高中数学湘教版必修11.2函数的概念和性质导学案

函数的概念与性质

一、学习要求

①了解映射的概念，理解函数的概念；

②了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数单调性奇偶性的方法；

③了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数；

④理解分数指数幂的概念，掌握有理数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质；

⑤理解对数函数的概念、图象和性质；⑥能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题．

二、两点解读

重点：①求函数定义域；②求函数的值域或最值；③求函数表达式或函数值；④二次函数与二次方程、二次不等式相结合的有关问题；⑤指数函数与对数函数；⑥求反函数；⑦利用原函数和反函数的定义域值域互换关系解题．

难点：①抽象函数性质的研究；②二次方程根的分布．

三、课前训练

1．函数的定义域是                      （ D  ）

（A）      （B）      （C）     （D）

2．函数的反函数为                        （ B ）

（A）          （B） 

（C）          （D）

3．设则       ． 

4．设，函数是增函数，则不等式的解集为 (2,3)    

四、典型例题

例1      设，则的定义域为        （   ）

（A） （B） 

（C） （D）

解：∵在中，由，得， ∴，

∴在中，．

故选B

例2      已知是上的减函数，那么a的取值范围是                                                  （   ）

 （A）     （B）      （C）      （D）

解：∵是上的减函数，当时，，∴；又当时，，∴，∴，且，解得：．∴综上，，故选C

例3      函数对于任意实数满足条件，若，则         

解：∵函数对于任意实数满足条件，

∴，即的周期为4，

∴，

∴

例4      设的反函数为,若×

，则   2  

解：

∴m+n=3，f(m+n)=log3(3+6)=log39=2

（另解∵,

∴）

例5      已知是关于的方程的两个实根，则实数为何值时，大于3且小于3？

解：令，则方程

的两个实根可以看成是抛物线与轴的两个交点（如图所示），

故有：，所以：，

解之得：

例6      已知函数有如下性质:如果常数,那么该函数在上是减函数,在上是增函数．如果函数的值域为，求b的值；

解：函数的最小值是，则＝6，∴；

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