高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.1 不等关系与不等式复习练习题

第三章　不等式

3.1　不等关系与不等式

基础过关练

题组一　用不等式(组)表示不等关系

1.完成一项装修工程,请木工每人需付工资500元,请瓦工每人需付工资400元,现有工人工资预算20 000元,设木工请x人,瓦工请y人,则x,y应满足的关系式是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200

C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200

2.用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,每次敲击后铁钉进入木板的长度满足后一次为前一次的.已知一个铁钉受击三次后全部进入木板,且第一次受击后铁钉进入木板的部分是钉长的,请从这个实例中提炼出一个不等式组.

题组二　实数(代数式)大小的比较

3.若M=x2,N=-x-1,x∈R,则M与N的大小关系是(　　)

A.M>N B.M=N

C.M<N D.与x有关

4.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是　(　　)

A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a

C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2

5.若a>b>c,则+　 (填“>”“=”或“<”).

6.若a≠2,b≠-1,M=a2+b2,N=4a-2b-5,则M与N的大小关系为　　　　.

7.已知a=,函数f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m与n的大小关系为　　　　.

8.已知a,b∈R,a+b>0,试比较a3+b3与ab2+a2b的大小.

题组三　不等式的性质

9.已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是(　　)

A.x3>y3 B.sin x>sin y

C.ln(x2+1)>ln(y2+1) D.>

10.已知a,b,c,d∈R,则下列命题中必成立的是(　　)

A.若a>b,c>b,则a>c

B.若a>-b,则c-a<c+b

C.若a>b,c<d,则>

D.若a2>b2,则-a<-b

11.给出下列四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0,能推出<成立的是　　　　.(填序号)

12.已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>.

题组四　求代数式的取值范围

13.已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则3a-2b的取值范围为　　　　.

14.已知x<-2,y>4,则x2+y的取值范围是　　　　.

15.已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,则(a-b)c2的取值范围是　　　　.

16.已知-2<a≤3,1≤b<2,试求下列代数式的取值范围.

(1)|a|;(2)a+b;(3)a-b;(4)2a-3b.

能力提升练

一、选择题

1.(2020安徽合肥高一期末,★★☆)若a<0<b,则下列不等式恒成立的是(　　)　　　 　　　　　 　　　　　

A.> B.-a>b

C.a2>b2 D.a3<b3

2.(2020北京东城高一期末,★★☆)已知a,b,c∈R,那么下列命题正确的是(　　)

A.若a>b,则ab>b2

B.若>,则a>b

C.若a3>b3且ab<0,则>

D.若a2>b2且ab>0,则<

3.(2020北京朝阳高一下期末,★★☆)已知0<a<1,0<c<b<1,则下列不等式成立的是(　　)

A.> B.>

C.logba<logca D.ab>aa

4.(★★☆)设α∈,β∈,则2α-的取值范围是(　　)

A. B.

C.(0,π) D.

5.(2019河南商丘九校高二期末联考,★★☆)已知x>y>z,且x+y+z=1,则下列不等式中成立的是(　　)

A.xy>yz B.xy>xz

C.xz>yx D.x|y|>z|y|

6.(★★★)甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则(　　)

A.甲先到教室 B.乙先到教室

C.两人同时到教室 D.谁先到教室不确定

7.(★★★)设实数x,y满足0<xy<1且0<x+y<1+xy,那么x,y的取值范围是(　　)

A.x>1且y>1 B.0<x<1且y<1

C.0<x<1且0<y<1 D.x>1且0<y<1

二、填空题

8.(★★☆)已知0<a<,且M=+,N=+,则M,N的大小关系是　　　　.

9.(★★☆)某公司有20名技术人员,计划开发A,B两类共50件电子器件,每类每件所需人员和预计产值如下:

今制订计划欲使总产值最高,则A类电子器件应开发　　　　件,最高产值为

　　　　万元.

10.(★★★)已知△ABC的三边a,b,c满足b+c≤2a,c+a≤2b,则的取值范围是　　　　.

11.(★★★)已知下列三个不等式:①ab>0;②>;③bc>ad.若以其中的两个为条件,余下的一个为结论,则可以组成　　　　个正确命题.

三、解答题

12.(★★☆)若bc-ad≥0,bd>0,求证:≤.

13.(★★★)已知1≤lg≤2,2≤lg≤3,求lg的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.D　根据题意,可知500x+400y≤20 000,即5x+4y≤200,故选D.

2.解析　由题意知,第二次受击后铁钉没有全部进入木板,第三次受击后铁钉全部进入木板,所以

3.A　∵M-N=x2+x+1=+>0,

∴M>N.

4.B　∵a2+a<0,∴-1<a<0.取a=-,可知-a>a2>-a2>a,故选B.

5.答案　>

解析　∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0,

∴+-

=

=

=>0,

∴+>.

6.答案　M>N

解析　∵a≠2,b≠-1,

∴M-N=a2+b2-4a+2b+5=(a-2)2+(b+1)2>0,

∴M>N.

7.答案　m<n

解析　因为0<<1,所以0<a<1,

所以f(x)=ax在R上为减函数.

所以由f(m)>f(n)可得m<n.

