初中数学苏科版九年级下册5.1 二次函数同步练习题

这是一份初中数学苏科版九年级下册5.1 二次函数同步练习题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1.若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. 2 D. 4
2.如图为抛物线 y=ax2+bx+c 的图像，A，B，C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ）
A. a＋b=－1 B. a－b=－1 C. b<2a D. ac<0
3.记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数.已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（ ）
A. y＝﹣（x﹣60）2+1825 B. y＝﹣2（x﹣60）2+1850
C. y＝﹣（x﹣65）2+1900 D. y＝﹣2（x﹣65）2+2000
4.已知二次函数的图象的顶点是 (1,−2) ，且经过点 (0,−5) ，则二次函数的解析式是（ ）．
A. y=−3(x+1)2−2 B. y=3(x+1)2−2 C. y=−3(x−1)2−2 D. y=3(x−1)2−2
5.已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）

A. B. C. D.
6.已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示：
则可求得 b+b2−4ac2a （4a﹣2b+c）的值是（ ）
A. 8 B. ﹣8 C. 4 D. ﹣4
7.某抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），且经过（2，1），则抛物线的解析式为（ ）
A. y=3x2﹣6x﹣5 B. y=3x2﹣6x+1 C. y=3x2+6x+1 D. y=3x2+6x+5
8.已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线的图象经过（3，0）点，则这条抛物线的解析式是（ ）
A. y=﹣x2﹣4x﹣3 B. y=﹣x2﹣4x+3 C. y=x2﹣4x﹣3 D. y=﹣x2+4x﹣3
9.二次函数 y=ax2+bx+c （a，b，c为常数且 a≠0 ）中的x与y的部分对应值如下表：
给出了结论：（1）二次函数 y=ax2+bx+c 有最大值，最大值为5；（2） ac<0 ；（3） x>1 时，y的值随x值的增大而减小；（4）3是方程 ax2+(b−1)x+c=0 的一个根；（5）当 −10 .则其中正确结论的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的部分图象如图所示，图象过点 (−1,0) ，对称轴为直线 x=2 ，
下列结论：
① 4a+b=0 ；
② 9a+c>3b ；
③ 8a+7b+2c>0 ；
④若点 A(−3,y1) ，点 B(−2,y2) ，点 C(8,y3) 在该函数图象上，则 y1⑤若方程 a(x+1)(x−5)=−3 的两根为 x1 和 x2 ，且 x1其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题
11.下表中 y 与 x 的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为________.
12.请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点 (0,5) 的抛物线解析式 ．
13.已知二次函数的图象经过原点，顶点为 (−1,−1) ，则该二次函数的解析式________.
14.二次函数y= 2x2+4x+m 经过点（1，2），m=
15.二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），则m的值为________．
16.图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯．防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.86米，灯柱AB及支架的相关数据如图2所示。若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为________米。

17.写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与 y 轴交于点 (0,−3) ，这个二次函数的解析式可以是________．
18.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为________．

三、解答题
19.已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），与y轴的交点是（0，﹣2），求这个二次函数的解析式.
20.已知二次函数图象经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，﹣3），求此二次函数的解析式．
21.抛物线的顶点为 (−1,−5) ，且过点 (2,−17) ，求它的函数解析式.
22.已知抛物线经过点（0，3），且顶点坐标为（1，﹣4），求抛物线的解析式．
23.二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式．
24.若抛物线的顶点坐标是A（1，－4），并且抛物线经过点B坐标为（3，－2）.求出该抛物线的关系式.
25.已知二次函数当x=﹣1时，有最小值﹣4，且当x=0时，y=﹣3，求二次函数的表达式.
26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
27.如图，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于点A、B（A左B右），交y轴于点C，S△ABC=6，点P为第一象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若∠PCB=45°，求点P的坐标；
（3）点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，连接PC、AQ，当PC= 59 AQ时，求点P的坐标以及△PCQ的面积．
28.如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O’与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O’的切线，AD⊥CD于点D．
（1）求证：∠CAD =∠CAB；
（2）已知抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点，AB=10，tan∠CAD=12 ．
① 求抛物线的解析式；
② 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；
③ 在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵点P（2，6）在该抛物线上，
∴6＝4+c，
解得：c＝2．
故答案为：C．
【分析】先求出b＝0，再求出6＝4+c，最后计算求解即可。
2.【答案】 B
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】由OA=OC=1结合图象的特征可得抛物线 y=ax2+bx+c 经过点（-1，0）、（0，1），再代入函数关系式即可得到结果.
