2012-2013高二北师大数学选修2-2：5.2复数的四则运算教学设计

5.2复数的四则运算一、教学目标：1、掌握复数的加法运算及意义；2.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。二、教学重点：1.复数的代数形式的加、减运算及其几何意义2.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：1.加、减运算的几何意义2.乘除运算 三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习准备：1. 与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。3. 同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算。向量的加减运算满足何种法则？4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？（二）、探析新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：，则。例1．设，复数，若是虚数，求m的取值范围．解：因为所以因为是虚数，所以且所以且②复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）例2、如图在复平面上复数i，1，4+2i所应对的点分别是A、B、C，求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数．解：由已知分别对应复数i，1，4+2i，且，所以向量所对应的复数分别为，因为，所以向量对应的复数为又因为，所以，所对应的复数为即点D对应的复数为 2、复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若，则。④讨论：若，试确定是否是一个确定的值？（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）⑤复数的加法法则及几何意义：，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。例3．已知复数则复数，在复平面内对应的点位于复平面内的(    )A．第一象限     B．第二象限        C．第三象限    D．第四象限解：A  点拨：，对应的点位于第一象限．3.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：。②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。例4、已知复数且是纯虚数，求z共轭复数．解法一：是纯虚数，所以所以把代入得所以时，时，故所求z的共轭复数为或解法二：设且，所以所以代入得所以时，时，③类比，试写出复数的除法法则。2．复数的除法法则：其中叫做实数化因子除法运算规则：①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有:(a+bi)÷(c+di)= i.②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将的分母有理化得：原式=.∴(a+bi)÷(c+di)=.例5．①复数在复平面上对应的点不可能位于(  )A．第一象限         B．第二象限        C．第三象限    D．第四象限答案：A点拨：若Z对应的点位于第一象限，则得这样的m不存在，因此不可能位于第一象限．②复数等于(    )A．   B．          C．      D．点拨：，故选D．3、例题探析：例6、复数=1+2i，=－2+i，=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用复数减法几何意义及复数相等，求点D的对应复数.解法一：设复数所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，是： (x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i; (－1－2i)－(－2+i)=1－3i.即(x－1)+(y－2)i=1－3i，∴ 解得∴x=2，y=－1.故点D对应的复数为2－i.分析二：利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解.解法二：因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是(－2+i)+(x+yi)=0，∴x=2，y=－1.故点D对应的复数为2－i.点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用 （三）．课堂小结：1.两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。2.两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数五、课堂练习1．已知其中m，n实数，i是虚数单位，则m+ni=( C )A．1+2i               B．1-2i           C．2+i        D．2-i答案：C点拨：所以，因为，所以所以即2．如果复数是实数，则实数m=( A   )A．-l      B．1        C．           D．答案：A点拨：由于是实数，所以又因为m是实数，所以3．复数的虚部为( D )A．3     B．-3      C．2     D．-2答案：D点拨：虚部为-2．4．复平面上三点A，B，C分别对应复数l，2i，5+2i，则由A，B，C所构成的三角形是(A   )A．直角三角形       B．等腰三角形        C．锐角三角形       D．钝角三角形答案：A点拨：因为且，所以A，B，C构成的三角形为直角三角形．5．已知复数z与均是纯虚数，则z=__________________。答案：点拨：设则为纯虚数，所以所以所以6、复数的值是__________.解：点拨：7．已知复数，复数z满足Z，则复数=___________。点拨：由已知得8．已知，求的值．解：设，则，所以解得或所以当时，原式=当时，原式