高中数学湘教版必修11.2函数的概念和性质学案设计

这是一份高中数学湘教版必修11.2函数的概念和性质学案设计，共21页。学案主要包含了变式与拓展等内容，欢迎下载使用。

函数的概念与表示
自主学习
1．映射的定义：设是两个非空集合，如果按照对应法则，对于集合中的任意一个元素，在集合都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合到集合的映射，记作：．
2．一一映射：对于从集合到集合的映射，若中的任意一个元素在中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的映射叫作从集合到集合的一一映射．
3．象与原象：对于给定的一个集合到集合的映射，且，元素与元素对应，那么元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．设原象组成的集合为，则有，设与原象对应的象组成的集合为，则．
4．函数的概念：如果、都是非空的数集，那么从集合到集合的映射：叫做到的函数．原象的集合叫做函数的定义域，象的集合叫做函数的值域．
5.函数的三要素：定义域；值域；对应法则．在这三要素中，值域可以由定义域和对应法则唯一确定，故可以说函数只有两要素．两个函数是同一个函数的条件是：它们的三要素均相同．

教材透析
知识点1 映射是特殊的对应，其特殊性在于，它只能是“一对一” 或“多对一”的对应．故判断一个对应是不是映射的方法是：首先检验集合中的每一个元素是否在集合中都有象，然后看集合中每一个元素的象是否唯一．
知识点2 函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合和集合只能是非空数集．函数是映射，但是映射不一定是函数；函数不一定都有解析式．
知识点3 当且仅当两个函数的三要素均相同时，才是同一个函数．
知识点4 函数定义域一般有两种形式：即自然定义域和限定定义域．对于来自于实际问题中的函数，其定义域要符合问题的实际，属于限定定义域；自然定义域是函数自身的自变量的取值范围，有以下几种情况：①分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于零；③对数的真数和底数大于零，且底数不等于1；④指数式中，指数为零时，底数不能为零．
典例剖析
【题型1】求函数值
【例1】如果函数对任意都有，试求的值.
【解析】∵对任意，总有f，
∴当时应有，
即，∴.
又∵，∴，
故有得，∴.
∴ .
【点评】这是一个抽象函数的求值问题，关键是有一只条件确定的值，求出函数解析式．

【变式与拓展】
1. （2006年安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则 .
【解析】由得，所以，则．
【题型2】 求函数解析式
【例2】设是定义在上的函数，对一切均有，当时，，求当时，函数的解析式.
【解析】设，则，又对任意的，有
，∴，
∴，
又时，，
∴.

【变式与拓展】
2. 如果，求一次函数的解析式.
【解析】设，则.
由于该函数与是同一个函数，
∴且，∴.
当时，；
当时，b=1+
∴或.
【题型3】 分段函数
【例3】如右图，在边长为4的正方形上有一点，沿着折线由点（起点）向点（终点）移动，设点移动的路程为，的面积为.
（1）求的面积与移动的路程间的函数关系式；
（2）作出函数的图象，并根据图象求的最大值.
【解析】（1）这个函数的定义域为 .
当时，；
当时，；
当时，.
∴这个函数的解析式为

（2）其图形如图所示：
由图知，的最大值为 .
【点评】这是一个分段函数的球解析式问题，要注意在不同条件下列出对应的关系式，最后结果要写成分段函数的形式，注意自变量的取值范围．

【变式与拓展】
3. 函数|的图象是

【解析】函数化简得，所以选B.
能力训练
一、选择题
1．（2006湖北）设，则的定义域为 （　B　）
A. B.
C. D.
2. 已知函数的定义域是，则实数a的取值范围是 （ B ）
A.a＞ B. C. D.
3.（2004湖北）已知f（）=，则f（x）的解析式可取为（　　）
A. B. 　　C. D.
4.（2009江西）函数的定义域为 （ D ）
A．　　　 B．　　　 C．　　　　D．
5.某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是 （ D ）
A.10% B.15% C.18% D.20%
6．（2006年广东）函数的定义域是 ( B )
A. B. C. D.
二 填空题
7．函数y=的定义域为，值域为.
8．（2004浙江文）已知则不等式的解集是.
9．（2006年辽宁）设，则.
10.设函数f（x）=，
则使得的x的取值范围是 .
三 解答题
11. ( 2006年重庆)已知定义域为的函数满足，
（1）若，求f(1)；又若，求；
（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式.
【解析】（1）因为对任意，有，所以
，
又由，得，即.
若，则，即 .
（2）因为对任意，有，
又因为有且只有一个实数，使得，
所以对任意，有
在上式中令，有
又因为，所以，故或.
若，则，即.
但方程有两个不同实根，与题设条件矛质，故.
若，则有，即，易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为.
12.某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min以内收费0.2元，超过3 min的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min按1 min计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min以内、1到2 min以内、2到3 min以内、3到4 min以内的次数之比为. 问：根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m到m+1 min以内指含m min，而不含m+1 min）
【解析】设小灵通每月的费用为元，全球通的费用为元，分别在1 min以内、2 min以内、3 min以内、4 min以内的通话次数为4x、3x、x、x，则
，
.
令，即，解得.
∴总次数为.
故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.