由题意得抛物线 y=ax2+bx+c 经过点（-1，0）、（0，1）
则可得 a−b+1=0 ， a−b=−1
故答案为：B.
【分析】由OA=OC=1可得出点A、C的坐标，再将这两点的坐标分别代入函数解析式可得出关于a、b的关系式，可求解。
3.【答案】 D
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，
∵当x＝55，y＝1800，当x＝75，y＝1800，当x＝80时，y＝1550，
∴ {552a+55b+c=1800752a+75b+c=1800802a+80b+c=1550 ，
解得a＝−2，b＝260，c＝−6450，
∴y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+260x﹣6450＝﹣2（x﹣65）2+2000，
故答案为：D.
【分析】设二次函数的解析式为：y＝ax2＋bx＋c，根据题意列方程组即可得到结论.
4.【答案】 C
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设该抛物线解析式是：y＝a（x-1）2﹣2（a≠0）．
把点（0，-5）代入，得
a（0-1）2﹣2=-5，
解得a=-3．
故该抛物线解析式是 y=−3(x−1)2−2 ．
故答案为：C
【分析】利用待定系数法求函数解析式即可。
5.【答案】 A
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点，
设二次函数y=a（x-1）2+3，
把（0，0）代入得0=a+3
解得a=-3．
故二次函数的解析式为y=-3（x-1）2+3．
故答案为：A
【分析】由图可知二次函数的顶点，故可将二次函数设为顶点式。二次函数图像过原点，将（0，0）代入函数的解析式即可。
6.【答案】 C
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将x＝﹣1，y＝0；x＝2，y＝0；x＝3，y＝4代入y＝ax2+bx+c，
得到 {0=a-b+c0=4a+2b+c4=9a+3b+c ，
∴ {a=1b=-1c=-2 ，
∴ b+b2−4ac2a （4a﹣2b+c）＝4；
故答案为：C．

【分析】将x＝﹣1，y＝0；x＝2，y＝0；x＝3，y＝4代入y＝ax2+bx+c，建立三元一次方程组，求出a、b、c 的值，然后代入计算即可.
7.【答案】 B
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），且经过（2，1），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
把（2，1）代入得：1=a（2﹣1）2﹣2，
解得：a=3，
∴y=3（x﹣1）2﹣2=3x2﹣6x+1，
故选B．
【分析】设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把（2，1）代入得出1=a（2﹣1）2﹣2，求出a即可．
8.【答案】 D
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，
把（3，0）代入得a×（3﹣2）2+1=0，
解得a=﹣1，
所以抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3．
故选D．
【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则设抛物线的顶点式为y=a（x﹣2）2+1，再把（3，0）代入可计算出a的值，然后把抛物线的解析式化为一般式即可．
9.【答案】 B
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵ x=−1 时 y=−1 ， x=0 时 y=3 ， x=1 时 y=5 .
∴ {a−b+c=−1c=3a+b+c=5 ，
解得： {a=−1b=3c=3 .
∴ y=−x2+3x+3=−(x−32)2+214 .
当 x=32 时， y 有最大值，为 214 ，①不符合题意.
ac=−1×3<0 ，②符合题意.
∵a=-1<0,开口对称轴为直线 x=32 ，所以，当 x>32 时， y 随 x 的增大而减小，③不符合题意.
方程为 −x2+2x+3=0 ，解得 x1=−1 ， x2=3 ，所以3是方程
ax2+(b−1)x+c=0 的一个根，④符合题意.
∵ x=−1 时， ax2+bx+c=−1 .
∴ x=−1 时， ax2+(b−1)x+c=0 .
∵ x=3 时， ax2+(b−1)x+c=0 ，且函数有最大值.
∴当 −10 ，⑤符合题意.
综上，正确的有②④⑤，共3个，
故答案为：B.
