人教版新课标A必修53.2 一元二次不等式及其解法教案

3．3  一元二次不等式及其解法 学案

【预习达标】

⒈一次不等式ax>b，若a>0，解集为_____________；若a<0，解集为           ；若a=0，则当b≥0时，解集为           ；当b<0时，解集为___________．

⒉一元一次不等式组（a>b）。若则解集为______；若则解集为____；若 则解集为______；若则解集为________．

⒊若ax2+bx+c>0是一元二次不等式，则a_______．

⒋若ax2+bx+c＝0有两个不等实根x1,x2且x1>x2，那么一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为                ；ax2+bx+c<0(a>0)的解集为                ；若ax2+bx+c＝0有两个相等实根x0，那么一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为                ；若ax2+bx+c＝0没有实根，那么一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为                。

5．分式不等式可以转化为一元二次不等式，试写出下列分式不等式的转化形式：

                 ；                   。

【典例解析】

例⒈解下列含有参数的一元二次不等式：

（1）2x2+ax+2>0            (2)  x2－(a+a2)x+a2>0

例⒉已知f(x)=x2－2ax+2，当x∈时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。

例3．设不等式mx2－2x－m+1<0对│m│≤2的一切m的值均成立。求x的取值范围．

例4．关于x的不等式组的整数解的集合为｛－2｝，求实数k的取值范围。．

【达标练习】

一．              选择题：

　⒈下列结论正确的是（　　　　　　）

　　Ａ．不等式x2≥4的解集是｛x│x≥±2｝　　　Ｂ．不等式x2－9<0的解集为｛x│x<3｝　　　　　Ｃ．(x－1)2<2的解集为｛x│1－<x<1+｝　

Ｄ．一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等实根x1,x2且x1>x2，则不等式ax2+bx+c<0的解集为｛x│x2<x< x1｝

　⒉已知mｘ2+mｘ+m<1的解集为Ｒ，则m的取值范围是（　　　　）

Ａ．　　　　　　　　　　　　Ｂ．

Ｃ．（－∞，　　　　　　　　　　Ｄ．

　⒊二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为－2，3，且a<0，那么ax2+bx+c>0的解集为（　　　　）

　　Ａ．｛ｘ｜ｘ＞3或x<－2｝　　　  　Ｂ．｛ｘ｜ｘ＞2或x<－3｝　　　　　　　Ｃ．｛ｘ｜－2<ｘ<3｝　　　　　              Ｄ．｛ｘ｜－3<ｘ<2｝

　⒋不等式≤的解集是（　　　　　）

　　Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．（1，10）　　Ｄ．

　⒌不等式│x2－5x│>6的解集为（　　　　　）

Ａ．｛ｘ｜ｘ＞6或x<－1｝　　　　　Ｂ．｛ｘ｜2<ｘ<3｝　　　　　　　　

Ｃ．　　　　　　　　Ｄ．｛ｘ｜x<－1或2<ｘ<3或ｘ＞6｝

二．填空题：

　⒍函数f(x)=的定义域为R，则m的取值范围是            

　⒎关于x 的不等式x2-mx+5≤4的解集只有一个元素，则实数m＝       ．

　⒏设Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－２＜０，ｘ∈Ｒ｝，Ｂ＝｛ｘ｜５－２ｘ＞０，ｘ∈Ｎ｝，则Ａ∩Ｂ＝_________________．

三．解答题：

　⒐如果｛ｘ｜2aｘ2+(２－ab)x－b>0｝｛ｘ｜ｘ＞3或x<2｝，其中b>0，求a、b的取值范围。　

　⒑若不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2<m<2的所有m都成立，求x的取值范围。

参考答案：

【预习达标】

1．x>；x<；；R；

2．x>a；  x<b；   ；   b<x<a；

3．a≠0；

4．{x│x> x1或x<,x2}；{x│x2<x<,x1}；{x│x≠ x0}；{x│x∈R}；

5．；。

【典例解析】

例1．解析：

（1）△＝a2-16∴①△<0,即－4<a<4时，不等式解集为R；②△＝0，即a=±4时，不等式解集为｛ｘ｜ｘ≠±1，x∈R｝③△>0,即a>4或a<-4时，不等式解集为

｛ｘ｜ｘ>或x<｝

（2）所给不等式即（x-a）(x-a2)>0必须对a和a2的大小进行讨论。①当a<0时，有a<a2，解集为{x│x<a或x>a2}；②当0<a<1时，有a>a2，解集为{x│x>a或x<a2}；③当a>1时，有a<a2，解集为{x│x<a或x>a2}；④当a=0时，有a=a2，解集为{x│x∈R且x≠0}；⑤当a＝1时，有a＝a2，解集为{x│x∈R且x≠1}。

例⒉解析：由已知得：x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞）上恒成立，即或解得－3≤a≤1。

例⒊解析：构造函数f(m)=(x2－1)m-(2x－1)即f(m)在[2，2]上恒为负值。故需要

即∴

例4．解析：由x2-x-2>0可得x<-1或x>2。∵不等式组的整数解的集合为{-2}

又∵2x2+(2k+5)x+5k=0的两个根为-k,与－

∴①若－k<－，则不等式组的整数解的集合就不可能为{-2}；②若－<－k，则应该有－2<－k≤3，∴－3≤k<2

综上，所求k的取值范围为－3≤k<2。

【达标练习】

一、1．C

2．C解析：首先另外需要考虑m=0这种情况也成立

 3．C

4．B

5．D解析：等价于x2－5x >6或x2－5x<-6

二、6．m≥－1解析：等价于△≥0

7．±2解析：等价于△＝0

8．{0，1}

三、9．解析：记A＝｛ｘ｜2aｘ2+(２－ab)x－b>0｝＝｛ｘ｜（ax+1）(2x-b)>0｝；

记B＝｛ｘ｜ｘ＞3或x<2｝。①若a=0,则A=｛ｘ｜ｘ＞｝，不可能有。②当a<0时，由（ax+1）(2x-b)=2a(x+)(x-)>0，知(x+)(x-)<0，此不等式的解集是介于－与之间的有限区间，故不可能有。③当a>0时，

A＝｛ｘ｜ｘ＞或x<－｝，∵∴－≥－2且≤3，∴a≥且0<b≤6。

10．解析：原不等式可以化为（x2-1）m-(2x-1)<0，即f(m)= （x2-1）m-(2x-1)

其中－2≤m≤2。根据题意得：

     即，

解之得：