高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.5 圆的方程导学案

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.5 圆的方程导学案，共7页。学案主要包含了易错警示等内容，欢迎下载使用。

(1)正确理解圆的方程的一般形式及特点，会由圆的一般方程求圆心和半径．
(2)会在不同条件下求圆的方程．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念：
当____________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程❶.
2．圆的一般方程对应的圆心和半径：
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为________，半径长为________．
批注❶ 圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：x2、y2的系数相等且不为0；没有xy项．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．( )
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．( )
(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0.( )
2．圆x2＋y2－2x－3＝0的圆心坐标及半径分别为( )
A．(－1，0)与 B．(1，0)与
C．(1，0)与2 D．(－1，0)与2
3．下列方程表示圆的是( )
A．x2＋y2＋xy－1＝0
B．x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0
C．x2＋y2－3x＋y＋4＝0
D．2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0
4．若直线ax＋y＋1＝0经过圆x2＋y2＋x＋y－2＝0的圆心，则a＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．已知圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心坐标(3，4)，则圆的半径是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 圆的一般方程的概念
例1 若方程x2＋y2＋mx＋2y＋5＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是( )
A．(－4，4)
B．(－3，3)
C．(－∞，－4)
D．(－∞，－3)
方法归纳
判定二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
表示圆的两种方法
巩固训练1 方程x2＋y2－2ax－4ay＋6a2－a＝0表示圆心在第一象限的圆，则实数a的范围为________．
题型2 根据圆的一般方程求圆心和半径
例2 求下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－6x＝0；
(2)2x2＋2y2＋4ax－2＝0；
(3)x2＋y2－2ax－2ay＋3a2＝0.
方法归纳
根据圆的一般方程求圆的圆心和半径的两种方法
巩固训练2 求下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－4x＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＝0.
题型3 求圆的一般方程
例3 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
方法归纳
待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.
巩固训练3 已知A(2，0)，B(3，3)，C(－1，1)，则△ABC的外接圆的一般方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2－2x＋4y＋2＝0
C．x2＋y2－2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＋1＝0
题型4 与圆有关的最值问题(数学探究)
例4 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值和最大值；
(3)x2＋y2的最小值和最大值．
方法归纳
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如z＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
易错辨析 忽视圆的条件致错
例5 已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．
解析：由题意知
解得即2＜a＜.
答案：(2，)
【易错警示】
2．5.2 圆的一般方程
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．D2＋E2－4F>0
2．(－，－)
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．解析：x2＋y2－2x－3＝0，配方得(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1，0)，半径r＝2.
答案：C
3．解析：对于A选项，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy项，该方程不表示圆；
对于B选项，对于方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，∵22＋22－4×2＝0，该方程不表示圆；
对于C选项，对于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0，∵(－3)2＋12－4×4<0，该方程不表示圆；
对于D选项，方程2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0可化为x2＋y2＋2x＋y＋＝0，
因为22＋－4×>0，该方程表示圆．
答案：D
4．解析：由已知圆心坐标为(－，－)，
所以－a－＋1＝0，解得a＝1.
答案：A
5．解析：圆x2＋y2＋ax＋by＝0的圆心为(－，－)＝(3，4)⇒a＝－6，b＝－8，所以圆的半径为＝5.
答案：5
题型探究·课堂解透
例1 解析：因为方程x2＋y2＋mx＋2y＋5＝0表示一个圆，
则m2＋4－20>0，解得m>4或m<－4.
答案：C
巩固训练1 解析：由x2＋y2－2ax－4ay＋6a2－a＝0得x2－2ax＋a2＋y2－4ay＋4a2＋a2－a＝0，
即(x－a)2＋(y－2a)2＝a－a2，
因为方程x2＋y2－2ax－4ay＋6a2－a＝0表示圆心在第一象限的圆，
所以，解得0答案：0例2 解析：(1)方程x2＋y2－6x＝0⇒(x－3)2＋y2＝9，
所以圆心为(3，0)，半径为3.
(2)将2x2＋2y2＋4ax－2＝0两边同除以2，得x2＋y2＋2ax－1＝0，
配方，得(x＋a)2＋y2＝1＋a2.
故圆心坐标为(－a，0)，半径为.
(3)方程x2＋y2－2ax－2ay＋3a2＝0⇒(x－a)2＋(y－a)2＝a2，
所以圆心为(a，a)，半径为|a|.
巩固训练2 解析：(1)方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2，0)，半径r＝2.
(2)由圆的一般方程可知a≠0，原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.
方程表示以(－a，0)为圆心，|a|为半径的圆．
例3 解析：方法一 设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
方法二 ∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
巩固训练3 解析：设△ABC外接圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意可得：，解得，
即△ABC的外接圆的方程为：x2＋y2－2x－4y＝0.
答案：C
例4 解析：
(1)如图所示，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆．
设＝k，即y＝kx，则圆心(2，0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由＝，解得k2＝3，
∴kmax＝，kmin＝－.(也可由平面几何知识，得OC＝2，CP＝，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°.)
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±，故(y－x)min＝－2－，(y－x)max＝－2＋.
解析：
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图中的点M和N)．
又因为圆心到原点的距离为
＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值为(2－)2＝7－4.出错原因
纠错心得
忽视了二元二次方程表示圆的条件D2＋E2－4F＞0，从而得到错误答案：a＞2.
对于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F＞0的前提下才表示圆，故求解本题在判定出点与圆的位置关系后，要验证所求参数的范围是否满足D2＋E2－4F＞0.