2020-2021学年2.1 直线的倾斜角与斜率导学案

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定

1.理解两条直线平行与垂直的条件.

2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.

重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件

难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直

一、自主导学

（一）、两条直线平行与斜率之间的关系

设两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k1,k2.则对应关系如下:

点睛：若没有指明l1,l2不重合,那么k1=k2⇔用斜率证明三点共线时,常用到这一结论.

（二）、两条直线垂直与斜率之间的关系

点睛：“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.

二、小试牛刀

1.对于两条不重合的直线l1,l2,“l1∥l2”是“两条直线斜率相等”的什么条件?

2.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x=　　　　　. 

3．思考辨析

(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．(　　)

(2)若l1∥l2，则k1＝k2.(　　)

(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(　　)

(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．(　　)

4.若直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是　　　　　. 

一、情境导学

   过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?

二、典例解析

例1 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行:

(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1);

(2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2);

(3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0);

(4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5).

延伸探究  已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,则m的值为　　　　　. 

判断两直线是否平行的步骤

例2(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;

(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.

                         两直线垂直的判定方法

     两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.

跟踪训练1  已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆,与x轴有交点P,则交点P的坐标是　　　　　. 

例3   如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.

延伸探究1 将本例中的四个点,改为“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.”

延伸探究2  将本例改为“已知矩形OPQR中四个顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.”

利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤

→

　↓

→

　↓

→

　↓

→

点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．

金题典例  已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四边形ABCD为直角梯形,求点D的坐标.

反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.

1．下列说法正确的是(　　)

A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2

B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1

C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴

D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行

2.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为(　　)

A. B.a C.- D.-或不存在

3.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为　　　　　. 

4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,

  则实数m=　　　　　. 

5.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,判断四边形ABCD形状.

参考答案：

知识梳理

二、小试牛刀

1.答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平行,有可能两直线斜率均不存在.

2.解析:由题意知l1⊥x轴.又l1∥l2,所以l2⊥x轴,故x=2.

答案:2

3．答案：　(1)×　也可能重合．(2)×　l1∥l2，其斜率不一定存在．

(3)×　不一定垂直，只有另一条直线斜率为0时才垂直．(4)√

4.解析:由根与系数的关系,知k1k2=-1,所以l1⊥l2.

答案:l1⊥l2

学习过程

例1 思路分析: 斜率存在的直线求出斜率,利用l1∥l2⇔k1=k2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.

解:(1)k1==1,k2=,k1≠k2,l1与l2不平行.

(2)k1=1,k2==1,k1=k2,

故l1∥l2或l1与l2重合.

(3)k1==-1,k2==-1,则有k1=k2.

又kAM==-2≠-1,

则A,B,M不共线.故l1∥l2.

(4)由已知点的坐标,得l1与l2均与x轴垂直且不重合,故有l1∥l2.

延伸探究  解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;

当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线AB的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;

当m≠-2,且m≠-1时,kAB=,

kMN=.

因为AB∥MN,所以kAB=kMN,

即,解得m=0或m=1.

当m=0或1时,由图形知,两直线不重合.

综上,m的值为0或1.

答案:0或1

例2思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.

(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.

解:(1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.

(2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在.

当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,

则l1⊥l2,满足题意.

当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,得k1=,k2=.

由l1⊥l2,知k1k2=-1,即×=-1,解得a=0.

综上所述,a的值为0或5.

跟踪训练1 解析:设以AB为直径的圆与x轴的交点为P(x,0).

∵kPB≠0,kPA≠0,∴kPA·kPB=-1,

即=-1,

∴(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0,

解得x=1或x=2.故点P的坐标为(1,0)或(2,0).

答案:(1,0)或(2,0)

例3 思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.

解:由斜率公式得kOP==t,

kRQ==t,kOR==-,

kPQ==-.所以kOP=kRQ,kOR=kPQ,

从而OP∥RQ,OR∥PQ.

所以四边形OPQR为平行四边形.

又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR,

故四边形OPQR为矩形.

延伸探究1 由斜率公式可得kAB=,kCD=,kAD==-3,kBC==-.

所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,

所以AB∥CD,由kAD≠kBC,所以AD与BC不平行.

又因为kAB·kAD=×(-3)=-1,

所以AB⊥AD,故四边形ABCD为直角梯形.

解:由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图,

延伸探究2  解:因为OPQR为矩形,所以OQ的中点也是PR的中点.

设R(x,y),则由中点坐标公式知

解得所以R点的坐标是(-2t,2).

金题典例 思路分析:分析题意可知,AB、BC都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD是直角梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D的坐标为(x,y),若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,根据已知可得kBC=0,CD的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据kAD=kBC即可得到关于x、y的方程,结合x的值即可求出y,那么点D的坐标便不难确定了,同理再分析AD是直角梯形的直角边的情况.

解:设所求点D的坐标为(x,y),如图所示,由于kAB=3,kBC=0,

则kAB·kBC=0≠-1,即AB与BC不垂直,故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.

①若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,

∵kBC=0,∴CD的斜率不存在,从而有x=3.

又∵kAD=kBC,∴=0,即y=3.此时AB与CD不平行.

故所求点D的坐标为(3,3).

②若AD是直角梯形的直角边,

则AD⊥AB,AD⊥CD,kAD=,kCD=.

由于AD⊥AB,则·3=-1.

又AB∥CD,∴=3.

解上述两式可得此时AD与BC不平行.

故所求点D的坐标为.

综上可知,使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或.

达标检测

1． 解析：A中，l1与l2可能重合；B中，l1，l2可能存在其一没斜率；C中，直线也可能与y轴重合；D正确，选D.

答案   D

2. 解析:若a≠0,则l2的斜率为-;若a=0,则l2的斜率不存在.

答案:D

3.解析:由题意,得=1,即a=4.

答案:4

4.解析:设直线AD,BC的斜率分别为kAD,kBC,由题意,得AD⊥BC,

则有kAD·kBC=-1,所以有=-1,解得m=.

答案:

5.解:kAB=,kBC=-,kCD=,kAD=-3, 所以直线AD垂直于直线AB与CD,而且直线BC不平行于任何一条直线,所以四边形ABCD是直角梯形.