2013高中新课程数学（苏教版必修四） 第十二课时 正弦函数、余弦函数的图象教案练习题

第十二课时  正弦函数、余弦函数的图象

教学目标：

会用单位圆中的线段画出正弦函数的图象，用诱导公式画出余弦函数的图象，会用“五点法”画正、余弦函数的图象；培养学生的数形结合思想，渗透由抽象到具体思想，使学生理解动与静的辩证关系.

教学重点：

用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线.

教学难点：

利用单位圆画正弦曲线.

教学过程：

Ⅰ.课题导入

以前，我们已经学过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等等，对于各种函数我们都讨论过它的图象及性质.那么，现在我们正在学习的三角函数的图象是什么样子呢?今天，我们就来探讨一下.

Ⅱ.讲授新课

三角函数线是三角函数的一种几何表示法，确切地说，就是用有向线段的长度来表示三角函数值的大小，方向表示三角函数的符号的一种方法.

作函数的图象，最基本的方法是列表描点法.作三角函数的图象，为了精确，我们借助单位圆中的三角函数线来作.

下面，我们利用单位圆中的正弦线来画一下正弦函数的图象.

首先，在平面内建立一平面直角坐标系，然后在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以Ｏ1为圆心作单位圆，从⊙O1与x轴的交点A起把⊙O1分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图象越精确).过⊙Ｏ1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0、、、、…2π等角的正弦线(例如有向线段O1B对应于 角的正弦线)，相应地，再把x轴上从0到2π这一段(2π≈6.28)分成12等份(例如，从原点起向右的第四个点，就是对应于 角的点)，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合(例如，把正弦线O1B向右平移，使点O1与x轴上的点 重合).再把这些正弦线的终点用平滑曲线连结起来.

这时，我们看到的这段光滑曲线就是函数y＝sinx在x∈［0，2π］上的函数.

因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx在x∈［2kπ，2(k＋1)π］，     k∈Z且k≠0上的图象与函数y=sinx在x∈［0，2π)上的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数y＝sinx，x∈［0，2π)的图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx在x∈R上的图象.

这时，我们看到的这支曲线就是正弦函数y＝sinx在整个定义域上的图象，我们也可把它称为正弦曲线.

用这种方法来作图象，虽然比较精确，但不太实用，我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢?

在函数y＝sinx，x∈［0，2π］的图象上，起着关键作用的点只有以下五个：

(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)

事实上，描出这五个点后，函数y＝sinx，x∈［0，2π］的图象的形状就基本上确定了.因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连结起来，就可得到函数的简图.今后，我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”.

下面我们看余弦函数图象的一种画法.

由诱导公式可知：y＝cosx＝sin(＋x)＝sin(x＋)

看来，余弦函数y＝cosx，x∈R与函数y＝sin(x＋)，x∈R是同一个函数.

而y＝sin(x＋)，x∈R的图象可通过将正弦曲线向左平行移动个单位长度而得到.

现在看到的曲线也就是余弦函数y＝cosx在x∈R上的图象，即余弦曲线.

同样，可发现在函数y＝cosx，x∈［0，2π］的图象上，起着关键作用的点是以下五个：

(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)与画函数y＝sinx，x∈［0，2π］的简图类似，通过这五个点，可以画出函数y＝cosx，x∈［0，2π］的简图.

下面，请同学们练习一下“五点(作图)法”

Ⅲ.课堂练习

用“五点法”分别作出y＝sinx与y＝cosx在x∈［0，2π］上的简图，并体会它们之间的关系.

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，要了解如何利用正弦曲线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象，并会用“五点法”画正弦、余弦函数的简图，会用这一方法画出与正弦、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.

Ⅴ.课后作业

预习：正弦函数、余弦函数分别具有哪些性质?

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