苏教版必修13.4.1 函数与方程教学设计

函数概念

一、  知识清单

1．映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。

2．函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。

3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。

4．函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.

注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。 

5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.

注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便.

⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

①    函数的值域为R;

②    二次函数

当时值域是,当时值域是]；

③    反比例函数的值域为；

④    指数函数的值域为；

⑤    对数函数的值域为R；

⑥    函数的值域为[-1，1]；

⑦    函数,的值域为R；

二、  课前练习

1.若，,则到的映射有      个，到的映射有     个；若，, 则到的一一映射有     个。

2. 设集合A和集合B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是              (  )

（A）2   （B）3 （C）4  （D）5

3.已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则        ；定义域为                 。

4. 求函数的定义域.

5. 若函数的定义域为[1,1]，求函数的定义域。

6.已知 (x0), 求.

7. 求函数的值域.

8. 下列函数中值域为的是(  )

 (A) (B) (C) (D)

三、  典型例题

EG1、A=｛1，2，3，4，5｝，B=｛6，7，8｝从集合A到B的映射中满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有       个。

变式1、若f :y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.

变式2、集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N满足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:M→N的个数是多少？

EG2、设函数，，求函数的定义域.

变式1： 函数的定义域是

 A.         B.     C.         D.

变式2：设，则的定义域为

 A.      B.    C.     D.

函数值域

求函数值域是函数中的重要问题之一，在后续课程的学习中也有许多应用，求函数的值域要涉及多种数学思想方法和函数、方程、不等式等到相关知识，求函数值域是函数学习的一个难点，为此本文介绍几种常见的求法．

一、用非负数的性质

例１　求下列函数的值域：y=-3x2+2;

变式：y=5+2(x≥-1).

二．            分离常数法

对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．

例２　求下列函数的值域：y=

变式2、y=.

三、利用函数单调性

已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法．

例３　求函数y=3x-的值域.

四、利用判别式

特殊地，对于可以化为关于x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用．　　

例4　求函数y =的最值．

变式：；

五、利用数形结合

 数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外．

　例5　若（x+）(y-)=0,求x-y的最大、最小值．

变式：函数的值域        .

六、利用换元法求值域

　　有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑．

例6　求函数y=2x-5+的值域．

变式：求函数的值域

七、利用反函数求值域

　因函数y=f(x)的值域就是反函数y=f-1(x)的定义域，故某些时候可用此法求反函数的值域．

例7　求函数y=(x＞0)的值域．

变式：函数 y＝的值域是       由ex＝＞0，得值域为(-∞，-1)∪(2，+∞)；

八、利用已知函数的有界性．

例8　求函数y=的值域.

变式：求下列函数的值域

（1）

（2）；

函数解析式

一、定义法：

例1：设，求.

变式1：设，求.

变式2：设，求.

变式3：设.

二、待定系数法：

例2：已知，求.

变式1、已知是一次函数，且满足，求；

三、换元（或代换）法：

例3：已知求.

变式1：设，求.

变式2：若    求.   

变式3：设，求。

四、微积分法：

例4：设，求.

四、  实战训练

1、(07安徽文7)图中的图象所表示的函数的解析式为

(A) (0≤x≤2)

(B)  (0≤x≤2)

(C)  (0≤x≤2)

(D)  (0≤x≤2)

2、（07陕西文2）函数的定义域为

（A）［0，1］      （B）（-1，1）  

（C）［-1，1］      （D）（-∞，-1）∪（1，+∞）

3、（07山东文13）设函数则        ．

4、（07北京文14）已知函数，分别由下表给出

则的值为          ；当时，        ．

5、（07北京理14）已知函数，分别由下表给出

则的值为      ；满足的的值是      ．

6、（07上海理1）函数的定义域为

7、（07湖北文理15）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；

药物释放完毕后，

与的函数关系式为（为常数），如图所示．

据图中提供的信息，回答下列问题：

（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间     （小时）之间的函数关系式为                                                        ；

（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么， 药物释放开始，至少需要经过                                                                      小时后，学生才能回到教室．

8、(07浙江文11)函数的值域是______________．

9．（08北京模拟）若函数的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的

为        。

10 （08北京模拟）对于任意实数，，定义 设函数

，则函数的最大值是__________ .

11．（08北京模拟）已知函数的定义域是，值域是，那么满足条件的整数数对共有  （    ）

    （A）2个         （B）3个         （C）  5个        （D）无数个

12.（08全国）函数的定义域为（    ）

A．    B．

C．   D．

13.（08四川）设定义在上的函数满足，若，则(  )

（Ａ）　　     （Ｂ）　　       （Ｃ）　　      （Ｄ）

14.（08江西）若函数的值域是，则函数的值域是

A．     B．  C．   D．

15.（08湖北）函数的定义域为

A.             B.

C.  　　　　　 　　 D.

16.（08陕西）定义在上的函数满足（），，则等于（    ）

A．2  B．3  C．6  D．9

17.（08重庆)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为

(A)    (B)    (C)   (D)

18.（08安徽）函数的定义域为          ．

19.（08湖南卷14）已知函数若a＞0,则的定义域是           ;

20．（07陕西）设函数f(x)=其中a为实数.

(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;

(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.

21．（07北京）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．

（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；

（II）求面积的最大值．