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高中数学第三章三角恒等变换本章复习教案苏教版必修4
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这是一份高中数学第三章三角恒等变换本章复习教案苏教版必修4，共18页。
第三章 三角恒等变换本章复习eq \o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))知识网络 教学分析 三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后继内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．在本章的学习中，化归的数学思想和方法被多次运用，有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变形的思路．在本节课的教学中，可以先组织学生自己回顾在本章教学中所学到的知识，自己绘制本章内容的结构框架图，梳理本章的知识体系，构建学生的知识结构．三角公式是三角变换的基本依据，在三角恒等变换的复习中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式及万能公式．通过对这些公式的探求，使学生学会预测变换的目标、选择变换的公式、设计变换的途径，帮助学生进一步提高推理能力和运算能力．学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数，平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变换的深刻理解及运用．三维目标 1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．2．掌握简单的三角恒等变换的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、互相联系的．学会用联系和发展的观点认识事物，培养学生学会思考问题的方法，培养他们勇于探索创新的精神，磨练学生的意志．重点难点 教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变换中的综合运用．课时安排 2课时eq \o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))第1课时导入新课 思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们又一起探究学习了第3章三角恒等变换的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？分析三角函数式的特点对提高三角恒等变换的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．推进新课 eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(知识巩固))让学生回忆本章的学习过程：利用向量推导了两角差的余弦公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式．并进一步探究了积化和差、和差化积、万能公式、半角公式等几个三角恒等式．经历并体验了数学的发现与创造过程，体会了向量与三角函数与三角恒等变换公式之间的密切联系．学习了三角变换的基本方法，提高了我们的运算能力及逻辑推理能力．本章的公式关系见下表：教师始终注意通过恰时恰点的问题的提出，引导学生用类比、联系、化归的观点来理解这些公式的逻辑关系，认识公式的特点，联想与代数运算的相同与不同之处；三角恒等变换是代数式恒等变换的推广和发展；进行三角恒等变换，除了要熟练运用代数恒等变换的各种方法，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握最基本最常见的变换．教师要引导学生明确三角变换不仅是三角函数式的结构形式变换，而且还有角的变换，以及不同三角函数之间的变换，使学生领悟有关公式在变换中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路．并让学生体会到通过三角恒等变换的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力．教师与学生一起归纳总结常见的变换有：(1)公式变换，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq \f(tanα＋tanβ,tanα＋β)，1＝tanαtanβ＋eq \f(tanα＋tanβ,tanα＋β)，1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α等．(2)角的变换，如α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；eq \f(π,4)－α＝eq \f(π,2)－(eq \f(π,4)＋α)；eq \f(π,6)＋α＝eq \f(π,2)－(eq \f(π,3)－α)等．还需熟练掌握一些常见的式子：如：sinx±cosx＝eq \r(2)sin(x±eq \f(π,4))，sinx±eq \r(3)cosx＝2sin(x±eq \f(π,3))等．对于化简，有两种常见的形式，(1)未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式；(2)根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．对于证明，它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．(1)无条件恒等式的证明，需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．(2)有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用，证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(应用示例))思路1例1(1)化简tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)；(2)已知α为锐角，且tanα＝eq \f(1,2)，求eq \f(sin2αcosα－sinα,sin2αcos2α)的值．活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看，关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变换、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这些问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的(1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是弦且是和差角，而条件是切且是单角．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同，思考方式不同，学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解，对新颖解法给予表扬．解：(1)∵tan(90°－2A)＝tan[(30°－A)＋(60°－A)]＝eq \f(tan30°－A＋tan60°－A,1－tan30°－Atan60°－A)，∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]．∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝tan2Atan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝1－tan(30°－A)tan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝1.