【分析】当x=0时，y=3，则c=3；当x=-1时，y=-1；当x=1时，y=5，代入即可求函数解析式y=-x2+3x+3；进而可以进行判断．
10.【答案】 B
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=- b2a =2，
∴b=-4a，即4a+b=0，所以①符合题意；
∵x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②不符合题意；
∵抛物线经过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
而b=-4a，
∴a+4a+c=0，则c=-5a，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
而a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，所以③符合题意；
∵二次函数 y=ax2+bx+c 开口向下且对称轴为 x=2 ，
A、B、C三点的橫坐标到对称轴的距离由远及近的是：
(8,y3) ， (3,y1) ， (−2,y2) ，∴ y3∵如图所示：抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），
∴方程a（x+1）（x-5）=-3的两根x1和x2为抛物线y=a（x+1）（x-5）与直线y=-3的交点的横坐标，
∴x1＜-1＜5＜x2；所以⑤不符合题意；
综上所述，其中正确的结论有3个，
故答案为：B.
【分析】利用对称轴方程得到- b2a =2，则b=-4a，于是可对①进行判断；利用x=-3时，y＜0可对②进行判断；利用图象过点（-1，0）得到a-b+c=0，把b=-4a代入得到c=-5a，则8a+7b+2c=-30a，然后利用a＜0可对③进行判断；根据二次函数的性质，通过比较A、B、C点到对称轴的距离的大小得到 y3二、填空题
11.【答案】 y=-x2+2x+3
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为： y=ax2+bx+c ，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点带入函数关系式，得：
{a-b+c=0c=3a+b+c=4
解得： {a=-1b=2c=3 ，
∴函数的表达式为： y=-x2+2x+3 .
故答案为： y=-x2+2x+3 .
【分析】根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为： y=ax2+bx+c ，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案.
12.【答案】 y=x2+5（答案不唯一）
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点 (0,5) 的抛物线的表达式为y=x2+5，
故答案为：y=x2+5（答案不唯一）．

【分析】根据二次函数的性质即可得出答案。
13.【答案】 y=(x+1)2−1
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意，设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）2−1（a≠0），
由于抛物线经过原点，则有： 0＝a−1，即a＝1；
∴这个二次函数的解析式为 y=(x+1)2−1 ．
故答案为： y=(x+1)2−1 ．
【分析】本题已知了抛物线的顶点坐标，适合用二次函数的顶点式y＝a（x−h）2＋k（a≠0）来解答．
14.【答案】 -4
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】 ∵ 二次函数y= 2x2+4x+m 经过点（1，2），
∴2=2×12+4×1+m
解得 m=−4
故答案为：-4
【分析】先求出2=2×12+4×1+m ， 再求解即可。
15.【答案】 ±1
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），
5-m2=4
解之：m=±1.
故答案为：±1.
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式可得到关于m的方程，解方程求出m的值。
16.【答案】 2.7
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设点A为坐标原点，由题意可知： 防滑螺母C为抛物线支架的最高点
∴顶点A的坐标为：（1.5，2.5），B点坐标为（0，1.5）
设抛物线的解析式为y=a（x-1.5）2+2.5
将点B的坐标代入得：a（x-1.5）2+2.5=1.5
解之：a=-49
∴y=-49（x-1.5）2+2.5
∵ 灯罩D距离地面1.86米，茶几摆放在灯罩的正下方，
当y=1.86时
-49（x-1.5）2+2.5=1.86
解之：x1=0.3，x2=2.7，
∵茶几在对称轴的右侧
∴x=2.7
∴ 茶几到灯柱的距离AE为2.7m
故答案为：2.7
【分析】由题意构造直角坐标系，设点A为坐标原点，由题意可知：防滑螺母C为抛物线支架的最高点，由图像中的数据，就可得到顶点A的坐标及点B的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，再根据灯罩D距离地面1.86米，茶几摆放在灯罩的正下方，将y=1.86代入函数解析式求出x的值，就可得到茶几到灯柱的距离AE。
17.【答案】 y=-x2-3
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3），
∴c=-3．
取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x2-3．
故答案为：y=-x2-3（答案不唯一）．

【分析】根据二次函数的图像、性质与其系数的关系，再用待定系数法求解二次函数表达式即可。
18.【答案】 y=− 12 x2+2x+ 52
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A(5，0)，
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(−1，0)，
设抛物线的解析式为y=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，
即：y=a(x+1)(x−5)，
把(1，4)代入得：4=−8a，
∴a=− 12 .
