高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系导学案

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系

1．异面直线

(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．

(2)异面直线的画法：

①　　　　　　②

2．空间两条直线的位置关系

思考：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？

[提示]　不一定．可能平行、相交或异面．

3．直线与平面的位置关系

思考：“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？

[提示]　不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．

4．两个平面的位置关系

1．不平行的两条直线的位置关系是(　　)

A．相交　　　　　　 B．异面

C．平行   D．相交或异面

D　[由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．]

2．直线a在平面γ外，则(　　)

A．a∥γ

B．a与γ至少有一个公共点

C．a∩γ＝A

D．a与γ至多有一个公共点

D　[直线a在平面γ外，则直线a与平面γ平行或相交，因此直线a与γ至多有一个公共点．]

3．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是(　　)

A．平行   B．相交

C．异面   D．不确定

B　[∵M∈平面α，M∈平面β，

∴α与β相交于过点M的一条直线．]

4．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是        ．

[答案]　平行

【例1】　如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：

①直线A1B与直线D1C的位置关系是        ；

②直线A1B与直线B1C的位置关系是        ；

③直线D1D与直线D1C的位置关系是        ；

④直线AB与直线B1C的位置关系是        ．

[思路探究]　

①平行　②异面　③相交　④异面　[根据题目条件知道直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”．所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”．]

1．判定两条直线平行或相交的方法

判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断．

2．判定两条直线是异面直线的方法

(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．

(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．

1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF(　　)

A．平行　　　　　　　 B．异面

C．相交   D．以上均有可能

B　[假设BE与CF是共面直线，设此平面为α，则E，F，B，C∈α，所以BF，CE⊂α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，与ABCD为空间四边形矛盾，所以BE与CF是异面直线．]

【例2】　(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(　　)

A．直线上所有的点都在平面外

B．直线上有无数多个点都在平面外

C．直线上有无数多个点都在平面内

D．直线上至少有一个点在平面内

(2)下列说法中，正确的个数是(　　)

①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；

②经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；

③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．

A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3

(1)B　(2)C　[(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．

(2)易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.]

直线与平面位置关系的判断

(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．

(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．

2．已知两平面α，β平行，且a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β无公共点．其中正确命题的个数是(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．0

B　[①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面直线；②正确；③根据定义a与β无公共点，正确．]

[探究问题]

1．若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？

[提示]　因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．

2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？

[提示]　不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an与平面β都平行，但此时α不平行于β，而α∩β＝l.

【例3】　(1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　)

A．平行   B．相交

C．平行或相交   D．不能确定

(2)完成下列作图：

①在图中画出一个平面与两个平行平面相交．

②在图中分别画出三个两两相交的平面．

(1)C　[逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．

]

(2)[解]　①如图所示，

 ②如图所示，

1．平面与平面的位置关系的判断方法：

(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．

(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．

2．常见的平面和平面平行的模型

(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；

(2)长方体的六个面中，三组相对面平行.

3．三个平面最多能把空间分为        部分，最少能把空间分成        部分．

8　4　[三个平面可将空间分成4,6,7,8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．]

4. 试画出相交于一点的三个平面．

[解]　如图所示(不唯一)．

1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．

2．空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式

3．判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法

(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断；

(2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果；

(3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，达到准确的判断位置关系的目的．

1．判断正误

(1)在空间中，直线不平行就意味着相交．(　　)

(2)直线在平面外是指直线与平面没有交点．(　　)

(3)两个平面相交的时候，一定交于一条直线．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

2．圆柱的两个底面的位置关系是(　　)

A．相交　　　　　 B．平行

C．平行或异面   D．相交或异面

B　[圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．]

3．下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.

其中错误命题的序号为        ．

①②　[①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．]

4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B与正方体六个面所在平面的关系．

[解]　根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．