第二节 函数的单调性
自主学习
1. 增函数、减函数的定义
一般地，对于给定区间上的函数，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值、，当时，都有〔或都有〕，那么就说在这个区间上是增函数（或减函数）.
如果函数在某个区间上是增函数（或减函数），就说在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.
2. 函数单调性可以从三个方面理解
（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.
（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.
（3）定量刻画，即定义.
上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.
3. 讨论复合函数单调性的根据：设，，，都是单调函数，则在上也是单调函数.
（1）若是上的增函数，则与的增减性相同；
（2）若是上的减函数，则的增减性与的增减性相反.
4.判断函数单调性的方法：定义法，导数法，图像法，特殊值法（主要用于解选择题或填空题）.
5.函数单调性的应用：比较函数值的大小，求某些函数的值域，解证某些不等式，讨论根的分布等.
教材透析
1 判断函数单调性：
（1）定义法：给定区间上的函数，若对，且，都有
（或）则称函数在上是增函数（或减函数）.
与定义等价的判断方法：，若
（或），则称函数在上是增函数.
2.导数法：给定区间上的函数，求其导数，对于，若，
则函数在上是增函数（或减函数.
3.函数的单调区间：函数的单调区间可能是连续的，也可能是分散的，分散的单调区间中间用“，”分开，如的减区间，，不能写成.
4.函数的最值：函数的最值是是函数值域中的特殊值，故求函数最值的方法与求值域的方法差不多，要考虑取“=”的条件是否满足.
典例剖析
【题型1】函数单调性的判断与证明
【例1】定义在上的函数，，当时，，且对任意的、，有.
（1）求证：；　　　　　　 （2）求证：对任意的，恒有；
（3）求证：是上的增函数； （4）若，求x的取值范围.
【解析】（1）证明：令，则，又，∴.
（2）证明：当时，，∴，
∴f（－x）=，又时，，
∴时，恒有.
（3）证明：设，则，
∴.
∵，∴，
又，∴，
∴，∴是上的增函数.
（4）解：由，，得，又是上的增函数，∴，∴.
【点评】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.
【变式与拓展】
1. 设函数，求证：当且仅当时，在内为单调函数；
【解析】，
①当时，∵，∴，
②当时，由，得；
由得；
∴当时，在上为减函数，在上为增函数，
∴当时，在 上不是单调函数.
综上，当且反当时，在上为单调函数.

【题型2】 利用单调性讨论参数的范围
【例2】已知函数）的图象与函数的图象关于点对称.
（1）求m的值；
（2）若在区间上为减函数，求实数a的取值范围.
【解析】（1）设为函数图象上一点，点关于的对称点为，
则有，且.
∵点在上，
∴.
消去、代入，得，
整理，得，∴m=.
（2）∵，设、，且，
则对一切x1、x2∈（0，2］恒成立.
∴对一切、恒成立.
∴由，得．
【变式与拓展】
2 .（2004广东）设函数，证明：当，且时，.
【证明】在上是减函数，在上是增函数.由且，得且，即，.

