2013-2014学年高中数学同步课堂活页训练：第二章 平面向量2.5 （苏教版必修4） Word版含解析

1．在四边形ABCD中，·＝0，且＝，则四边形ABCD是________．解析　由·＝0⇒⊥，又＝，∴AB綉DC.答案　矩形2．作用于一个物体的两个力F1、F2的大小都是10，F1与F2的夹角为60°，则F1＋F2的大小为________．解析　|F1＋F2|＝2×10×＝10.答案　103．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m，若牵绳与行进方向夹角为，人的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________．解析　功W＝60×50×cos 30°＝1 500(J)．答案　1 500 J4．△ABC中，||＝3，||＝4，||＝5，则·＝______.解析　由已知△ABC是直角三角形，∠A＝90°.∴⊥.∴·＝0.答案　05.如图，非零向量＝a，＝b且BC⊥OA，C为垂足，若＝λa，则λ＝________.解析　＝λa－b，a·(λa－b)＝0，则λ＝.答案　6．求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和．证明　如图所示，▱ABCD中：＝，＝，＝＋∴||2＝|＋|2＝||2＋||2＋2·而＝－∴||2＝|－|2＝||2＋||2－2·∴||2＋||2＝2||2＋2||2＝||2＋||2＋||2＋||2.即AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.7.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体的重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是________．解析　因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.答案　10 N8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的________．解析　由·＝·＝·，可得·－·＝0，(－)·＝0，即·＝0，⊥，同理可证⊥，⊥.所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．答案　垂心9．一条河宽为400 m，一船从A出发航行，垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________min.解析　船和水流速度的合速度是船的实际航行速度，如图．|v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h.根据勾股定理|v|＝16 km/h＝ m/min.∴所需时间为＝1.5(min)．答案　1.510．已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是________．解析　在直线l1上任取两点得向量v1＝(4，－3)，l2上任取两点得向量v2＝(1，－7)，则v1与v2的夹角为θ.则|cos θ|＝＝＝.∴两直线夹角为45°.答案　45°11.如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求BE∶EC.解　法一　(基向量法)设＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2.a·b＝|a||b|cos 60°＝1，＝a＋b.设＝λ＝λb，则＝－＝λb－a.由AE⊥BD，得·＝0.即(λb－a)·(a＋b)＝0.解得λ＝，∴BE∶EC＝∶＝2∶3.法二　以B为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B(0,0)，C(2,0)，A，D.又设E(m,0)，则＝，＝.由AE⊥BD，得·＝0.即－×＝0，得m＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3.12．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)．求∠A的角平分线的方程．解　＝(3,4)，＝(－8,6)，∠A的角平分线的一个方向向量为：＋＝＋＝.∵∠A的角平分线过点A.∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.整理得7x＋y－29＝0.13．(创新拓展)两个人用同样的力量共提一个重力为G的旅行包，两人所用力F1，F2的夹角为θ.(1)试讨论θ的大小与|F1|的关系；(2)θ为何值时，|F1|最小，最小值是多少？(3)|F1|能等于|G|吗？为什么？解　如图所示．由平行四边形法则及直角三角形的知识得|F1|＝.(1)通过上面的式子，可以发现，当θ由0°到180°逐渐变大时，由0°到90°逐渐变大，cos的值由大逐渐变小，因此|F1|由小逐渐变大，即F1，F2之间的夹角越大越费力．(2)要使|F1|最小，则cos最大，又0°≤θ≤180°，0°≤≤90°，∴当θ＝0°时cos最大，|F1|最小为，此时两个人的手臂应靠在一起．(3)要使|F1|＝|G|，则2cos＝1，则cos＝，＝60°，θ＝120°，∴两臂的夹角为120°时，|F1|＝|G|.