苏教版必修13.4.1 函数与方程教案设计

函数与方程

一．学习目标：

1.了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

　　2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数。

二．命题走向

函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

（1）题型可为选择、填空和解答；

（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．要点精讲

1．方程的根与函数的零点

（1）函数零点

概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

二次函数的零点：

１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；

２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。

2.二分法

二分法及步骤：

对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：

（1）确定区间，，验证·，给定精度；

（2）求区间，的中点；

（3）计算：

①若=，则就是函数的零点；

②若·<，则令=（此时零点）；

③若·<，则令=（此时零点）；

（4）判断是否达到精度；

即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。

注：函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使的实数；

从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；

若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；

若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。

注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

3．二次函数的基本性质

（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。

（2）当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。

若－<p，则f(p)=m，f(q)=M；

若p≤－<x0，则f(－)=m，f(q)=M；

若x0≤－<q，则f(p)=M，f(－)=m；

若－≥q，则f(p)=M，f(q)=m。

（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。

①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0；

②二次方程f(x)=0的两根都大于r

③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根

④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。

四．典例解析

题型1：函数零点的判定

例1.判断下列函数在给定区间是否存在零点；若存在，判断零点的个数

变式：判断函数上零点的个数

小结：函数零点的判定方法

     （1）解方程

     （2）用零点存在性定理。如果判定零点个数，还必修结合函数的图象和性质才能确定

（3）利用函数图象的交点

题型2：函数零点的应用

例2    .m为何值时，

（1）          有且仅有一个零点

变式：在（－2，2）有且仅有一个零点

（2）          有两个零点且均比－1大

练习：(09山东14)若函数有两个零点,则实数的

取值范围是       .

例3. （06浙江16）设f(x)=,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：

(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；

(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个零点.

证明：（I）因为，

所以.

由条件，消去，得

；

由条件，消去，得

，.

故.

（II）抛物线的顶点坐标为，

在的两边乘以，得

.

又因为

而

所以方程在区间与内分别有一实根。

故方程在内有两个实根.

小结：以二次函数为载体进行函数零点的应用是考查的重点。