【题型3】 函数的值域或最值
【例3】（2006江苏）设a为实数，记函数的最大值为.
　　　（1）设，求t的取值范围，并把表示为t的函数；
（2）求g(a)；
（3）试求满足的所有实数a.
【解析】（1）∵，
∴要使有意义，必须且，即.
∵，且……① ∴的取值范围是.
由①得：，∴，.
（2）由题意知即为函数，的最大值，
∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故；
（2）当时，，，有=2；
（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，，
若即时，，
若即时，.
综上所述，有=.
（3）当时，；
当时，，，∴，
，故当时，；
当时，，由知：，故；
当时，，故或，从而有或，
要使，必须有，，即，
此时，。
综上所述，满足的所有实数a为：或.
【点评】本题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
【变式与拓展】
3. 如果二次函数在区间上是增函数，求的取值范围.
【解析】二次函数在区间上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，于是，解之得，故，即.
能力训练
一、选择题
1．( 2006年湖南）“”是“函数在区间[1, +∞)上为增函数”的( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．（2006陕西）已知函数若则（　A　）
A. B.
C. D.与的大小不能确定
3．（2006年天津卷）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（　D　）
A． 　 B． 　　 　C． D．
4. (2009广东文)函数的单调递增区间是 （ D ）
A. B. (0,3) C. (1,4) D.
5.（2009浙江文）若函数，则下列结论正确的是（ C ）
A．，在上是增函数
B．，在上是减函数
C．，是偶函数
D．，是奇函数
6. (2009山东文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数，则 ( D ).
A. B.
C. D.
二 填空题
7．（2006年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是.
8．函数y=loga（2－ax）在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是.
9. 如果函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是 .
10．设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题：
①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递增；
②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递增；
③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递减；
④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递减.
其中，正确的命题是　②　③　.
三 解答题
11 .（2007湖北文）设二次函数，方程的两根和满足．
（1）求实数的取值范围；
（2）试比较与的大小，并说明理由．
【解析】（1）令，
则由题意可得．
故所求实数的取值范围是．
（2），令．
当时，单调增加，
∴当时，
，即．

12.（2006年上海春）设函数.
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合
，
试判断集合和之间的关系，并给出证明；
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.

解：（1）如图所示：
（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此
.
由于，∴ .
（3）[解法一] 当时， .
，
，∴，又，
① 当，即时，取，
.
， 则 .
② 当，即时，取， ＝.
由 ①、②可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
[解法二] 当时， .
由 得，
令 ，解得 或，
在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点.
如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.

第三节 函数的奇偶性和周期性
自主学习
1.奇函数：对于函数的定义域内任意一个，都有
〔或〕，则称为奇函数.
2.偶函数：对于函数.的定义域内任意一个，都有
〔或〕，则称为偶函数.
3.奇、偶函数的性质
（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.
（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称.
（3）若奇函数的定义域包含数，则.
（4）奇函数的反函数也为奇函数.
（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
4．周期函数的定义：对于函数，如果存在一个不等于的常数，使得当取定义域内的任意值时都有，则是周期函数，是它的一个周期.对于一个周期函数，如果所有周期中存在一个最小的正的周期，就把这个周期叫做最小正周期.

教材透析
知识点1:奇偶函数的定义域关于原点对称，解题时要优先考虑；定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数.
知识点2：函数奇偶性的判断方法：①定义域关于原点对称；②对于奇函数若定义域中有，则；③ 特值检验，然后再证明；④利用某些性质：在公共定义域内，偶函数与偶函数的和（或差或积或商）是偶函数，奇函数与奇函数的和（或差或积或商）是奇函数，（作商时，注意分母不能为）奇函数与偶函数的积与商为奇函数.
知识点3：函数奇偶性的应用①作函数图像；②求解析式；③奇偶性与单调性的联系：奇函数的对称区间上单调性相同，偶函数的对称区间上单调性相反；④利用奇偶性求值.
知识点4：若是函数的周期，则的整数倍也是函数的周期.
典例剖析
【题型1】判断函数的周期性
【例1】（2002全国文）设函数，.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求函数的最小值.
【解析】（1），
由于，
故既不是奇函数，也不是偶函数.
（2）f（x）=，
由于在上的最小值为，在内的最小值为，
故函数在内的最小值为.
【点评】因为奇偶函数问题要紧紧抓住“任取”“都有”这两个关键词. 与要同时有意义，f（x）与f（－x）要么相等，要么互为相反数，而要讨论非奇非偶只要说明不满足上述两点之一即可.另外，也可以借助分段函数的草图，帮助分析，然后用代数方法来回答.
【变式与拓展】
1.判断下列函数的奇偶性
（1）
（2）
【解析】（1）由，得，定义域关于原点对称，
又，所以是定义域上的奇函数.
(2)定义域为，关于原点对称，
又当时，，则时，，
∴，
又当时，，则时，，
∴，
故原函数为偶函数.

【题型2】函数奇偶性的应用
【例2】设，是R上的偶函数.
（1）求a的值；
（2）证明在上是增函数．
【解析】（1）∵是上的偶函数，∴．
∴

不可能恒为“”，∴当时等式恒成立，∴a＝1．
（2）在上任取，
f（x1）－f（x2）＝

∵e＞1，∴0＜＞1，∴＞1，
∴，∴是在上的增函数．

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．

【变式与拓展】
2 .设为定义在上的偶函数，当时，的图象是经过点，斜率为的射线，又在的图象中有一部分是顶点在，且过点的一段抛物线.试写出函数的表达式，并作出其图象.
【解析】当时，设，则由，即，得；
当时，设，
则由，即，得；
当时，．
故f（x）＝.