∴抛物线的解析式为：y=− 12 x2+2x+ 52 .
故答案为：y=− 12 x2+2x+ 52 .
【分析】由抛物线对称轴是直线x=2且经过点A(5，0)，可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，因此设函数解析式为两根式，即y=a(x+1)(x−5)，再将（1,4）代入可解答。
三、解答题
19.【答案】 解：由抛物线顶点坐标为（1，-3）可设其解析式为y=a（x-1）2-3，
将（0，-2）代入，得：a-3=-2，
解得：a=1，
则抛物线解析式为y=（x-1）2-3.
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据题意可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3，然后将点（0，-2）代入求出a的值，据此可得二次函数的解析式.
20.【答案】 解：设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1），
把C（0，﹣3）代入得a•3•（﹣1）=﹣3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x+3）（x﹣1），即y=x2+2x﹣3．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，所以设交点式y=a（x+3）（x﹣1），然后把C点坐标代入求出a即可．
21.【答案】 解：设 y=a(x+1)2−5
将点 (2,−17) 代入得 −17=a(2+1)2−5
解得 a=−43
所以 y=−43(x+1)2−5
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标（-1，-5），即可设出抛物线的顶点式，再将点（2，-17）代入即可求得函数解析式.
22.【答案】 解：∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
故设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将点（0，3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得a＝7，
则抛物线的解析式为：y＝7（x﹣1）2﹣4．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据题意可得抛物线解析式为 y=a(x−1)2−4 ，然后把点（0，3）代入求解即可．
23.【答案】 解：设二次函数的关系式为y=ax2（a≠0），
将点（2，4）代入得4=a×22
解得a=1，
故二次函数为y=x2 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据题意可直接设y=ax2把点（2，4）代入得=1，所以y=x2 ．
24.【答案】 解：∵抛物线的顶点坐标是A（1，－4），
∴设抛物线的关系式为 y=a(x−1)2−4(a≠0) .
把 (3,−2) 代入，得
a(3−1)2−4=−2 ，
解得： a=12 .
∴该抛物线的关系式为 y=12(x−1)2−4 .
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】由题意可设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2-4，将（3，-2）代入可求出a的值，据此可得抛物线的解析式.
25.【答案】 解：设y=a（x+1）2﹣4
则﹣3=a（0+1）2﹣4
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+1）2﹣4
即：y=x2+2x﹣3.
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】由题意可设y=a（x+1）2﹣4 ，把x=0，y=﹣3代入解析式求出a，即可求出二次函数的表达式.
26.【答案】 （1）将B、C两点的坐标代入得
， 解得：b＝−2，c＝−3；
所以二次函数的表达式为：y=x2-2x-3
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；
连接PP′，则PE⊥CO于E，
∴OE=EC=
∴y=−；
∴x2-2x-3=−
解得x1=， x2=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（， −）
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），
易得，直线BC的解析式为y=x-3
则Q点的坐标为（x，x-3）；
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB•OC+QP•BF+QP•OF
=×4×3+(−x2+3x)×3
=−(x−)2+
当x＝时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为(， −)，四边形ABPC的面积的最大值为．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3） 由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析 式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC 的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
27.【答案】 （1）解：∵抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x+1）（x﹣3），
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），
∴AB=4，OC=|﹣3a|=|3a|，
∵S△ABC=6，
∴ 12 AB•OC=6，
∴ 12 ×4×|3a|=6，
∴a=﹣1或a=1（舍），
