高中数学苏教版必修13.4.1 函数与方程教案设计

函数与方程(上)

重点难点

(1)同学们一定要理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题.

(2)同学们应该主动进一步培养自己综合解题的能力，在学习过程中渗透数形结合的思想．

学法指津

在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义.

同样，我们在学习本部分知识的时候，也不要一味的盯着课本，应该将课本知识与现实生活联系起来，不断地将学过的数学知识应用到生活当中.

经典一例

例 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m.这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?

解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系.

这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的  函数关系式为：y＝ax2  (a＜0)    (1)

因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4).

因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得    －2.4＝a×0.82  所以：a＝－.

因此，函数关系式是  y＝－x2    (2)

因为OF＝1.5m，设FD＝x1m(x1＞0)，则点D坐标为(x1，－1.5).因为点D的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)，得

 －1.5＝－x12       x12＝    x1＝±

x1＝－不符合假设，舍去，所以x1＝.

ED＝2FD＝2×x1＝2×＝≈×3.162≈1.26(m)

所以涵洞ED是m，会超过1m.

函数与方程（下）

重点难点

通过函数的图象来求得方程的解.重点还是数形结合思想的运用.

学法指津

（1）先复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解的过程和方法.

如：画出函数y＝2x2－3x－2的图象，求方程2x2－3x－2＝0的解.

函数y＝2x2－3x－2的图象与x轴交点的横坐标分别是x1＝－和x2＝2，所以一元二次方程的解是x1＝－和x2＝2.

    （2）体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点求方程ax2＝bx＋c的解的方法.

经典一例

    已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m).

    (1)求这两个函数的关系式；

    (2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标.

    解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m＝1.

所以y1＝x＋1，P(3，4).

因为点P(3，4)在抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8上，所以有，

4＝18－24＋k＋8，

解得，k＝2，

所以y1＝2x2－8x＋10.

(2)依题意，得，

解这个方程组，得，.

    所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5).

实际问题（上）

重点难点

    已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式.其中，已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是难点.

学法指津

（1）首先大家应该掌握待定系数法，由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式.

（2）掌握用待定系数法，由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式.

（3）认真体验二次函数的函数关系式的应用，提高大家应用数学知识的意识.

经典一例

例  如图所示，求二次函数的关系式.

    分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式.

    解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B点坐标为(－2，0)。

设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，

由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到解这个方程组，得

    所以，所求二次函数的关系式是y＝－x2＋x＋4.

   小结：  二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一种常见的形式.二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数.

实际问题（下）

重点难点

根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是这部分知识的重点，也是难点.

学法指津

（1）切实掌握用待定系数法求函数解析式的方法，在考试中会经常用到.

（2）二次函数解析式常用的有三种形式：

 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c  (a≠0)；

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k  (a≠0)；

(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)  (a≠0).

    当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式.

    当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式.

    当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2).

经典一例

已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式.

  解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以c＝3，又由于二次函数，当x＝－3时，有最大值－1，

可以得到：，

解这个方程组，得：，

所以，所求二次函数的关系式为y＝x2＋x＋3.

解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，

得y＝a(x＋3)2－1，

因为二次函数图象过点(0，3)，所以有，

3＝a(0＋3)2－1，

解得a＝.

    所以，所求二次函数的关系为y＝44/9(x＋3)2－1，即y＝x2＋x＋3．

    小结：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大.