高中数学人教版新课标A必修53.1 不等关系与不等式教案

3.1.1 不等关系与不等式 学案

【预习达标】

1．用数学符号                  连接两个数或代数式，以表示它们之间的      关系，含有这些不等号的式子叫做           ．

2．数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数总比左边的点对应的实数     ．

3．a≥b的含有是             ；若a>b，则a≥b是    命题；若a≥b，则a=b是    命题．

4．比较两个实数大小的依据是：a-b>0         ；a-b=0           ；a-b<0             ．

5．作差比较两个代数式的大小过程中，变形的方法常有           和             ．

【典例解析】

例⒈（1）比较x2+3与3x的大小，其中x∈R；

（2）比较x6+1与x4+x2的大小，其中x∈R；

（3）比较（＋1）3－（－1）3与2的大小（n≠0）

例⒉已知a、b∈R＋，m、n∈N＋，且1≤m≤n，求证an+bn≥an-mbm+ambn-m。

例⒊设f(x)=1+log，g(x)= 2log，（x>0且x≠1）试比较f(x)与g(x)的大小．

【达标练习】

一．选择题：

⒈已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是（     ）

A．    a>ab>ab2    B.    ab2>ab>a      C.   ab> a>ab2       D  ab> ab2>a

⒉ 已知a>b>c，则＋＋的值（　　　　）

　A．为正数　　　　B．为非正数      C．为非负数　　　D．不能确定

⒊ 已知x>y>z且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（　　　　）　

　Ａ．xy>yz       Ｂ．xz>yz      Ｃ．xy>xz            Ｄ．x│y│>z│y│

⒋ 已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是Ｍ，则下列判断正确的是（　　　）

　Ａ．０Ｍ　　　　Ｂ．２∈Ｍ　　　　Ｃ．－４Ｍ　　　　Ｄ．４∈Ｍ

⒌ f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则有（       ）

  A．f(x)>g(x)         B．f(x)=g(x)           C．f(x)<g(x)      D．不能确定大小关系

二．填空题：

⒍ 设a=2－，b=－2，c=5－2，则a、b、c的大小关系为________________．

⒎＋与2的大小关系是 _____________________．－与－的大小关系是               

⒏ 2<a≤3,－2≤b≤－1，则a+b的取值范围是           ，a－b的取值范围是           ．

三．解答题：

⒐ 已知a≠0试比较（a2+a+1）(a2－a+1)与（a2+a+1）(a2－a+1)的大小．

10．x∈R，比较(x+1)(x2++1)与(x+)(x2+x+1) 的大小

参考答案：

【预习达标】

1．><≥≤≠，不等，不等式；

2．大；

3．a>b或a=b，真，假；

4．a>b，a=b，a<b；

5．配方法和因式分解法。

【典例解析】

例1．解析：（1）（x2＋3）－3x=x2－3x+3=(x－1.5)2+0.75>0∴x2＋3>3x

（2）（x6+1）－(x4+x2)= x6+1－x4－x2＝x4(x2－1)－(x2－1)=( x2－1)2(x2+1)≥0∴x6+1－≥x4+x2

（3）∵(a+1)3=a3+3a2+3a+1, (a-1)3=a3-3a2+3a-1

∴（＋1）3－（－1）3－2＝n2>0 ∴（＋1）3－（－1）3>2

例⒉解析：an+bn－（an-mbm+ambn-m ）＝an-m(am-bm)+bn-m(bm-am)= (am-bm)( an-m- bn-m)当a=b时取等号；当a≠b时，取“>”

例⒊解析：f(x)-g(x)= 1+log－2log=log－log=log

(1)  当log>0时，即或时，也就是x>或0<x<1时，f(x)>g(x)；

(2)  当log=0时,即＝1时，也就是x＝时，f(x)＝g(x)；

(3)  当log<0时，即即或时，也就是1<x<时，f(x)<g(x)。因此x>或0<x<1时，f(x)>g(x)；x＝时，f(x)＝g(x)；1<x<时，f(x)<g(x)。

【达标练习】

一、1．C解析：ab为正最大，b2<1∴ab2-a<0，∴ab> a>ab2

2．A解析：原式＝＝∵a>b>c∴原式>0

3．C解析：∵x>y>z且x+y+z=0，∴x>0,z<0但b正负不确定，还可能为零

4．D解析：讨论可知M的元素只有0，±4三个

5．A解析：f(x)-g(x)=(x－1)2+1>0

二、6．a<b<c解析：∵a=2－<0,b>0,c>0,而c-b=7-3=－>0∴a<b<c

7．＋>2（比较平方后的结果）；

－>－（比较它们的倒数或分子有理化）

8．（0，2]，(3，5]

三、9．解析：[（a2+a+1）(a2－a+1)]－[（a2+a+1）(a2－a+1)]=[( a2+1)2－2a2]－[( a2+1)2－a2]=－a2<0

10．解析：(x+1)(x2++1)= (x+)(x2++1)+ (x2++1)；

(x+)(x2+x+1)＝(x+)(x2++1)+ (x+)=(x+)(x2++1) + (x2+)

∴(x+1)(x2++1)> (x+)(x2+x+1)。