人教版九年级上册23.2.3 关于原点对称的点的坐标学案

第二十三章  旋转

23.2 中心对称

23.2.3  关于原点对称的点的坐标

学习目标：1.掌握两点关于原点对称时，横纵坐标的关系.

2.会在平面直角坐标系内作关于原点对称的图形.

3.进一步体会数形结合的思想.

重点：会在平面直角坐标系内作关于原点对称的图形.

难点：掌握两点关于原点对称时，横纵坐标的关系.

一、知识链接

1.下列各点分别在坐标平面的什么位置上？

A(3，2):_______________;  B(0，－2)_____________;

C(－3，－2):_______________;  D(－3，0):_______________; 

E(－1.5，3.5):_______________;  F(2，－3):_______________.

2.已知P(－3，2)，你能说出P关于x轴对称点A的坐标和关于y轴对称点B的坐标吗？并想一想点A与点B的位置关系是怎么样的？

二、要点探究

探究点1：关于原点对称的点的坐标

问题  如何确定平面直角坐标系中点A( 2，1 )关于原点对称的点A′坐标？

练一练：在直角坐标系中，作出下列点关于原点的对称点，并写出它们的坐标.

A(4，0)，B(0，－3)，C(2，1)， D(－1，2)， E(－3，－2)

思考  关于原点对称的两个点的坐标之间有什么关系？

知识要点  关于原点对称的点的坐标关系特点：横坐标、纵坐标都互为相反数，即：点

P(a，b)关于原点对称的点的坐标为P′(－a，－b)；点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为

P′(a，－b)；点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为P′(－a， b).

简记为：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”.

典例精析

例1  已知点P(2a+b，－3a)与点P'(8，b+2)关于原点对称，求a， b的值.

方法总结：关于原点对称的两个点横、纵坐标分别互为相反数，解题时可以直接根据此性质列方程(组)求解.

变式题：已知点P(1－a，2a－3)关于原点的对称点在第一象限，求a的取值范围.

方法总结：解决此类题目，通常求出该点关于原点的对称点的坐标，然后根据其所在的象限列不等式组解答.

练习 

1.完成下表.

探究点2：利用关于原点对称的点的坐标关系作图

例2  如图，利用关于原点对称的点的坐标特点，作出△ABC关于原点对称的图形.

方法归纳：作关于原点对称的图形的步骤：

(1)  写出图形顶点坐标；

(2) 写出图形顶点关于原点的对称点的坐标；

(3) 描点；

(4) 顺次连接；

(5) 下结论.

练一练：

在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，1)，B(-3，2)，

C(-1，1).

(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

(2)画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2.

三、课堂小结

1.点P（4，-7）关于x轴的对称点的坐标是_________，关于y轴的对称点的坐标是___________，关于原点的对称点的坐标是___________．

2.已知点A(1+a，1)和点B(5，b-1)是关于原点O的对称点，则a+b=_______．

3.在如图所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的编号为        　；关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为________．

4.已知点M(1－2m，m－1)关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(    )

5.   (1)如图,在直角坐标系中，分别描出点A，B，C关于原点O的对称点A1，B1，C1，写出点A1，B1，C1的坐标，并分别依次连接点A，B，C和点A1，B1，C1．

（2）描述△ABC和△A1B1C1各对应顶点坐标之间的关系;

（3）△A1B1C1是由△ABC经怎样的变化得到的？

6.如图，阴影部分组成的图案，既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O 成中心对称的图形．若点A的坐标是(1，3)，求点M 和点N 的坐标.

1. 第一象限     y轴上     第三象限     x轴上     第二象限     第四象限
2. 解：点A（－3,－2 ），点B（3，2）；点A与点B关于原点O对称.

课堂探究

:                    探究点1：

问题   解：根据中心对称的性质，对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分，可得OA=OA′，分别过点A、A′作x轴的垂线，构造直角三角形，利用全等可得出A′( －2，－1 ).

练一练：解：A、B、C、D、E的对称点分别为A′（－4，0），B′（0，3），C′（－2，－1），D′（1，－2），E′（3，2）（图略）.

思考   解：横坐标、纵坐标分别互为相反数.

典例精析

例1   解：由题意，得  解方程组，得           

变式题： 

解：点P关于原点的对称点P'的坐标为(a－1，3－2a).∵点P'在第一象限，∴

解得.

练习 

探究点2：

例2  图略

练一练  (1)图略  (2)图略

当堂检测

1. （4，7）   （-4，-7）   （-4，7）   2. -6    3. ①与②    ①与③    4. C

5.(1)图略.  (2)△ABC和△A1B1C1各对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.

(3)△A1B1C1是由△ABC绕着原点O旋转180°得到的．

6. M(－1,－3)   N(1,－3)