湘教版必修37.2直线的方程学案

第四课时　直线方程

学习目标

⑴进一步理解倾斜角与斜率的定义，掌握过两点的斜率公式

⑵掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，会根据条件选用适当的方程形式解决有关问题

⑶认识事物之间的普遍联系与相互转化，能用联系的观点看问题

教学过程

例1　过两点A（0,0），B（cosθ,sinθ）(－90°＜θ＜0°）的直线的斜率是＿＿＿＿＿＿＿＿＿，倾斜角是＿＿＿＿＿＿＿＿。

例2　设直线l：3x＋4y－5＝0的倾斜角为θ，则l关于直线y＝3对称的直线的倾斜角是＿＿＿＿＿＿＿＿。

例3　直线ax＋by＝ab（a＞0，b＞0）的倾斜角是　　　　　　（　　）

A、arctan(－b/a)             B、arctan(－a/b)

C、π－arctan(b/a)           D、π＋arctan(－a/b)

例4　若直线l的斜率k∈[－1,1]，则它的倾斜角的取值范围是（　　）

A、［kπ－π/4,kπ＋π/4］(k∈Z)    B、[－π/4,π/4]

C、[π/4,3π/4]                    D、[0,π/4]∪[3π/4,π）

例5θ∈(π/2,π)，则直线xcosθ＋ysinθ＋1＝0的倾斜角的范围是（　）

A、θ－π/2　　　B、θ＋π/2　　C、π/2－θ　　　D、π－θ

例6　下列命题：①直线的倾斜角为α，则斜率为tanα；②直线的斜率为k,则倾斜角为arctank；③平行于y轴的直线的倾斜角为90°；④直线y=xtanα＋2的倾斜角是α。其中正确的是　　　　　　　　　　（　　）A、①　　　　　B、②和③　　　　C、③　　　　　　D、②和④

解：∵ab＞0，直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，

∴tanα＝－a/b＜0，又α∈[0,π）∴α∈（π/2,π）

∴0＜cosα/2＜sinα/2

    ＝sinα/2＋cosα/2－sinα/2＋cosα/2＝2 cosα/2

又　∴ sinα/2＝2cosα/2　

∴tanα/2＝2　　　

∴k＝tanα＝－4/3

例8　求直线3x－2y＋24＝0的斜率及它在x、y轴上的截距。

变：直线l过点P（－4,6），且与x轴、y轴分别交于点A、B，若点P恰为线段AB的中点，求直线l的方程。

例9　设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2＋a＝0(a∈R)，若l不经过第四象限，求实数a的取值范围。

解：若a＋1＝0，即a＝－1时，直线l的方程为y＝3满足条件。

若a＋1≠0，即a≠－1时，直线l在x轴、y轴上的截距是(2－a)/(a+1), 2－a，由直线l不经过第四象限得

综上：a≤－1

例10　光线自点M（2,3）射到y轴的N（0,1）点后被y轴反射，求反射光线的方程。

分析一：如图

∵入射线经过两已知点M、N

∴k＝(3―1)/(2―0)＝1

即倾斜角为45°，故入射角θ＝45°

由物理学知识知反射角等于入射角

∴反射光线的倾斜角为135°，

其斜率为－1，又反射光线过点N（0,1）

∴反射光线的方程为y－1＝(―1)(x―0)

即x＋y－1＝0

分析二：如图

由物理学知识知反射角等于入射角

∵入射线经过已知点M（2,3）

∴M关于y轴的对称点Q（－2,3）在反射光线上

又反射光线过点N（0,1），∴其斜率为k＝(3―1)/(－2―0)＝－1

∴反射光线的方程为y－1＝(―1)(x―0)

即x＋y－1＝0

变：一束光线经过点A（－2,1），由直线l：x－3y＋2＝0反射后，经过点B（3,5），求反射光线所在的直线方程。

解：设点A（－2,1）关于由直线l：x－3y＋2＝0的对称点为A′（x0,y0），

由物理学知识知反射角等于入射角

∴点A′在反射光线上，又反射光线过点B（3,5），

∴由两点式得：

即29x－22y＋23＝0

归纳总结　

数学思想：数形结合、特殊到一般

数学方法：公式法

知识点：倾斜角与斜率的定义、点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式

作业：创新作业　直线方程4

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