苏教版必修13.4.1 函数与方程教案设计

函数与方程

教学目标：理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；会用二分发求函数零点的近似值.

教学重点：函数零点的概念击求法；利用零点做函数的草图；会用二分发求函数零点的近似值.

教学过程：

1、复习一元二次方程的解法，根的判别式；二次函数的图像和性质

2、通过实例引入零点的概念：

如果函数在实数处的值为0，即，则叫作这个函数的零点.

3、提出以下问题

（1）       如何求函数的零点？

（2）       函数零点与函数图像的关系?

（3）       讨论函数的零点、方程的根、不等式的解集之间的关系？

4、二次函数零点的判定同根的判定

5、图像连续的函数的零点的性质

（1）       函数的图像是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.

 推论：函数在区间上的图像是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点.

（2）       相邻两个零点之间的函数值保持同号

6、应用

（1）利用函数的零点研究函数的性质作函数的简图

例1、       求函数的零点，并画出函数的简图.

7、通过实力讲解二分法的方法

例2、       求函数的一个为正数的零点（误差不超过0.1）

力求讲清：程序：详见教材第78页，

练习：用二分法求函数的零点

【典型例题】

1．函数零点的讨论

1．如果关于的方程的一根大于但小于，另一根大于但小于，那么实数的取值范围是　　　　　．

2．实数为何值时，函数的两个零点满足一个大于，一个小于？

3．下列说法正确的个数是（　　）

①当时，二次函数有两个零点；②函数的零点即函数的图象与x轴的公共点；③对任意函数，在相邻两个零点之间所有函数值保持同号；④函数的零点为0，，．

Ａ．1个  Ｂ．2个  Ｃ．3个  Ｄ．4个

4．对于任意定义在上的函数，若实数满足，则称是函数的一个不动点，若二次函数没有不动点，则实数的取值范围是　　　　　．

5．一元二次方程的根与相应二次函数的零点之间的关系为　　　　　．

2、一般函数零点的求法——二分法

1．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（　　）

2．用二分法求函数零点，若函数的零点总位于区间上，则当时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过（　　）

Ａ．12ε  Ｂ．14ε  Ｃ．  Ｄ．2ε

3．函数在区间［3，5］上（　　）

Ａ．没有零点  Ｂ．有一个零点     Ｃ．有两个零点  Ｄ．无数个零点

4．方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．

5．若方程在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是多少？

6．用二分法求方程x3＋4x2－10＝0在区间[1，2]上的根．（精确到5个有效数字）

参考答案：

【基础练习】

1．二次函数为偶函数，则此函数的零点为　　　　．

答案：．

2．若函数的两个零点是，，则的值为（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

答案：Ｂ．

3．已知，是函数（为实数）的两个零点，则的最大值为（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．不存在

答案：Ａ．

4．若函数没有零点，则实数a的取值范围是（　　）

Ａ．a＜1  Ｂ．a＞1         Ｃ．a≤1  Ｄ．a≥1

答案：Ｂ

5．对于函数，若且，则函数在区间内（　　）

Ａ．一定有零点  Ｂ．一定没有零点    Ｃ．可能有两个零点  Ｄ．至多有一个零点

答案：Ｃ

【典型例题】

1．函数零点的讨论

1．如果关于的方程的一根大于但小于，另一根大于但小于，那么实数的取值范围是　　　　　．

答案：．

2．实数为何值时，函数的两个零点满足一个大于，一个小于？

答案：解：由二次函数的图象可知：，

，

，．

3．下列说法正确的个数是（　　）

①当时，二次函数有两个零点；②函数的零点即函数的图象与x轴的公共点；③对任意函数，在相邻两个零点之间所有函数值保持同号；④函数的零点为0，，．

Ａ．1个  Ｂ．2个  Ｃ．3个  Ｄ．4个

答案：B

4．对于任意定义在上的函数，若实数满足，则称是函数的一个不动点，若二次函数没有不动点，则实数的取值范围是　　　　　．

答案：．

5．一元二次方程的根与相应二次函数的零点之间的关系为　　　　　．

答案：设，有：（1）当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点，相应的二次函数有两个零点；（2）当Δ=0时，一元二次方程有两个相等实数根，相应的二次函数图象与x轴有惟一的交点，相应的二次函数有一个二重的零点；（3）Δ＜0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点，相应的二次函数无零点.

2、一般函数零点的求法——二分法

1．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（　　）

　　答案：B

2．用二分法求函数零点，若函数的零点总位于区间上，则当时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过（　　）

Ａ．12ε  Ｂ．14ε  Ｃ．  Ｄ．2ε

答案：C

3．函数在区间［3，5］上（　　）

Ａ．没有零点  Ｂ．有一个零点     Ｃ．有两个零点  Ｄ．无数个零点

答案：Ｂ

4．方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．

　　答案：[2，2.5]

5．若方程在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是多少？

解：令．

在内恰有一解，

，即，

．

6．用二分法求方程x3＋4x2－10＝0在区间[1，2]上的根．（精确到5个有效数字）

答案：1.3652296066284186．