湘教版必修37.2直线的方程学案

圆的一般方程

三维目标：

  知识与技能　：　 (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．

                 (2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 [来源:Ks5u.com]

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

课题引入：[来源:Ks5u.com]

问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。

利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

探索研究：

请同学们写出圆的标准方程：

(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．

　　把圆的标准方程展开，并整理：

x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．

取得

    ①

这个方程是圆的方程．

反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得

    ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？

 (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；

（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;

（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

综上所述，方程表示的曲线不一定是圆 [来源:高考资源网]

只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程[来源:高考资源网]

我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)[来源:Ks5u.com]

 (1)①x2和y2的系数相同，不等于0．

　②没有xy这样的二次项．

 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

知识应用与解题研究：[来源:高考资源网]

例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。[来源:高考资源网KS5U.COM]

学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于来说，这里的

.

例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

  分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 

解：设所求的圆的方程为：

∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，

即

解此方程组，可得：

∴所求圆的方程为：

；

得圆心坐标为（4，-3）.

或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3)

学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：[来源:高考资源网KS5U.COM][来源:高考资源网]

①、根据提议，选择标准方程或一般方程；

②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；[来源:高考资源网]

③、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。                                     

解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是     ①                                                                [来源:Ks5u.com]

上运动，所以点A的坐标满足方程,即

     ②

把①代入②，得

课堂练习：[来源:Ks5u.com]

小结 ：

1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆)

2．与标准方程的互化

3．用待定系数法求圆的方程

4．求与圆有关的点的轨迹。

课后作业：

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