8.解析　因为a+b>0,(a-b)2≥0,

所以a3+b3-ab2-a2b=a3-a2b+b3-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)(a-b)(a+b)=(a-b)2(a+b)≥0,所以a3+b3≥ab2+a2b.

9.A　由ax<ay,0<a<1可知,x>y,所以x3>y3,故A正确;由正弦函数的性质知,不能确定sin x与sin y的大小,故B错误;由x>y不能确定x2+1与y2+1的大小,故C、D错误.

10.B　选项A,若a=4,b=2,c=5,显然a>c不成立;选项C,若a>b>0,c<0<d,显然>不成立;选项D,只有a>b>0时才成立,如a=-1,b=0时不成立.故选B.

11.答案　①②④

解析　①若b>0>a,则<0<,故①符合题意;

②若0>a>b,则ab>0,∴>,即>,故②符合题意;

③若a>0>b,则>0>,故不能推出<,故③不符合题意;

④若a>b>0,则>,即>,故④符合题意.

因此能推出<成立的是①②④.

12.证明　∵c<d<0,∴-c>-d>0.

又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0,

∴(a-c)2>(b-d)2>0,

∴0<<,

又∵e<0,∴>.

13.答案　[-2,10]

解析　设3a-2b=m(a+b)+n(a-b),

则3a-2b=(m+n)a+(m-n)b,

∴解得

∴3a-2b=(a+b)+(a-b).

又∵1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,

∴≤(a+b)≤,-≤(a-b)≤,

∴-2≤(a+b)+(a-b)≤10,即-2≤3a-2b≤10.

14.答案　(8,+∞)

解析　∵x<-2,∴|x|>2,∴x2>4,∴x2+y>8.

15.答案　(0,8)

解析　由题意得0<a-b<2,1<c2<4,所以0<(a-b)c2<8.

16.解析　(1)|a|∈[0,3].

(2)-1<a+b<5.

(3)依题意得-2<a≤3,-2<-b≤-1,

所以-4<a-b≤2.

(4)由-2<a≤3得-4<2a≤6,①

由1≤b<2得-6<-3b≤-3,②

①+②得,-10<2a-3b≤3.

能力提升练

一、选择题

1.D　∵a<0<b,∴设a=-1,b=1,代入可知A,B,C中的不等式均不正确,故选D.

2.C　当b≤0时,A中的命题不正确;当c<0时,B中的命题不正确;

若a3>b3且ab<0,则a>0,b<0,所以>,故C中的命题正确;当a<b<0时,D中的命题不正确.

3.A　A中,-=,∵0<a<1,0<c<b<1,∴>0,故>,故A正确;

B中,-=,∵0<a<1,0<c<b<1,∴<0,故<,故B不正确;

C中,∵0<c<b<1,∴ln c<ln b<0,∴<<0,∵0<a<1,∴ln a<0,∴>,

∴logba>logca,故C不正确;

D中,∵0<a<1,∴函数y=ax是减函数,又a,b的大小关系不确定,∴ab>aa不一定成立,故D不正确.

4.D　由已知得0<2α<π,0≤≤,

所以-≤-≤0,

所以-<2α-<π.故选D.

5.B　∵x>y>z,且x+y+z=1,

∴x>0,∴xy>xz.故选B.

6.B　设从寝室到教室的路程为s,甲、乙两人的步行速度为a,跑步速度为b,且0<a<b.

甲所用的时间t甲=+=,

乙所用的时间t乙=,

∴=×=,

∵(a+b)2=(a-b)2+4ab>0,

∴==+1>1,

∴t甲>t乙,即乙先到教室.

7.C　∵x+y<1+xy,∴x-xy+y-1<0,∴x(1-y)+y-1<0,∴(x-1)(1-y)<0,∴(x-1)(y-1)>0,∴x>1,y>1或x<1,y<1.

又0<xy<1,x+y>0,∴0<x<1,0<y<1.故选C.

二、填空题

8.答案　M>N

解析　因为0<a<,所以1+a>0,1+b>0,1-ab>0,

所以M-N=+=>0,即M>N.

9.答案　20;330

解析　设应开发A类电子器件x件,则应开发B类电子器件(50-x)件.设总产值为y万元.

根据题意,得+≤20,解得x≤20.

所以y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,当且仅当x=20时,y取最大值330,所以欲使总产值最高,A类电子器件应开发20件,最高产值为330万元.

10.答案　

解析　∵b+c≤2a,c+a≤2b,且c>a-b,c>b-a,∴不等式组有解,

∴∴<<,即的取值范围是.

11.答案　3

解析　若ab>0,bc>ad成立,

则不等式bc>ad两边同除以ab,

得>,即ab>0,bc>ad⇒>;

若ab>0,>成立,则>两边同乘ab,得bc>ad,

即ab>0,>⇒bc>ad;

若>,bc>ad成立,

由于-=>0,

又bc-ad>0,故ab>0,

所以>,bc>ad⇒ab>0.

综上,任两个作为条件都可推出第三个成立,故可以组成3个正确命题.

三、解答题

12.证明　-==.

∵bc-ad≥0,bd>0,

∴≤0,∴≤.

13.解析　由变形,

得

设lg=3lg x-lg y=m(lg x-lg y)+n=(m+3n)lg x-lg y,

则解得

由题意得

∴≤lg≤3,

故lg的取值范围是.