2021学年1.2函数的概念和性质学案

1．(2011年高考福建卷)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－1,1)　　　　　　　　 B．(－2,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)   D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：选C.∵方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝m2－4>0，∴m>2或m<－2.

2．函数f(x)＝x2－mx＋4，当x∈[－2，＋∞)时为增函数，当x∈(－∞，－2]时是减函数，则f(－1)＝(　　)

A．1   B．9

C．－3   D．13

解析：选A.－＝＝－2，∴m＝－4，∴f(－1)＝1.

3．函数f(x)＝x2－2x－3在[－2,4]上的最大值和最小值分别为(　　)

A．5，－4   B．3，－7

C．无最大值和最小值   D．7，－4

解析：选A.f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.

当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝－4.

当x＝－2或4时，f(x)max＝5.

4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1,12)，(0,5)，且当x＝2时，y＝－3，则解析式为________．

解析：依题意得，解之得

∴f(x)＝x2－6x＋5.

答案：f(x)＝x2－6x＋5

5．二次函数y＝x2＋6x＋7的单调递减区间为________．

解析：∵二次项系数大于0且－＝－3，

∴单调递减区间为(－∞，－3]．

答案：(－∞，－3]

一、选择题

1．函数y＝－x2＋2x在[1,2]上的最大值为(　　)

A．1   B．2

C．－1   D．不存在

解析：选A.函数y＝－x2＋2x的单调递减区间为[1，＋∞)，

∴函数y＝－x2＋2x在[1,2]上递减．

∴当x＝1时，函数取得最大值1.

2．函数y＝的值域为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C.∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，∴0＜≤，∴函数y＝的值域是.

3．若函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，那么a的取值范围是(　　)

A．[－2,1)   B．{－2}

C．[1，＋∞)   D．(－∞，－2]

解析：选D.由题意知－≥1，解得a≤－2.

4．(2011年浏阳一中月考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)，则(　　)

A．a＝1，b＝－4，c＝－11   B．a＝3，b＝12，c＝11

C．a＝3，b＝－6，c＝11   D．a＝3，b＝－12，c＝11

解析：选D.由题意得，∴.

5．若抛物线y＝x2＋6x＋c的顶点恰好在x轴上，则c的值为(　　)

A．0   B．3

C．6   D．9

解析：选D.二次函数y＝x2＋6x＋c的顶点坐标为(－3，c－9)，由题意知c－9＝0，∴c＝9.

6．(2010～2011年湖南凤凰华鑫中学月考)函数y＝(x－a)2＋(x－b)2(a、b为常数)的最小值为(　　)

A．8   B.

C.   D．最小值不存在

解析：选B.y＝2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2＝22＋，

当x＝时，ymin＝.

二、填空题

7．(2010～2011年浏阳一中高一月考)已知f(2x＋1)＝x2－2x，则f(5)＝________.

解析：令2x＋1＝5，∴x＝2，∴f(5)＝22－2×2＝0.

答案：0

8．如果二次函数y＝x2－6x＋m的最小值是1，那么m的值是________．

解析：由＝1得＝1，∴m＝10.

答案：10

9．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，

又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，

∴1<a≤3.

答案：(1,3]

三、解答题

10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x＝1时，y有最大值4，且|a|＝1，求它的解析式．

解：∵y有最大值，∴a<0，又|a|＝1，∴a＝－1.

由题意，解得b＝2，c＝3.

∴函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.

11．作出下列函数的图象：

(1)y＝x2－4x；(2)y＝x2－4|x|；

(3)y＝|x2－4x|；

(4)y＝|x2－4x|－1.

解：先将函数用分段函数表示，再用分段作图法作图即可．

(1)作图象如图①所示．

(2)y＝作其图象如图②所示．

(3)y＝作其图象如图③所示．

(4)y＝作其图象如图④所示．

12．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足k(x)＝其中x是仪器的月产量．

(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？

解：(1)设月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而f(x)＝

(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25000，

∴当x＝300时，f(x)max＝25000；

当x>400时，f(x)＝60000－100x为减函数，

∴f(x)<60000－100×400<25000.

综上可得：当x＝300时，f(x)最大为25000元．

即当日产量为300台时公司所获利润最大为25000元．