(2)原式＝eq \f(2sinαcosαcosα－sinα,2sinαcosαcos2α)＝eq \f(sinα2cos2α－1,2sinαcosαcos2α)＝eq \f(cos2α,2cosαcos2α)＝eq \f(1,2cosα).∵tanα＝eq \f(1,2)，又α∈(0，eq \f(π,2))，即2sinα＝cosα，又由sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝eq \f(2,\r(5)).∴eq \f(sin2αcosα－sinα,sin2αcos2α)＝eq \f(\r(5),4).点评：本两题主要回顾了和差、二倍角公式的使用，及三角函数化简求值题目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以从方程观点出发进行变形也是一种行之有效的变形办法．由此产生逆变公式、整体变换公式等方法的灵活运用，本例的两种解法其实质是一样的．学生解决完后，教师应抓住这最佳时机，留出一定的时间让学生反思、领悟解决问题所用到的化归等数学思想方法．例2已知α、β∈(0，eq \f(π,4))，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4taneq \f(α,2)＝1－tan2eq \f(α,2)，求α＋β的值．活动：本题属于给值求角，综合性强，有一定的难度，教师应在学生探究中适时给予恰当的点拨：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论，即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，如本例，联想条件的形式，确定目标选用和角的正切．这点要提醒学生在解题过程中细细体会，领悟其要领，掌握其实质．解：∵3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∵α、β∈(0，eq \f(π,4))，∴0<α＋β<eq \f(π,2).∴cos(α＋β)≠0，cosα≠0.∴tan(α＋β)＝2tanα.由4taneq \f(α,2)＝1－tan2eq \f(α,2)，得eq \f(4tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝1，即得2tanα＝1.代入tan(α＋β)＝2tanα，得tan(α＋β)＝1.又0<α＋β<eq \f(π,2)，∴α＋β＝eq \f(π,4).点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．思路2 例题 已知θ∈(eq \f(π,2)，π)，2cos2θ－sinθcosθ－sin2θ＝0，求tanθ和sin(2θ＋eq \f(π,3))的值．活动：本题主要训练同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能，是一道较为综合的题目．本题能较全面地考查到三角函数的重要公式，有多种解题的切入口，通过探究，学生可从中体会不同的数学思想方法，本题解题思路清晰，运算过程不繁杂，不必运用特殊的解题技巧．本题基本解法是常规的因式分解法，也可运用方程的思想，通过换元先解一个一元二次方程，还可以运用三角函数的定义来解题．可说是一道较为简单、考查全面的好题，教师可完全放给学生自己探究，必要时给以点拨．解：∵2cos2θ－sinθcosθ－sin2θ＝0，∴cosθ≠0.∴上式两边同除以cos2θ，得tan2θ＋tanθ－2＝0.解得tanθ＝－2.〔∵θ∈(eq \f(π,2)，π)，∴舍去tanθ＝1〕∴sin(2θ＋eq \f(π,3))＝sin2θcoseq \f(π,3)＋cos2θsineq \f(π,3)＝sinθcosθ＋eq \f(\r(3),2)(2cos2θ－1)＝eq \f(sinθcosθ＋\r(3)cos2θ,sin2θ＋cos2θ)－eq \f(\r(3),2)＝eq \f(tanθ＋\r(3),tan2θ＋1)－eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(4＋3\r(3),10).点评：三角函数的解法多样，教师应鼓励学生一题多解，如本题中，可由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sinθ＝－2cosθ，,sin2θ＋cos2θ＝1，))解得sinθ、cosθ的值，再代入得解，也是一种不错的思路.变式训练 已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x，x∈R，求：(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合；(2)函数f(x)的单调增区间．解：(1)方法一：∵f(x)＝eq \f(1－cos2x,2)＋sin2x＋eq \f(31＋cos2x,2)＝2＋sin2x＋cos2x＝2＋eq \r(2)sin(2x＋eq \f(π,4))， ∴当2x＋eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，即x＝kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋eq \r(2).因此，f(x)取得最大值时自变量x的取值集合是{x|x＝kπ＋eq \f(π,8)，k∈Z}．方法二：∵f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋sin2x＋2cos2x＝1＋sin2x＋1＋cos2x＝2＋eq \r(2)sin(2x＋eq \f(π,4))，∴当2x＋eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，即x＝kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋eq \r(2).因此，f(x)取得最大值时自变量x的取值集合是{x|x＝kπ＋eq \f(π,8)，k∈Z}．(2)f(x)＝2＋eq \r(2)sin(2x＋eq \f(π,4))，由题意，得2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即kπ－eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)．因此，f(x)的单调增区间是[kπ－eq \f(3π,8)，kπ＋eq \f(π,8)](k∈Z).eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(知能训练))课本复习题1～4.eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(作业))课本复习题5、6、7.eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(课堂小结))1．先由学生总结归纳本节所复习的知识及数学思想方法，明确三角恒等变换所涉及的公式主要是和角公式、差角公式、倍角公式以及万能公式，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，必须熟练掌握，并搞清这些公式的逻辑关系和推导公式过程中所涉及的数学思想方法．2．教师强调，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用．三角函数是三角变换的对象，在进行三角恒等变换时，要认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子的结构特征，以便使用恰当的变形手段，巧妙地解决问题．eq \o(\s\up7(),\s\do5(设计感想))1．