数学必修13.4.1 函数与方程教案

函数奇偶性判断

　　在函数奇偶性概念的学习中，应多方面、多角度地思考概念的内涵，要掌握函数奇偶性定义的等价形式，注重寻求简捷的解题方法，函数奇偶性的定义是：如果对于函数定义域内任意一个x，都有（或），那么函数就叫做奇函数（或偶函数）。函数奇偶性的定义反映在定义域上：若是奇函数或偶函数，则对于定义域D上的任意一个x，都有，即定义域是关于原点对称的。函数奇偶性定义给出了判断奇偶函数的方法。

　　1.相加判别法

　　对于函数定义域内的任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。

　　例1　判断函数的奇偶性。

　　解法1：利用定义判断，由

　　，可知是奇函数。

　　解法2：由x∈R，知。因为

　　，所以是奇函数。

　　2. 相减判别法

　　对于函数定义域内任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。

　　例2　判断函数的奇偶性。

　　解：由x∈R，知。因为

，所以是偶函数。

　　3. 相乘判别法

　　对于函数定义域内任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。

　　例3　证明函数是偶函数。

　　证明：由x∈R，知。因为

　　，所以是偶函数。

　　4.相除判别法

　　对于函数定义域内任意一个x，设，若，则是奇函数；若，则是偶函数。

　　例4　证明函数是奇函数。

　　证明：由，知且，所以定义域关于原点对称。

　　因为，所以是奇函数。

　　点评：上述各例，若用定义判定，则困难程度可想而知。用等价定义判断解析式较为复杂的函数的奇偶性时，方便快捷，可化繁为简，会使大家感到思路清晰，目标明确，思维视野大为开阔，值得同学们注意。

　　5、对称判断法

　　其判定的法则是：（1）看关系式是否出现（此为奇函数）或（此为偶函数），（2）看定义域是否关于原点对称；（3）看图象是否关于原点对称（此为奇函数）或关于y轴对称（此为偶函数）。显然，法则（1），（2）与法则（3）是等价的。也就是说，一个函数不满足这三条法则中的任何一条，它是非奇非偶函数；如果函数f（x）满足了法则（1），（2）或者满足法则（3），则可判定它的奇偶性。

　　因此，就奇偶性而言函数可以分为四类：①奇函数；②偶函数；③既是奇函数又是偶函数；④非奇非偶函数。

　　设f（x）是奇函数，如果当x>0时，，则

　　（证明从略，类似情况略）。

　　设f（x）是奇函数，如果当x>0时，f（x）是增函数，则当x<0时，f（x）仍然是增函数（证明从略，类似情况略）。

　　例5. 判定函数的奇偶性。

　　解：函数的定义域满足，即为，函数的图象表示两个点：（-1，0），（1，0）。其图象既关于原点对称，又关于y轴对称。从而函数f（x）既是奇函数又是偶函数。