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3
（2）解：由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3a），∴C（0，3），∴OB=3，OC=3，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO=∠OBC=45°，
∵点P为第一象限内抛物线上的一点，且∠PCB=45°，
∴PC∥OB，∴P点的纵坐标为3，
由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
令y=3，∴﹣x2+2x+3=3，∴x=0（舍）或x=2，∴P（2，3）
（3）解：如图2，过点P作PD⊥x轴交CQ于D，设P（3﹣m，﹣m2+4m）（0＜m＜1）；∵C（0，3），∴PC2=（3﹣m）2+（﹣m2+4m﹣3）2=（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]，∵点Q的横坐标比点P的横坐标大1，∴Q（4﹣m，﹣m2+6m﹣5），∵A（﹣1，0）．∴AQ2=（4﹣m+1）2+（﹣m2+6m﹣5）2=（m﹣5）2[（m﹣1）2+1]∵PC= 59 AQ，∴81PC2=25AQ2 ， ∴81（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]=25（m﹣5）2[（m﹣1）2+1]，∵0＜m＜1，∴[（m﹣1）2+1]≠0，∴81（m﹣3）2=25（m﹣5）2 ， ∴9（m﹣3）=±5（m﹣5），∴m= 12 或m= 267 （舍），∴P（ 52 ， 74 ），Q（ 72 ，﹣ 94 ），∵C（0，3），∴直线CQ的解析式为y=﹣ 32 x+3，∵P（ 52 ， 74 ），∴D（ 52 ，﹣ 34 ），∴PD= 74 + 34 = 52 ，
∴S△PCQ=S△PCD+S△PQD== 12 PD×xP+= 12 PD×（xQ﹣xP）== 12 PD×xQ== 12 × 52 × 72 = 358 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据抛物线与坐标的交点，表示出三角形的面积，解出a的值即可。
（2）根据题意得知△OBC是等腰直角三角形，由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，解出P点坐标。
（3）根据p点在抛物线上，设出P点坐标以及Q点坐标，根据81PC2=25AQ2 ， 得出m的值，表示出CQ的解析式，求得S△PCQ的面积。
28.【答案】 （1）证明：连接O′C，
∵CD是⊙O′的切线，
∴O′C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O′C∥AD，
∴∠O′CA=∠CAD，
∵O′A=O′C，
∴∠CAB=∠O′CA，
∴∠CAD=∠CAB；
（2）解：①∵AB是⊙O′的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴OCOA=OBOC ，
即OC2=OA•OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD=12 ，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC2=2CO（10-2CO），
解得CO1=4，CO2=0（舍去），
∴CO=4，AO=8，BO=2
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（-8，0），B（2，0），C（0，4），
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，
∴c=4，
由题意得：4a+2b+4=064a-8b+4=0 ，
解得：a=-14b=-32 ，
∴抛物线的解析式为：y=-14x2-32x+4；
②设直线DC交x轴于点F，
∴△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵O′C∥AD，
∴△FO′C∽△FAD，
∴O'FAF=O'CAD ，
∴O′F·AD=O′C·AF，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=103 ， F（163 ， 0）；
设直线DC的解析式为y=kx+m，
则，m=4163k+m=0
解得：，m=4k=-34
∴直线DC的解析式为y=-34x+4，
由y=-14x2-32x+4=-14（x+3）2+254得顶点E的坐标为（-3，254），
将E（-3，254）代入直线DC的解析式y=--34x+4中，
右边=-34×（-3）+4=254=左边，
∴抛物线顶点E在直线CD上；
（3）存在，P1（-10，-6），P2（10，-36）．
①∵A（-8，0），C（0，4），
∴过A、C两点的直线解析式为y=12x+4，
设过点B且与直线AC平行的直线解析式为：y=12x+b，把B（2，0）代入得b=-1，
∴直线PB的解析式为y=12x-1，
∴y=12x-1y=-14x2-32x+4 ，
解得x=-10y=-6,x=2y=0（舍去），
∴P1（-10，-6）．
②求P2的方法应为过点A作与BC平行的直线，
可求出BC解析式，进而求出与之平行的直线的解析式，
与求P1同法，可求出x1=-8，y1=0（舍去）；x2=10，y2=-36．
∴P2的坐标（10，-36）．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB；
（2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA•OB，又由tan∠CAO=tan∠CAD=12 ， 则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；
③根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案，小心漏解．
X
…
﹣1
2
3
…
Y
…
0
0
4
…
x
－1
0
1
3
y
－1
3
5
3
x
……
−1
0
1
3
……
y
……
0
3
4
0
……