b=0，
故解析式为：y=12x2−3x．

(3) 方法一：
如图：
n 的取值范围为：n=1 或 2≤n≤4．

【解析】
(1) 方法二：
∵y=ax2−2a+2x+ba≠0 在 x=0 和 x=6 时函数值相等，
∴ 代入得：b=36a−62a+2+b，解得：a=12．
(2) 方法二：
当 x=2 时，m=−4，
∴ 二次函数的图象与直线 y=−2x 的一个交点为 2,−4，
把 2,−4 代入 y=ax2−2a+2x+b 得：12×22−3×2+b=−4，b=0，
∴ 二次函数的解析式是：y=12x2−3x．
(3) 方法二：
当 x=2 时，y=12×22−3×2=−4，
当 y=0 时，12x2−3x=0，解得：x=0 或 6，
当 y=−4 时，12x2−3x=−4，解：x=2 或 4，
−2x−4=0，x=−2．
∴F6,0，A−2,0，C2,−4，B0,−4，B′4,−4，
∴BC=2，AF=6−−2=8，BB′=4，
∵ 图象 G 为二次函数在 2≤x≤7 的部分，
∴ 从下端看最早相交的点为 B 与 C 相交，即 n=BC2=1 时，
从上端看，A 与 F 相交，即 n=AF2=4 时；
∴ 由图象得：当图象 G 与平移后的线段有公共点时，n 的取值范围是 2≤n≤4 或 n=1．

【知识点】二次函数的图象变换、二次函数的解析式、二次函数与方程