2013高中新课程数学（苏教版必修四） 第十课时 诱导公式（二）教案练习题

第十课时  诱导公式（二）

教学目标：

理解诱导公式的推导方法，掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明，培养学生化归、转化的能力；通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.

教学重点：

理解并掌握诱导公式.

教学难点：

诱导公式的应用——求三角函数值，化简三角函数式，证明简单的三角恒等式.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

公式一～公式四

函数名不变，正负看象限.

Ⅱ.检查预习情况

由－α与α的终边关于直线y＝x对称，可得：

公式五：sin（－α）＝cosα，cos（－α）＝sinα

利用公式二和公式五可得：

公式六：sin（＋α）＝cosα，cos（＋α）＝－sinα

公式一～公式六统称为诱导公式

Ⅲ.例题分析

课本P22例3，例4

补充例题：

［例1］化简

解：原式＝

＝＝－

［例2］化简

解：原式＝

＝

＝＝

＝＝＝cos300＝

［例2］已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值.

分析：依据已知条件及根与系数关系，列出关于m的方程去求解.

解：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α＋β＝，

∴cosα＝sinβ

∵方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0中

Δ＝4（m＋1)2－4·4m＝4(m－1)2≥0

∴当m∈R，方程恒有两实根.

又∵cosα＋cosβ＝sinβ＋cosβ＝

cosα·cosβ＝sinβcosβ＝

∴由以上两式及sin2β＋cos2β＝1，得

1＋2·＝()2            解得m＝±

当m＝时，cosα＋cosβ＝＞0，

cosα·cosβ＝＞0，满足题意，

当m＝－时，

cosα＋cosβ＝＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去.

综上，m＝

Ⅳ.课堂练习

课本P23练习  1、2、3、4.

Ⅴ.课时小结

本节课同学们自己导出了公式五、公式六，完成了教材中诱导公式的学习任务，为求任意角的三角函数值“铺平了道路”.利用这些公式，可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，为求值带来很大的方便，这种转化的思想方法，是我们经常用到的一种解题策略，要细心去体会、去把握.利用这些公式，还可以化简三角函数式，证明简单的三角恒等式，我们要多练习，在应用中达到熟练掌握的程度.

Ⅵ.课后作业

课本P24习题14、15、18.

诱导公式（二）

1．下列不等式中，正确的是                                                 （    ）

A.sinπ＞sinπ                       B.tanπ＞tan(－)

C.sin(－)＞sin(－)                 D.cos(－π)＞cos(－π)

2．tan300°＋sin450°的值为                                                （    ）

A.1＋   B.1－           C.－1－   D.－1＋

3．已知cos(π＋θ)＝－，θ是第一象限角，则sin（π＋θ）和tanθ的值分别为（    ）

A. ，－    B.－，            C.－，－   D.－，－

4．已知x∈(1，)，则|cosπx|＋|cos|－|cosπx＋cos|的值是            （    ）

A.0            B.1                  C.2     D.－1

5．＝         .        

6．若α是第三象限角，则=        .      

7．sin2(－x)＋sin2(＋x)＝         .               

8．已知sin（π－α）－cos(π＋α)＝ (＜α＜π，

求sinα－cosα与sin3（＋α）＋cos3(＋α)的值.

9．设sinα＝，cosβ＝－，且α、β不在同一象限，求sin（α＋β)的值.

10．已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.

诱导公式（二）答案

1．B  2．B  3．B  4．A  5．  6．－sinα－cosα  7．1

8．已知sin（π－α）－cos(π＋α)＝ (＜α＜π，

求sinα－cosα与sin3（＋α）＋cos3(＋α)的值.

分析：对已知条件中的式子与所求式子先利用诱导公式化简，求得sinαcosα，进而求得sinα－cosα的值.

解：∵sin（π－α）－cos(π＋α) ＝ (＜α＜π)

∴sinα＋cosα＝

将其两边平方得：1＋2sinαcosα＝

∴sinαcosα＝－，      ∵＜α＜π

∴sinα－cosα

＝＝

又sin3（＋α）＋cos3(＋α)

＝sin3［π－(－α)］＋cos3［π－(－α)］

＝sin3(－α)－cos3(－α)＝－sin3α＋cos3α

＝(cosα－sinα)(cos2α＋sinαcosα＋cos2α)

＝－·（1－)＝－

9．设sinα＝，cosβ＝－，且α、β不在同一象限，求sin（α＋β)的值.

分析：依据已知条件可得α、β满足条件的情况有：

（1）α在第一象限，β在第二象限；

（2）α在第一象限，β在第三象限；

（3）α在第二象限，β在第三象限.

解：（1）当α在第一象限，β在第三象限时，

α＝2kπ＋ (k∈Z)，β＝2nπ＋ (n∈Z)，则有：

α＋β＝2(k＋n)π＋π

sin(α＋β)＝sinπ＝

(2)当α在第一象限，β在第二象限时，α＝2kπ＋ (k∈Z)，β＝2nπ＋π(n∈Z)则有：α＋β＝2(k＋n)π＋π

sin(α＋β)＝sinπ＝sinπ＝－1

(3)当α在第二象限，β在第三象限时，α＝2kπ＋π(k∈Z)，β＝2nπ＋π(n∈Z)则有：α＋β＝2(k＋n)π＋π

sin(α+β)＝sinπ＝sin＝

 综上，得sin（α+β）＝

10．已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.

分析：依据已知条件与所求结论，寻求它们的关系（75°＋α)＋(105°－α)＝180°，结合三角函数诱导公式求得.

解：∵cos(105°－α)＝cos［180°－(75°＋α)］＝－cos(75°＋α)＝－

sin(α－105°)＝－sin［180°－(75°＋α)］＝－sin(75°＋α)

∵cos(75°＋α)＝ ＞0

又∵α为第三象限角，∴75°＋α为第四象限角

∴sin（75°＋α)＝－

＝－＝－

∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)

＝－＋＝

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