必修13.4.2 函数模型及其应用教案及反思

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  一、课标要求

  1．使用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

  2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数）的实例，了解函数模型的广泛应用。

  二、方法指导

  不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律，函数模型可以处理生产、生活中很多实际问题，因此学习中应注意：

  1．根据实际应用问题的条件建立函数模型，并运用函数的概念和性质来解决实际问题，这类问题的建模方法有两种：一是根据几何和物理概念建立函数关系式；另一种是通过观察和实验建立函数关系式。

  2．解决应用问题的基本步骤

  （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

  （2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

  （3）求模：求解数学模型，得出数学结论；

  （4）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义。

  此四步用框图可表示为：

  3．常见的函数模型

（1）一次函数模型：；

（2）二次函数模型：；

（3）指数函数模型：；

（4）对数函数模型：；

（5）幂函数模型：

  三、范例剖析

  例1  一片树林中现有木材30000，如果每年增长5，经过年，树林中有木材，求经过多少年，木材可以增加到40000？（结果保留1个有效数字）

  分析：如果原来产值的基数为，平均增长率为，则对于时间的总产值或总产量为。

  解析：依题意得，

  ∴，使用计算器可得（年），

  故大约经过6年，木材可以增加到40000。

  评注：解函数应用题常见的错误：一是不会将实际问题抽样转化为函数模型或转化不全面；二是在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件。

  例2  通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间。讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散。分析结果和实践表明，用表示学生掌握和接受概念的能力，表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的公式：

  （1）开讲后多少分钟学生的接受能力最强？能维持多长时间？

  （2）开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？

  （3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需要接受能力的状态下讲授完这个难题？

  分析：分段函数是同一个函数，在不同的时间内应选取不同的表达式计算。

  解析：（1）当时，有，

  故递增，最大值为；

  显然，当时，递减，最大值为。

  因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并能维持6分钟。

  （2），

  ，

  因此，开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强一些。

  （3）当时，令，则

  ，，

  ∴或20（舍去）；

  当时，令，则

  ，∴。

  因此，学生达到（或超过）55的接受能力的时间为（分钟），老师来不及在学生一直达到所接受能力状态下讲授完这道难题。

  评注：联系实际的应用题，具有创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活的特点，其关键是建立相应的函数关系式。

  例3  放射性物质衰变过程中，其剩留质量随时间按指数函数关系变化，常把它剩留质量变为原来一半所经历的时间称为它的半衰期，记为，衰变公式为（为常数）。现测得某种放射性元素剩留质量随时间变化的6次数据如下：

  由以上记录，请说明这种元素的半衰期为多少单位时间，并求出剩余质量随时间变化的衰变公式。

  分析：可根据表中规律确定半衰期，解出衰变公式。

  解析：从测试记录易知半衰期单位时间，

  又时，，即初始质量，

  时，，则。

  故经过时间的剩留质量应为，这就是所求的衰变公式。

  评注：对不太熟悉领域的应用问题，应认真阅读材料，读懂题目所叙述的实际问题的意义，接受题目所约定的临时性定义是解决问题的关键。