本节为全章复习课，教案设计的指导思想是：通过设计的教学程序，引导学生对全章，甚至对涉及前两章的相关内容进行全面的复习整合，在掌握数学知识的同时，深刻领悟数学思想方法，提高他们分析问题、解决问题的能力．2．本章在新课程中的位置是承上启下，前有三角函数，后有解三角形，所以三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，蕴含着丰富的数学思想方法，教师在指导学生复习时要引导学生深刻领悟这一点．3．三角函数公式众多，教学时要充分体现新课标的“以学生发展为本”的新理念，让学生亲自探究体验，切忌被动学习、死记硬背、机械地训练．在指导学生运用三角公式进行三角变换时，注意点拨学生从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取，不可生搬硬套．eq \o(\s\up7(),\s\do5(备课资料))一、三角函数式的化简、求值与证明求值、化简、证明是三角变换的中心内容，在高考中出现的三角变换大题，多数都是求值、化简类型．其解法的依据是三角恒等变换公式及代数中恒等变换知识，如配方法、消元法、因式分解、比例性质、判别式法、待定系数法等．化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用．常用方法是：化异名函数为同名函数，化异角为同角，化异次为同次，切化弦，特殊角与特殊值的三角函数互化．对于三角公式要记忆准确(在理解基础上)，并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．求值可分为给角求值、给值求值、给值求角三部分．给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而使问题获解；给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性．三角恒等式的证明，包括条件恒等式和无条件恒等式两种．无条件等式的证明，常用综合法、分析法、转换命题法、同一法等，证明的形式有化繁为简，左右归一等，无论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明突破口；有条件的等式证明，常常先观察条件及欲证式中左、右两边三角函数式的区别与联系，灵活使用条件，变形得证，证明方法主要是基本量法和消去法．在三角变换中，要自觉地运用化归的思想、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、换元的思想去处理问题．二、备用习题1．函数y＝cos4x－sin4x的最小正周期是( )A.eq \f(π,2) B．π C．2π D．4π2．函数y＝eq \f(1,2＋sinx＋cosx)的最大值是( )A.eq \f(\r(2),2)－1 B.eq \f(\r(2),2)＋1 C．1－eq \f(\r(2),2) D．－1－eq \f(\r(2),2)3．若θ∈(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))，sin2θ＝eq \f(1,16)，则cosθ－sinθ的值为( )A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C．－eq \f(\r(15),4) D.eq \f(\r(15),4)4．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的单调递减区间是( )A．[2kπ－eq \f(π,8)，2kπ＋eq \f(7π,8)]，k∈Z B．[2kπ＋eq \f(7π,8)，2kπ＋eq \f(15π,8)]，k∈ZC．[kπ－eq \f(π,8)，kπ＋eq \f(5π,8)]，k∈Z D．[kπ＋eq \f(3π,8)，kπ＋eq \f(7π,8)]，k∈Z5．求函数y＝eq \f(sin2xcosx,1－sinx)的值域．6．化简：f(x)＝cos2x＋cos2(60°＋x)＋cos2(120°＋x)．参考答案：1．B 2.B 3.C 4.D5．解：y＝eq \f(sin2xcosx,1－sinx)＝eq \f(2sinxcos2x,1－sinx)＝eq \f(2sinx1－sin2x,1－sinx)＝2sinx(1＋sinx)，sinx≠1，∴y＝2sin2x＋2sinx＝2(sinx＋eq \f(1,2))2－eq \f(1,2).令t＝sinx，则t∈[－1,1)，∴y＝2(t＋eq \f(1,2))2－eq \f(1,2).∴当t∈[－1,1)时，y∈[－eq \f(1,2)，4)．6．解：f(x)＝eq \f(1＋cos2x,2)＋eq \f(1＋cos120°＋2x,2)＋eq \f(1＋cos240°＋2x,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)[cos2x－cos(60°－2x)＋cos(240°＋2x)]＝eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)[cos2x－eq \f(1,2)cos2x－eq \f(\r(3),2)sin2x－eq \f(1,2)cos2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x]＝eq \f(3,2).(设计者：郑吉星)第2课时导入新课 思路1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章的三角函数公式，以及它们之间的内在联系，这一节我们将通过例题分析，继续探讨三角函数应用问题，重点是复习与向量有关的一些综合问题．思路2.(问题导入)教师开始就提出以下问题让学生探究，(1)不查表求sin220°＋cos280°＋eq \r(3)cos20°cos80°的值．(2)已知eq \f(π,2)＜β＜α＜eq \f(3π,4)，cos(α－β)＝eq \f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，求sin2α的值．学生专心解决问题的探究过程就已展开了新课．推进新课 eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(知识巩固))教师打出幻灯，根据上节复习的知识方法，请解答以下一组考试题：1．设α、β为钝角，且sinα＝eq \f(\r(5),5)，cosβ＝－eq \f(3\r(10),10)，则α＋β的值为( )A.eq \f(3π,4) B.eq \f(5π,4) C.eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4)2．已知a＝(sinα－cosα，2 007)，b＝(sinα＋cosα，1)，且a∥b，则tan2α－eq \f(1,cos2α)等于( )A．－2 007 B．－eq \f(1,2 007) C．2 007 D.eq \f(1,2 007)3．已知α∈(eq \f(π,2)，π)，sinα＝eq \f(3,5)，则tan(α＋eq \f(π,4))等于( )A.eq \f(1,7) B．7 C．－eq \f(1,7) D．－74．若α、β∈(0，eq \f(π,2))，cos(α－eq \f(β,2))＝eq \f(\r(3),2)，sin(eq \f(α,2)－β)＝－eq \f(1,2)，则cos(α＋β)的值等于________．5．已知tan(eq \f(π,4)＋θ)＋tan(eq \f(π,4)－θ)＝4，且－π<θ<－eq \f(π,2)，求sin2θ－2sinθcosθ－cos2θ的值．活动：由学生自己独立完成，对找不到思路的学生教师可给予适时的点拨，上述1～4都是2007、2006年的高考或模拟题．从中可看出，三角函数的化简、求值及恒等式的证明是三角变换的基本问题，各市地在高考中都有所体现，在考查三角公式的掌握和运用的同时，还注重考查思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力．