2013高中新课程数学（苏教版必修四） 第三课时 弧度制（一）教案练习题

第三课时  弧度制(一)

教学目标：

理解1弧度的角、弧度制的定义，掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.

教学重点：

使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.

教学难点：

弧度的概念及其与角度的关系.

教学过程：

Ⅰ.课题导入

在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢?

周角的为1°的角.

这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，今天我们再来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的单位制——弧度制.

Ⅱ.讲授新课

［师］弧度制的单位符号是rad，读作弧度.

我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.

请同学们考虑一下，周角的弧度数是多少?平角呢?直角呢?

因为周角所对的弧长l＝2πr，所以周角的弧度数是＝2π.同理平角的弧度数是＝π，直角的弧度是.

由此可知，任一0°到360°的角的弧度数x（x＝），必然适合不等式0≤x＜2π.角的概念推广后，弧度的概念也随之推广.如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长l＝4πr时，这个圆心角的弧度数是多少呢?此时，我们应该先求出这个角的绝对值，然后在其前面放上“－”号，即所求圆心角的弧度数是－＝－＝－4π

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.任一角α的弧度数的绝对值｜α｜＝，其中l是以角α为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.

从定义中我们可以看出，弧度制实质上是用弧长与其半径的比值来反映弧所对圆心角的大小，这个比值与半径的大小有没有关系呢?

这个比值与半径的大小无关而只与角的大小有关，即这样定义是合理的.

用角度制和弧度制度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)，用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.下面我们来讨论角度与弧度的换算.

因为周角的弧度数是2π，而在角度制下它是360°，所以360°＝2π rad.

180°＝π rad1°＝rad  角度化弧度时用之.

1 rad＝（）°  弧度化角度时用之

Ⅲ.例题分析

［例1］把67°30′化成弧度

解：∵67°30′＝（67）°

∴67°30′＝rad×67＝π rad.

［例2］把 π rad化成度

解：π rad＝π×（）°＝×180°＝108°

注意：

(1)今后用弧度制表示角时，或者说“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或符号“rad”可以省略不写，而只写这个角的弧度数.(此时的弧度在形式上是不名数，但应当把它理解为名数.如α＝2，即α是2 rad的角，sin3表示3 rad角的正弦，π＝180°即π rad＝180°).但用角度制表示角时，或者用“度”为单位度量角时，“度”即“°”不能省去.

(2)用弧度制表示角时，或者说用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数.

(3)今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k·360°＋或者

2kπ－60°一类的写法.

Ⅳ.课堂练习

课本P10练习  1、2、3、4、7

对于练习中的1题再补充将60°、135°、150°化成弧度；3题再补充将11°15′化成弧度.

Ⅴ.课堂小结

本节课我们学习了弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法.应该注意，角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记.

Ⅵ.课后作业

（一）课本P10习题  3、6、7

（二）预习内容：课本P9

弧度制(一)

1．角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，当终边过点A（，）时，角α是                                                                       （    ）

A.第一象限角             B.第二象限角

C.第三象限角        D.第四象限角

2．若－＜α＜β＜，则α－β的范围是                                 （    ）

A.－π＜α－β＜0        B.－＜α－β＜0

C.－＜α－β＜π       D.－π＜α－β＜

3．设集合M＝{α|α＝－，k∈Z}，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N等于  （    ）

A.{－，}                                 B.{－，}

C.{－，，－，}                   D.{ ，－ }

4. 下列各组角中，终边相同的角是                                           （    ）

A. 与kπ＋  (k∈Z)            B.kπ±与  (k∈Z)

C.(2k＋1)π与(4k±1)π  (k∈Z)     D.kπ＋与2kπ±  (k∈Z)   

5．若角α、β的终边关于y轴对称，则α、β的关系一定是（其中k∈Z）        （    ）

A.α＋β＝π             B.α－β＝

C.α－β＝（2k＋1）π           D.α＋β＝(2k＋1)π       

6．在与210°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为_________.  

7．4弧度角的终边在第         象限.       

8．－πrad化为角度应为         .           

9．钝角α的终边与它的5倍角的终边关于y轴对称，则α＝_________.  

10．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是多少度？多少弧度？

11．如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.

弧度制(一)答案

1．B  2．A  3．C  4. C  5．D  6．－  7．三  8．－345°  9．

10．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是多少度？多少弧度？

分析：在相同时间内，两轮转动的齿数相同，是解决问题的关键，因此，两轮转过的圈数之比与它们的齿数成反比，使问题得以解决.

解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的齿数相同，所以两轮转过的圈数之比与它们的齿数成反比，于是大轮转过的圈数：小转轮过的圈数=20∶48

据此解得当大轮转1周时，小轮转2.4周.

故小轮转过的角度为360°×2.4＝864°

小轮转过的弧度为864°×＝rad.

答：当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是864°，弧度是rad.

11．如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.

解：A点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜

14分钟后回到原位，∴14θ＝2kπ,

θ＝，且＜θ＜，

∴θ＝或

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