【题型3】 函数的周期问题
【例3】 求下列函数的周期：
（1） （2）
【解析】（1）由得，，所以函数周期为
（2）由得，，所以函数的周期为．
【点评】这是一个抽象函数的周期问题，注意已知等式中变量的替换，再与周期的定义结合，就可以得出周期.
【变式与拓展】
已知偶函数是定义在上的周期函数，其最小正周期为4．
（1）若，求的值；
（2）若在上递增，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】（1）∵4是函数的周期，∴也是函数的周期．
于是，．
（2）偶函数在在上递增，则在[2，4]上递减。由函数的最小正周期为4知，在[0，2]上递增。排除（B），又，排除（D）．
∵，∴选（C）．
能力训练
一．选择题
1．二次函数是偶函数，则函数的增区间为 （ A ）
A． B． C． D．
2．下列函数中为奇函数的是 ( C )
A． B．
C． D．
3． （2008全国Ⅱ）函数的图像关于（ C ）
A．轴对称 B． 直线对称
C． 坐标原点对称 D． 直线对称
4． 定义在上的奇函数的最小正周期为3，则下列关系中恒成立的是( B )
A． B．
C． D．
5．（2008年福建）函数，若,则的值为( B )
A．3 B． 0 C． -1 D．-2
6． (2007年全国Ⅰ)设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ B ）
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
二．填空题
7．（2007年宁夏）设函数为奇函数，则实数．
8．若函数为偶函数，则．
9．若定义在上的函数满足：，则函数的周期为．
10．设是上的奇函数，，当时，，则．
三．解答题
11．已知偶函数在上为增函数，且，解不等式：．
【解析】由偶函数在上为增函数知, 在上为减函数，于是：
当，即时，由得，，
当，即时，由得，，
综上所述，不等式的解为或．

12．已知函数是奇函数，且，
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的最大值．
【解析】（1）函数是奇函数，则，得 ，
解得：，所以．
（2）可以证明函数在上是增函数，所以．



单元测试三
一．选择题
1．（2008佛山一模）已知为实数集，，则= （ A ）
A． B． C． D．
2．已知，，则 （ A ）
A．15 B． 1 C．3 D．30
3．与函数的图象相同的函数解析式是 （ C ）
A． B．
C． D．
4．当时，函数在时取得最大值，则a的取值范围是 （ D ）
A. 　 B. 　　 C. 　 D.
5． 设奇函数在上为增函数，且，则的解集为（ B ）
A． B．
C． D．
6. 下列函数中, 是奇函数且在上为增函数的是 ( C )
A． B． C． D．
7. （2008年深圳一模）设是定义在上的奇函数，且当时，，则 ( C )
A． B． C． D．
8．（2009全国Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D )
(A) 是偶函数 (B) 是奇函数
(C) (D) 是奇函数
9．(2009山东理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( C )
A． B． C． D．
10．（2009江西文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为 （ C ）
A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．

二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2008年安徽）函数的定义域为．
12．设偶函数在上为减函数，则不等式的解集是
13．若，则．
14．函数在区间[2，3]上的最大值为．
三．解答题（共6小题，共80分）
15．已知函数在定义域上为增函数，且满足
(1)求的值 (2)解不等式
【解析】（1）
（2）
而函数f(x)是定义在上为增函数
∴
即原不等式的解集为
16．函数的定义域为（为实数）.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；
（3）函数在上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值.
【解析】（1）显然函数的值域为．
（2）若函数在定义域上是减函数，则任取且都有 成立， 即，
只要即可，
由，故，所以，
故的取值范围是；
（3）当时，函数在上单调增，无最小值，
当时取得最大值；
由（2）得当时，函数在上单调减，无最大值，
当时取得最小值；
当时，函数在上单调减，在上单调增，无最大值，
当 时取得最小值.
17．（2008年广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）
【解析】设楼房每平方米的平均综合费为元，则

，令得
当时，，当时，
因此，当时，取最小值
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．

18．设二次函数满足下列条件：
①当时，的最小值为0，且成立；
②当时，≤≤2+1恒成立．
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）求最大的实数，使得存在实数t,只要当∈时，就有成立．
【解析】(1)在②中令，有，故．
(2)由①知二次函数的关于直线对称，且开口向上
故设此二次函数为，()，
∵，∴．∴
(3)假设存在，只需，就有．
，
令，

∴，
时，对任意的
恒有， ∴的最大值为．