特别是三角求值，需充分利用公式变形，而公式变形过程中可以充分体现数学思想和观点，充分体现数学公式的转化和简化功能，使学生深刻理解数学公式的本质，所以，高考三角求值题倍受命题人的青睐，使得成为出题频率较多的题型，但其难度较小．如以上几例，让学生在探究中体会怎样选择有用的公式，或其变形式．答案：1.C 注意选用α＋β的余弦．2．C 需利用向量平行的条件对已知进行转化，然后把所求式子切化弦，通分后再利用倍角公式化单角来解决．3．A 利用同角三角函数的基本关系式可求得余弦值，然后利用和角的正切公式解决．4．－eq \f(1,2) 先确定角的范围，－eq \f(π,4)<α－eq \f(β,2)<eq \f(π,2)，－eq \f(π,2)<eq \f(α,2)－β<eq \f(π,4)，可得α－eq \f(β,2)＝eq \f(π,6)，eq \f(α,2)－β＝－eq \f(π,6)，∴eq \f(α＋β,2)＝(α－eq \f(β,2))－(eq \f(α,2)－β)＝eq \f(π,3)，α＋β＝eq \f(2π,3)，cos(α＋β)＝－eq \f(1,2).5．解：由tan(eq \f(π,4)＋θ)＋tan(eq \f(π,4)－θ)＝4，得eq \f(sin\f(π,4)＋θ,cos\f(π,4)＋θ)＋eq \f(sin\f(π,4)－θ,cos\f(π,4)－θ)＝eq \f(sin\f(π,4)＋θ＋\f(π,4)－θ,cos\f(π,4)＋θcos\f(π,4)－θ)＝eq \f(1,cos\f(π,4)cosθ2－sin\f(π,4)sinθ2)＝eq \f(2,cos2θ－sin2θ)＝4，则cos2θ＝eq \f(3,4).∵－π<θ<－eq \f(π,2)，∴cosθ＝－eq \f(\r(3),2)，sinθ＝－eq \f(1,2)，sin2θ－2sinθcosθ－cos2θ＝eq \f(1,4)－2×eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)－eq \f(3,4)＝－eq \f(1＋\r(3),2).eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(应用示例))思路1例1若cos(eq \f(π,4)－x)＝－eq \f(4,5)，eq \f(5π,4)0，,－2a×－\f(1,2)＋2a＋b＝1，,－2a×1＋2a＋b＝－5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,－2a×1＋2a＋b＝1，,－2a×－\f(1,2)＋2a＋b＝－5.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝1.))点评：解题运用通性通法，不追求特殊解题技巧，是一道难度合适的试题．解完后教师及时引导学生进行反思，注意体会解决本题用到的数学思想方法.思路2例1已知tan(α＋eq \f(π,4))＝－eq \f(1,2)，eq \f(π,2)<α<π，(1)求tanα的值；(2)求eq \f(sin2α－2cos2α,\r(2)sinα－\f(π,4))的值．活动：本题作为济南市的一模统考题，位置在六道解答题的第一题，由此可看出三角函数化简求值题的难度属于容易题，整个三角题目的高考难度也如此．因此在平时指导学生训练时教师要控制好这个难度．根据正切和角公式，由本题条件易得正切值，再将所求式子化简求值即可．对于本题的探究解答，可完全留给学生自己完成，教师只需在关键地方对部分学生给予指导点拨．解：(1)由tan(α＋eq \f(π,4))＝－eq \f(1,2)，eq \f(π,2)<α<π，得eq \f(1＋tanα,1－tanα)＝－eq \f(1,2)，解之，得tanα＝－3.(2)eq \f(sin2α－2cos2α,\r(2)sinα－\f(π,4))＝eq \f(2sinαcosα－2cos2α,sinα－cosα)＝2cosα，∵eq \f(π,2)<α<π，且tanα＝－3，∴cosα＝－eq \f(\r(10),10)，即原式的值为－eq \f(\r(10),5).点评：解这类求值题一定要在化简上多下些功夫，至于究竟化简到什么程度，这要具体结合题目条件而定．学生解完后教师要引导学生进行反思，并要求学生书写规范，思路清晰，解答过程简洁流畅.例2设向量a＝(1＋cosα，sinα)，b＝(1－cosβ，sinβ)，c＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1－θ2＝eq \f(π,6)，求sineq \f(α－β,4)的值．活动：本题是一道经典试题，多次多处用作试题，题目基础性强且难度不大，题干结构优美，主要考查向量及运算、三角函数公式变换的有关知识，以及综合探究问题和解决问题的能力．教师先让学生探究思路，寻找解题方向，适时的点拨学生．思考过程要从角、三角函数种类、式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳．可由已知找到θ1、θ2与α、β关系，由θ1－θ2＝eq \f(π,6)，求得eq \f(α－β,2)，进而求得sineq \f(α－β,2)的值．解：a＝2coseq \f(α,2)(coseq \f(α,2)，sineq \f(α,2))，b＝(2sin2eq \f(β,2)，2sineq \f(β,2)coseq \f(β,2))＝2sineq \f(β,2)(sineq \f(β,2)，coseq \f(β,2))，∵α∈(0，π)，β∈(π，2π)，∴eq \f(α,2)∈(0，eq \f(π,2))，eq \f(β,2)∈(eq \f(π,2)，π)．故|a|＝2coseq \f(α,2)，|b|＝2sineq \f(β,2)，cosθ1＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(2cos2\f(α,2),2cos\f(α,2))＝coseq \f(α,2)，∴θ1＝eq \f(α,2).cosθ2＝eq \f(b·c,|b||c|)＝eq \f(2sin2\f(β,2),2sin\f(β,2))＝sineq \f(β,2)＝cos(eq \f(β,2)－eq \f(π,2))．∵0＜eq \f(β,2)－eq \f(π,2)＜eq \f(π,2)，∴θ2＝eq \f(β,2)－eq \f(π,2).又θ1－θ2＝eq \f(π,6)，∴eq \f(α,2)－eq \f(β,2)＋eq \f(π,2)＝eq \f(π,6).∴eq \f(α－β,2)＝－eq \f(π,3).∴sineq \f(α－β,4)＝sin(－eq \f(π,6))＝－eq \f(1,2).点评：本题的关键是找到角的关系，教师不要直接给出解答，让学生自己探究发现，因为学生学习数学应当是以积极的心态调动原有的认知和经验，尝试解决新问题、理解新知识的有意义的过程．解完后让学生反思：计算两条向量的夹角问题与三角函数有关，故向量可与三角函数的运算自然结合，使试题简洁优美.eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(知能训练))课本复习题11、12.eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(课堂小结))1．由学生回顾总结，通过本节课的复习对三角函数知识方法的整合达到高考要求了吗？对三角函数、平面向量、三角恒等变换有哪些新的认识？2．教师画龙点睛，点出处理三角函数及恒等变换问题，重在正确、熟练地运用三角公式，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅正用，还要逆用、变形用；在运用相关公式时，注意观察角之间的关系，认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子结构特征．更重要的是学会具体问题具体分析的科学方法．eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(作业))课本复习题13、14.eq \o(\s\up7(),\s\do5(设计感想))1．