2020-2021学年3.4.1 函数与方程教案设计

函数与方程的互化

函数与方程问题具有相辅相成、相得益彰的关系，所以通过两者之间的相互作用，可以优化解题过程。

一、   用函数解决方程问题

把方程问题转化为函数问题，就可以运用函数值、函数图象及其性质解决方程问题。

例1 方程在区间（a，b）（a,b是整数，且b-a=1）上有一个根，则a+b的值是多少。

点拨：欲寻找方程的根所在的区间，并证明其惟一性，要先画图观察，再由函数的单调性证明根的惟一性，其关键是构造函数。

解析：令

∵

∴方程在区间（-3，-2）内至少有一根。

设任意实数，且，       

由知，。故，即。函数在（-∞，-1］上单调递增。同理，可证出函数在［1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减。又因为，，故方程在R上只有一解，又a,b是整数，且b-a=1,所以a=-3,b=-2.故a+b=-5.

二、   用方程解决函数问题

把函数问题转化为方程问题的目的，就是要运用方程的根解决函数的图象、性质等问题。

例2 若一次函数有一个零点2，则函数的图象可能是（  ）。

点拨：欲画函数的图象，需先求出方程的根，其关键是利用方程的根是2求出的值。

解析：依题意有，得；又由，解得x=0,或，即函数有零点0和-0.5，也就是该函数图象与x轴交点的横坐标分别为0和-0.5，故选（C）。