高中数学人教版新课标A必修53.1 不等关系与不等式学案

这些错误你注意了吗

初学解不等式，由于对不等式性质理解不透，掌握不牢，常会犯以下四种常见错误，这些错误你注意了吗？

一、          不顾分母的符号直接去“分母”

例1           解不等式：．

误：去分母，得，即，得，

原不等式的解集为．

析：因为分母正负未定，故不等式两边同乘以后不等号方向直接就“定义”不

变是不对的．应通过移项、通分解决．

正：原不等式变形为

或．

原不等式的解集为．

二、          忽视等号

例2　不等式的解集为　　　　　．

误：原不等式变形为，

，不等式又变形为．

解得，原不等式的解集为．

析：首先，作为分母，；其次，即时不等式成立，故不

等式同解变形时不能直接将其去掉．

正：原不等式的解集为（在此集合中）．

三、          忽视“定义域”

例3　解不等式．

误：原不等式可化为，解得．

原不等式的解集为．

析：首先应保证有意义，即，然后再解．

正：原不等式可化为，解得．

原不等式的解集为．

四、          忽视对相关量的讨论

1． 忽视对判别式的讨论

例4           解关于的不等式．

误：方程的两根为，

原不等式的解集为．

析：相关方程有无实根、有几个实根直接影响解集的情况．故须分

三种情况讨论．

正：（1）当，即或时，原不等式的解集为

．

（2）当，即或时，原不等式的解集为．

（3）当，即时，原不等式的解集为空集．

2． 忽视对二次项系数的讨论

例5　解关于的不等式．

误：原不等式可化为

，

当，即或时，原不等式的解集为；

当，即时，原不等式的解集为；

当，即时，原不等式的解集为．

析：将要求解的不等式转化为一元二次不等式后，须根据二次项系数，，分情况讨论．

正：（1）当，即时，不等式变形为．　　

①当即即时，

原不等式的解集为；

②当时，及均不可能．

（2）当，即时，不等式可化为，解集为；

（3）当，即时，不等式可化为．

①当即即时，原不等式的解集为；

②当即时，原不等式的解集为；

③当即即时，原不等式的解集为．

注：在解答例5，有的同学总结时不注明参数的范围，直接写成：原不等式的解集为

或，这是错误的．因为正是由于参数的取值范围不同，才导致不等式的解集发生变化．所以，必须根据参数的取值范围来写出不等式的解集．

巧解含参不等式

一、            主元法解恒成立问题

例1      对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．

分析：若以为主元，问题复杂且难以解决，若变换思维角度，以为主元为参数，则原不等式可化为：，且为关于的一次函数，它的图象是一条直线，运用数形结合思想，我们只需使即可，

所以由解得，

故实数的取值范围为．

二、            分离参数求最值

这类问题经常用到这样的结论：若函数存在最小值，则恒成立；若存在最大值，则恒成立．

例2         已知，对任意，恒成立，求实数的范围．

解：由，恒成立得，恒成立．

即当时，恒成立．

而在上单调递减，

，故．

三、            数形结合求参数

例3　是否存在实数，使得关于的不等式在时恒成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

解：由原题易知存在使不等式恒成立，那么如何探求其范围呢？

将不等式变形即为：，

可设，．

故中参数的几何意义是直线的斜率．

由图象知当直线与曲线相切时，关于的方程有惟一大于0的解，将方程整理成关于的一元二次方程后，由求得．

　　又直线过定点故要使恒成立，只需即可．

　　综上，存在实数使不等式恒成立．