本教案的设计流程符合新课标精神，设计的理念是想让学生充分体验学习探究的全过程，并且引导学生主动参与、积极探究学习的全过程，让学生在探究中感知数学，锻炼思维，在思考中培养、发展创新思维和实践能力．这是比学习数学知识更重要的．2．作为本模块的最后课时，本教案设计的题目都带有一定的综合性，但难度都不大，没有超出高考考试大纲的要求，目的是想让学生“温故知新”，而且综合前两章的内容进行三角函数的综合探究更有利于学生智能发展，也是高考的命题要求所在．3．通过探究设置的问题，启迪学生的想象力，引发学生学习的兴趣，激励学生探索欲望，使之养成勇于攀登、不怕困难的良好习惯和求实的科学态度，是我们数学教师努力的方向． 和差正、余弦公式和差正切公式二倍角公式万能公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβsin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβtan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α设taneq \f(α,2)＝tsinα＝eq \f(2t,1＋t2)cosα＝eq \f(1－t2,1＋t2)tanα＝eq \f(2t,1－t2)变式训练 已知cosα－sinα＝eq \f(3\r(2),5)，(1)求m＝eq \f(15sin2α,cosα＋\f(π,4))的值；(2)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，且f(－1)＝320，试求f(m)的值．解：(1)由已知cosα－sinα＝eq \f(3\r(2),5)，得cos(α＋eq \f(π,4))＝eq \f(3,5).又因为sin2α＝－cos(eq \f(π,2)＋2α)＝1－2cos2(α＋eq \f(π,4))＝eq \f(7,25)，所以m＝eq \f(15sin2α,cosα＋\f(π,4))＝7.(2)由题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，因此，f(3＋x)＝f(3－x)，所以f(m)＝f(7)＝f(3＋4)＝f(3－4)＝f(－1)＝320.变式训练 已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1，2sinα－1)，α∈(eq \f(π,2)，π)，a·b＝eq \f(2,5)，求eq \f(5\r(2)sin2α－4cosα＋\f(π,4),2cos2\f(α,2))的值．解：∵a·b＝cos2α＋sinα(2sinα－1)＝2cos2α－1＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝eq \f(2,5)，∴sinα＝eq \f(3,5).又∵α∈(eq \f(π,2)，π)，∴cosα＝－eq \f(4,5).∴cos(α＋eq \f(π,4))＝－eq \f(7\r(2),10).∴eq \f(5\r(2)sin2α－4cosα＋\f(π,4),2cos2\f(α,2))＝eq \f(5\r(2)×2×\f(3,5)×－\f(4,5)＋\f(28\r(2),10),－\f(4,5)＋1)＝－10eq \r(2).变式训练 已知a，b是两个向量，且a＝(1，eq \r(3)cosx)，b＝(cos2x，sinx)，x∈R，定义：y＝a·b.(1)求y关于x的函数解析式y＝f(x)及其单调递增区间；(2)若x∈[0，eq \f(π,2)]，求函数y＝f(x)的最大值、最小值及其相应的x的值．解：a＝(1，eq \r(3)cosx)，b＝(cos2x，sinx)，a·b＝cos2x＋eq \r(3)cosxsinx＝cos(2x－eq \f(π,3))＋eq \f(1,2)，∴y＝cos(2x－eq \f(π,3))＋eq \f(1,2).单调递增区间是[kπ－eq \f(π,3)，kπ＋eq \f(π,6)](k∈Z)．(2)由x∈[0，eq \f(π,2)]，得－eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3)，∴－eq \f(1,2)≤cos(2x－eq \f(π,3))≤1.∴f(x)min＝0，此时x＝eq \f(π,2)，f(x)max＝eq \f(3,2)，此时x＝eq \f(π,6).变式训练 已知α为第二象限角，且sinα＝eq \f(12,13)，求eq \f(cos\f(π,4)－α,sin2α＋\f(5π,2))的值．解：∵sin(2α＋eq \f(5π,2))＝sin[eq \f(π,2)＋(2π＋2α)]＝cos(2π＋2α)＝cos2α，∴原式＝eq \f(cos\f(π,4)－α,sin2α＋\f(5π,2))＝eq \f(cos\f(π,4)cosα＋sin\f(π,4)sinα,cos2α)＝eq \f(\f(\r(2),2)cosα＋sinα,cos2α－sin2α)＝eq \f(\f(\r(2),2),cosα－sinα)＝eq \f(\r(2),2cosα－sinα).∵α为第二象限角，且sinα＝eq \f(12,13)，∴cosα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(5,13).∴原式＝－eq \f(13\r(2),34).变式训练 设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cosx)，b＝(1＋sinx,1)，x∈R，且f(eq \f(π,2))＝2.(1)求实数m的值；(2)求函数f(x)的最小值．解：(1)f(x)＝a·b＝m(1＋sinx)＋cosx，f(eq \f(π,2))＝m(1＋sineq \f(π,2))＋coseq \f(π,2)＝2，得m＝1.(2)由(1)得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4))＋1，∴当sin(x＋eq \f(π,4))＝－1时，f(x)的最小值为1－eq \r(2).
第三章 三角恒等变换本章复习eq \o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))知识网络 教学分析 三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后继内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．在本章的学习中，化归的数学思想和方法被多次运用，有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变形的思路．在本节课的教学中，可以先组织学生自己回顾在本章教学中所学到的知识，自己绘制本章内容的结构框架图，梳理本章的知识体系，构建学生的知识结构．三角公式是三角变换的基本依据，在三角恒等变换的复习中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式及万能公式．通过对这些公式的探求，使学生学会预测变换的目标、选择变换的公式、设计变换的途径，帮助学生进一步提高推理能力和运算能力．学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数，平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变换的深刻理解及运用．三维目标 1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．2．掌握简单的三角恒等变换的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、互相联系的．学会用联系和发展的观点认识事物，培养学生学会思考问题的方法，培养他们勇于探索创新的精神，磨练学生的意志．重点难点 教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变换中的综合运用．