初中数学沪科版八年级上册第12章 一次函数12.3 一次函数与二元一次方程教学设计

一次函数与二元一次方程

教学目标

【知识与技能】

1.学会用函数图象来解二元一次方程组.

2.通过学习,了解方程组的解在坐标平面内的意义.

【过程与方法】

1.经历探索、思考等教学活动和思维过程,发展学生的合情推理能力,能有条理地、清晰地阐述观点.

2.让学生体验数形结合的思想和解决问题的方法,提高解决问题的能力.

3.体会解决问题的多种途径,发散学生的思维,发展学生的创新能力和实践能力.

【情感、态度与价值观】

在探究过程中发展学生的合作交流意识和独立思考精神,增强学生对数学思维、数学方法的好奇心和兴趣.

重点难点

【重点】

用图象法解二元一次方程组.

【难点】

归纳用图象法解二元一次方程组的具体步骤.

教学过程

一、创设情境,导入新知

教师多媒体出示:

方程3x+2y=6的解有多少个?你能画出以这个方程的解为坐标的所有点组成的图形吗?

师:你能将方程3x+2y=6化成一次函数的形式吗?

生:能.

教师找一名学生板演,其余同学在下面做,最后订正得到方程3x+2y=6的一次函数形式是y=-x+3.

师:对于这个函数,前面我们讲过它的图象的画法,在画它的图象时,我们取两个满足这个关系式的点,但是不是上面的其余的点的坐标代入这个方程也是成立的呢?

学生思考.

教师多媒体出示:

　　学生填表.

师:对于表中每一对x、y的值代入方程3x+2y=6都成立,所以每组有序数对都是方程3x+2y=6的解.可见,二元一次方程3x+2y=6有无数多组解,以这些有序数对为坐标,请同学们在坐标平面内描点作图,就能得到二元一次方程3x+2y=6对应的函数图象.

学生描点作图,教师指导.

教师多媒体出示:

学生纠正.

师:由上可知,二元一次方程3x+2y=6的图象就是一次函数y=-x+3的图象,它是一条直线.

二、共同探究,获取新知

教师多媒体出示:

1.在平面直角坐标系内画出下列二元一次方程对应的图象:(1)x+y=0;(2)3x+y=6;(3)4x-5y+10=0.

师:我们平时画的是形如y=kx+b的一次函数的图象,对于上面这三种形式的图象应怎样画呢?

生:把它变成y=kx+b的形式,然后根据一次函数图象的画法来画.

师:很好!有没有其他方法来作出这些二元一次方程的图象呢?

生:不用变形,直接找出这条直线上两点的坐标.

师:你怎样找出这条直线上的两点呢?

生:对x取两个不同的值x1、x2分别代入等式,求出相应的两个y1、y2的值,这样得到的(x1,y1)(x2,y2)就是直线上不同的两点.

师:很好,现在请同学们从以上我们讨论得到的两种方法中选择一种作图.

学生作图,教师巡视指导,最后集体订正得到:

(1)x+y=0对应的函数图象为:

(2)3x+y=6对应的函数图象为:

(3)4x-5y+10=0对应的函数图象为:

2.下列有序数对,哪些是二元一次方程3x+y=6的解?

A(3,-3),B(6,-10),C(-3,15).

师:请大家判断一下.

生:A、C是,B不是.

师:对,你是怎样判断的呢?

生:把(3,-3)代入方程左边得3×3+(-3)=6,右边=6,左边=右边,所以A点的坐标是方程3x+y=6的解.把(6,-10)代入方程左边得3×6+(-10)=8,与方程右边不等,所以B点的坐标不是此方程的解.把(-3,15)代入方程左边,得3×(-3)+15=6,与方程右边相等,所以C点的坐标是此方程的解.

三、层层推进,深入探究

师:一般地,任何一个二元一次方程都可转化为一次函数的形式,所以每个二元一次方程的图象都是一条直线,这样,解二元一次方程组就转化为在平面直角坐标系里研究两条直线的交点问题了.现在请大家建立一个直角坐标系,并在这个坐标系中画出方程x+2y=2的图象l1与方程2x-y=-6的图象l2.

学生作图,教师巡视指导,要求作图要精确,因为图象的精确性直接影响结果.

师:它们是否交于一点?

生:是.

师:这个交点的坐标是多少?

生:(-2,2).

师:请大家检验一下它是否是方程组的解.

学生检验后回答:是.

师:为什么呢?

生:直线l1是方程x+2y=2的图象,因此,直线l1上任意一点的坐标都是方程x+2y=2的解;同理,直线l2上任意一点的坐标都是方程2x-y=-6的解.所以直线l1与l2的交点P的坐标是方程x+2y=2与2x-y=-6的公共解,也就是说,这个交点的坐标是二元一次方程组的解.

师:请同学们利用图象法解方程组

学生作图求解后回答,教师订正.

师:由上面的过程我们能总结出用图象法解二元一次方程组是这样一个过程:先在同一平面直角坐标系内画出每一个二元一次方程对应的直线,这两条直线若相交,其交点的坐标就是方程组的解.但是,二元一次方程组确定的两条直线是否必定会相交于一点呢?我们看看下面这个例子.

四、深入探究,强化理解

师:请同学们用图象法解方程组

学生作图.

师:你们作出的两个方程图象有什么关系?

生:两条直线互相重合.

师:这意味着什么呢?

学生小组讨论.

生:说明直线上每一个点的坐标都是原方程组的解,所以原方程组有无穷多组解.

师:对.大家再用图象法解这个方程组你们又有什么发现?

学生作图.

生:两条直线平行,它们没有交点.

师:这代表什么呢?

学生小组讨论.

生:这个方程组无解.

师:很好!通过上面几个例子和练习,我们可以得到二元一次方程组的解有三种情况.我们把方程组化成标准形式后,你比较一下两个方程中x的系数、y的系数与常数项的比,看它们的比值之间的关系对图象、方程组的解有什么影响?

学生讨论,教师参与.

生甲:如果x的系数之比与y的系数之比不相等,则两直线有一个交点,方程组有一组解.

生乙:如果x的系数之比与y的系数之比相等,但与常数项的比不等时,两直线没有交点,方程组无解.

生丙:如果x的系数之比、y的系数之比、常数项之比三者都相等,则两直线重合,方程组有无穷多组解.

师:同学们总结得很好.

教师板书得到的结论.

五、迁移巩固

师:请同学们把第53页练习做一下.

学生做题,然后集体订正.

(1)≠,所以方程组有一组解;

(2)原方程组可变形为

==,所以方程组有无数多组解;

(3)=≠,所以方程组无解:

(4)第二个方程可变形为:x-y=0.

≠,所以原方程组有一组解.

六、课堂小结

师:今天我们学习了什么内容?

生甲:学习了用图象法解二元一次方程组.

生乙:还学习了怎样根据二元一次方程组中的两个方程的系数关系判断方程组解的个数.

师:同学位回答得很好!你能说说怎样根据两个方程系数的关系来判断方程组解的个数吗?

学生回答,教师补充完善.

教学反思

通过本节课的学习,学生掌握了用图象法求解二元一次方程组的方法,这是用图象法解方程、不等式的延伸.学生通过观察、总结,自己得到怎样由x的系数之比、y的系数之比、常数项之比三者之间的关系与方程组的解的数量之间的联系,总结出规律,让他们享受探索求真的乐趣,培养发现问题、解决问题的能力.能力的培养,特别是创新能力的培养是新课程关注的焦点,能力培养是以自主探究为平台.“自主”不是一盘散沙,“探究”不是漫无边际,要提高探究的质量,必须在教师的引导下进行.