课时安排 2课时eq \o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))第1课时导入新课 思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们又一起探究学习了第3章三角恒等变换的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？分析三角函数式的特点对提高三角恒等变换的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．推进新课 eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(知识巩固))让学生回忆本章的学习过程：利用向量推导了两角差的余弦公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式．并进一步探究了积化和差、和差化积、万能公式、半角公式等几个三角恒等式．经历并体验了数学的发现与创造过程，体会了向量与三角函数与三角恒等变换公式之间的密切联系．学习了三角变换的基本方法，提高了我们的运算能力及逻辑推理能力．本章的公式关系见下表：教师始终注意通过恰时恰点的问题的提出，引导学生用类比、联系、化归的观点来理解这些公式的逻辑关系，认识公式的特点，联想与代数运算的相同与不同之处；三角恒等变换是代数式恒等变换的推广和发展；进行三角恒等变换，除了要熟练运用代数恒等变换的各种方法，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握最基本最常见的变换．教师要引导学生明确三角变换不仅是三角函数式的结构形式变换，而且还有角的变换，以及不同三角函数之间的变换，使学生领悟有关公式在变换中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路．并让学生体会到通过三角恒等变换的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力．教师与学生一起归纳总结常见的变换有：(1)公式变换，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq \f(tanα＋tanβ,tanα＋β)，1＝tanαtanβ＋eq \f(tanα＋tanβ,tanα＋β)，1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α等．(2)角的变换，如α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；eq \f(π,4)－α＝eq \f(π,2)－(eq \f(π,4)＋α)；eq \f(π,6)＋α＝eq \f(π,2)－(eq \f(π,3)－α)等．还需熟练掌握一些常见的式子：如：sinx±cosx＝eq \r(2)sin(x±eq \f(π,4))，sinx±eq \r(3)cosx＝2sin(x±eq \f(π,3))等．对于化简，有两种常见的形式，(1)未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式；(2)根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．对于证明，它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．(1)无条件恒等式的证明，需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．(2)有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用，证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(应用示例))思路1例1(1)化简tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)；(2)已知α为锐角，且tanα＝eq \f(1,2)，求eq \f(sin2αcosα－sinα,sin2αcos2α)的值．活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看，关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变换、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这些问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的(1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是弦且是和差角，而条件是切且是单角．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同，思考方式不同，学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解，对新颖解法给予表扬．解：(1)∵tan(90°－2A)＝tan[(30°－A)＋(60°－A)]＝eq \f(tan30°－A＋tan60°－A,1－tan30°－Atan60°－A)，∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]．∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝tan2Atan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝1－tan(30°－A)tan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝1.(2)原式＝eq \f(2sinαcosαcosα－sinα,2sinαcosαcos2α)＝eq \f(sinα2cos2α－1,2sinαcosαcos2α)＝eq \f(cos2α,2cosαcos2α)＝eq \f(1,2cosα).∵tanα＝eq \f(1,2)，又α∈(0，eq \f(π,2))，即2sinα＝cosα，又由sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝eq \f(2,\r(5)).∴eq \f(sin2αcosα－sinα,sin2αcos2α)＝eq \f(\r(5),4).点评：本两题主要回顾了和差、二倍角公式的使用，及三角函数化简求值题目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以从方程观点出发进行变形也是一种行之有效的变形办法．由此产生逆变公式、整体变换公式等方法的灵活运用，本例的两种解法其实质是一样的．学生解决完后，教师应抓住这最佳时机，留出一定的时间让学生反思、领悟解决问题所用到的化归等数学思想方法．例2已知α、β∈(0，eq \f(π,4))，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4taneq \f(α,2)＝1－tan2eq \f(α,2)，求α＋β的值．活动：本题属于给值求角，综合性强，有一定的难度，教师应在学生探究中适时给予恰当的点拨：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论，即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，如本例，联想条件的形式，确定目标选用和角的正切．这点要提醒学生在解题过程中细细体会，领悟其要领，掌握其实质．解：∵3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∵α、β∈(0，eq \f(π,4))，∴0<α＋β<eq \f(π,2).∴cos(α＋β)≠0，cosα≠0.∴tan(α＋β)＝2tanα.由4taneq \f(α,2)＝1－tan2eq \f(α,2)，得eq \f(4tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝1，即得2tanα＝1.代入tan(α＋β)＝2tanα，得tan(α＋β)＝1.又0<α＋β<eq \f(π,2)，∴α＋β＝eq \f(π,4).点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．思路2 例题 已知θ∈(eq \f(π,2)，π)，2cos2θ－sinθcosθ－sin2θ＝0，求tanθ和sin(2θ＋eq \f(π,3))的值．活动：本题主要训练同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能，是一道较为综合的题目．本题能较全面地考查到三角函数的重要公式，有多种解题的切入口，通过探究，学生可从中体会不同的数学思想方法，本题解题思路清晰，运算过程不繁杂，不必运用特殊的解题技巧．本题基本解法是常规的因式分解法，也可运用方程的思想，通过换元先解一个一元二次方程，还可以运用三角函数的定义来解题．可说是一道较为简单、考查全面的好题，教师可完全放给学生自己探究，必要时给以点拨．解：∵2cos2θ－sinθcosθ－sin2θ＝0，∴cosθ≠0.∴上式两边同除以cos2θ，得tan2θ＋tanθ－2＝0.解得tanθ＝－2.〔∵θ∈(eq \f(π,2)，π)，∴舍去tanθ＝1〕∴sin(2θ＋eq \f(π,3))＝sin2θcoseq \f(π,3)＋cos2θsineq \f(π,3)＝sinθcosθ＋eq \f(\r(3),2)(2cos2θ－1)＝eq \f(sinθcosθ＋\r(3)cos2θ,sin2θ＋cos2θ)－eq \f(\r(3),2)＝eq \f(tanθ＋\r(3),tan2θ＋1)－eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(4＋3\r(3),10).点评：三角函数的解法多样，教师应鼓励学生一题多解，如本题中，可由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sinθ＝－2cosθ，,sin2θ＋cos2θ＝1，))解得sinθ、cosθ的值，再代入得解，也是一种不错的思路.变式训练 已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x，x∈R，求：(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合；(2)函数f(x)的单调增区间．解：(1)方法一：∵f(x)＝eq \f(1－cos2x,2)＋sin2x＋eq \f(31＋cos2x,2)＝2＋sin2x＋cos2x＝2＋eq \r(2)sin(2x＋eq \f(π,4))， ∴当2x＋eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，即x＝kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋eq \r(2).因此，f(x)取得最大值时自变量x的取值集合是{x|x＝kπ＋eq \f(π,8)，k∈Z}．方法二：∵f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋sin2x＋2cos2x＝1＋sin2x＋1＋cos2x＝2＋eq \r(2)sin(2x＋eq \f(π,4))，∴当2x＋eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，即x＝kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋eq \r(2).因此，f(x)取得最大值时自变量x的取值集合是{x|x＝kπ＋eq \f(π,8)，k∈Z}．(2)f(x)＝2＋eq \r(2)sin(2x＋eq \f(π,4))，由题意，得2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即kπ－eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)．因此，f(x)的单调增区间是[kπ－eq \f(3π,8)，kπ＋eq \f(π,8)](k∈Z).eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(知能训练))课本复习题1～4.eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(作业))课本复习题5、6、7.eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(课堂小结))1．先由学生总结归纳本节所复习的知识及数学思想方法，明确三角恒等变换所涉及的公式主要是和角公式、差角公式、倍角公式以及万能公式，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，必须熟练掌握，并搞清这些公式的逻辑关系和推导公式过程中所涉及的数学思想方法．2．教师强调，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用．三角函数是三角变换的对象，在进行三角恒等变换时，要认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子的结构特征，以便使用恰当的变形手段，巧妙地解决问题．eq \o(\s\up7(),\s\do5(设计感想))1．本节为全章复习课，教案设计的指导思想是：通过设计的教学程序，引导学生对全章，甚至对涉及前两章的相关内容进行全面的复习整合，在掌握数学知识的同时，深刻领悟数学思想方法，提高他们分析问题、解决问题的能力．2．本章在新课程中的位置是承上启下，前有三角函数，后有解三角形，所以三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，蕴含着丰富的数学思想方法，教师在指导学生复习时要引导学生深刻领悟这一点．3．三角函数公式众多，教学时要充分体现新课标的“以学生发展为本”的新理念，让学生亲自探究体验，切忌被动学习、死记硬背、机械地训练．在指导学生运用三角公式进行三角变换时，注意点拨学生从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取，不可生搬硬套．eq \o(\s\up7(),\s\do5(备课资料))一、三角函数式的化简、求值与证明求值、化简、证明是三角变换的中心内容，在高考中出现的三角变换大题，多数都是求值、化简类型．其解法的依据是三角恒等变换公式及代数中恒等变换知识，如配方法、消元法、因式分解、比例性质、判别式法、待定系数法等．化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用．常用方法是：化异名函数为同名函数，化异角为同角，化异次为同次，切化弦，特殊角与特殊值的三角函数互化．对于三角公式要记忆准确(在理解基础上)，并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．求值可分为给角求值、给值求值、给值求角三部分．给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而使问题获解；给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性．三角恒等式的证明，包括条件恒等式和无条件恒等式两种．无条件等式的证明，常用综合法、分析法、转换命题法、同一法等，证明的形式有化繁为简，左右归一等，无论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明突破口；有条件的等式证明，常常先观察条件及欲证式中左、右两边三角函数式的区别与联系，灵活使用条件，变形得证，证明方法主要是基本量法和消去法．在三角变换中，要自觉地运用化归的思想、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、换元的思想去处理问题．二、备用习题1．函数y＝cos4x－sin4x的最小正周期是( )A.eq \f(π,2) B．π C．2π D．4π2．函数y＝eq \f(1,2＋sinx＋cosx)的最大值是( )A.eq \f(\r(2),2)－1 B.eq \f(\r(2),2)＋1 C．1－eq \f(\r(2),2) D．－1－eq \f(\r(2),2)3．若θ∈(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))，sin2θ＝eq \f(1,16)，则cosθ－sinθ的值为( )A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C．－eq \f(\r(15),4) D.eq \f(\r(15),4)4．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的单调递减区间是( )A．[2kπ－eq \f(π,8)，2kπ＋eq \f(7π,8)]，k∈Z B．[2kπ＋eq \f(7π,8)，2kπ＋eq \f(15π,8)]，k∈ZC．[kπ－eq \f(π,8)，kπ＋eq \f(5π,8)]，k∈Z D．[kπ＋eq \f(3π,8)，kπ＋eq \f(7π,8)]，k∈Z5．求函数y＝eq \f(sin2xcosx,1－sinx)的值域．6．化简：f(x)＝cos2x＋cos2(60°＋x)＋cos2(120°＋x)．参考答案：1．B 2.B 3.C 4.D5．解：y＝eq \f(sin2xcosx,1－sinx)＝eq \f(2sinxcos2x,1－sinx)＝eq \f(2sinx1－sin2x,1－sinx)＝2sinx(1＋sinx)，sinx≠1，∴y＝2sin2x＋2sinx＝2(sinx＋eq \f(1,2))2－eq \f(1,2).令t＝sinx，则t∈[－1,1)，∴y＝2(t＋eq \f(1,2))2－eq \f(1,2).∴当t∈[－1,1)时，y∈[－eq \f(1,2)，4)．6．解：f(x)＝eq \f(1＋cos2x,2)＋eq \f(1＋cos120°＋2x,2)＋eq \f(1＋cos240°＋2x,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)[cos2x－cos(60°－2x)＋cos(240°＋2x)]＝eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)[cos2x－eq \f(1,2)cos2x－eq \f(\r(3),2)sin2x－eq \f(1,2)cos2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x]＝eq \f(3,2).(设计者：郑吉星)第2课时导入新课 思路1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章的三角函数公式，以及它们之间的内在联系，这一节我们将通过例题分析，继续探讨三角函数应用问题，重点是复习与向量有关的一些综合问题．思路2.(问题导入)教师开始就提出以下问题让学生探究，(1)不查表求sin220°＋cos280°＋eq \r(3)cos20°cos80°的值．(2)已知eq \f(π,2)＜β＜α＜eq \f(3π,4)，cos(α－β)＝eq \f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，求sin2α的值．学生专心解决问题的探究过程就已展开了新课．推进新课 eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(知识巩固))教师打出幻灯，根据上节复习的知识方法，请解答以下一组考试题：1．设α、β为钝角，且sinα＝eq \f(\r(5),5)，cosβ＝－eq \f(3\r(10),10)，则α＋β的值为( )A.eq \f(3π,4) B.eq \f(5π,4) C.eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4)2．已知a＝(sinα－cosα，2 007)，b＝(sinα＋cosα，1)，且a∥b，则tan2α－eq \f(1,cos2α)等于( )A．－2 007 B．－eq \f(1,2 007) C．2 007 D.eq \f(1,2 007)3．已知α∈(eq \f(π,2)，π)，sinα＝eq \f(3,5)，则tan(α＋eq \f(π,4))等于( )A.eq \f(1,7) B．7 C．－eq \f(1,7) D．－74．若α、β∈(0，eq \f(π,2))，cos(α－eq \f(β,2))＝eq \f(\r(3),2)，sin(eq \f(α,2)－β)＝－eq \f(1,2)，则cos(α＋β)的值等于________．5．已知tan(eq \f(π,4)＋θ)＋tan(eq \f(π,4)－θ)＝4，且－π<θ<－eq \f(π,2)，求sin2θ－2sinθcosθ－cos2θ的值．活动：由学生自己独立完成，对找不到思路的学生教师可给予适时的点拨，上述1～4都是2007、2006年的高考或模拟题．从中可看出，三角函数的化简、求值及恒等式的证明是三角变换的基本问题，各市地在高考中都有所体现，在考查三角公式的掌握和运用的同时，还注重考查思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力．特别是三角求值，需充分利用公式变形，而公式变形过程中可以充分体现数学思想和观点，充分体现数学公式的转化和简化功能，使学生深刻理解数学公式的本质，所以，高考三角求值题倍受命题人的青睐，使得成为出题频率较多的题型，但其难度较小．如以上几例，让学生在探究中体会怎样选择有用的公式，或其变形式．答案：1.C 注意选用α＋β的余弦．2．C 需利用向量平行的条件对已知进行转化，然后把所求式子切化弦，通分后再利用倍角公式化单角来解决．3．A 利用同角三角函数的基本关系式可求得余弦值，然后利用和角的正切公式解决．4．－eq \f(1,2) 先确定角的范围，－eq \f(π,4)<α－eq \f(β,2)<eq \f(π,2)，－eq \f(π,2)<eq \f(α,2)－β<eq \f(π,4)，可得α－eq \f(β,2)＝eq \f(π,6)，eq \f(α,2)－β＝－eq \f(π,6)，∴eq \f(α＋β,2)＝(α－eq \f(β,2))－(eq \f(α,2)－β)＝eq \f(π,3)，α＋β＝eq \f(2π,3)，cos(α＋β)＝－eq \f(1,2).5．解：由tan(eq \f(π,4)＋θ)＋tan(eq \f(π,4)－θ)＝4，得eq \f(sin\f(π,4)＋θ,cos\f(π,4)＋θ)＋eq \f(sin\f(π,4)－θ,cos\f(π,4)－θ)＝eq \f(sin\f(π,4)＋θ＋\f(π,4)－θ,cos\f(π,4)＋θcos\f(π,4)－θ)＝eq \f(1,cos\f(π,4)cosθ2－sin\f(π,4)sinθ2)＝eq \f(2,cos2θ－sin2θ)＝4，则cos2θ＝eq \f(3,4).∵－π<θ<－eq \f(π,2)，∴cosθ＝－eq \f(\r(3),2)，sinθ＝－eq \f(1,2)，sin2θ－2sinθcosθ－cos2θ＝eq \f(1,4)－2×eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)－eq \f(3,4)＝－eq \f(1＋\r(3),2).eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(应用示例))思路1例1若cos(eq \f(π,4)－x)＝－eq \f(4,5)，eq \f(5π,4)
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