必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用课后作业题

这是一份必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用课后作业题，共12页。试卷主要包含了与图中曲线对应的函数解析式是等内容，欢迎下载使用。


(15分钟 30分)
1.函数y=-2sin的周期、振幅、初相分别是( )
A.2π，-2，B.4π，-2，
C.2π，2，-D.4π，2，-
【解析】选D.y=-2sin
=2sin，所以周期T==4π，振幅A=2，初相φ=-.
【补偿训练】已知简谐运动f(x)=2sin的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A.T=6，φ=B.T=6，φ=
C.T=6π，φ=D.T=6π，φ=
【解析】选A.由题意知T==6.由f(x)的图象过点(0，1)知sin φ=，因为|φ|≤，所以φ=.
2.电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图所示，则t为s时的电流强度为( )
A.0 AB.-5 A
C.10 AD.-10 A
【解析】选A.由图象知A=10，
T=2×=，所以ω==100π.
因为图象过，
所以10=10sin，
即sin=1且0<φ<，
所以+φ=，故φ=.
所以I=10sin，
当t=时，I=10sin
=10sin 6π=0(A).
3.与图中曲线对应的函数解析式是( )
A.y=|sin x|B.y=sin |x|
C.y=-sin |x|D.y=-|sin x|
【解析】选C.注意题图所对的函数值有正有负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin |x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B.
4.国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P=Asin+60(t(天)，P(美元)，A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150天时达到最低油价，则ω的最小值为_____.
【解析】因为Asin+60=80，
-1≤sin≤1，
所以A=20，当t=150天时达到最低油价，
即sin=-1，
此时150ωπ+=2kπ-，k∈Z，
因为ω>0，所以当k=1时，ω取最小值，
所以150ωπ+=π，解得ω=.
答案：
5.如图所示，某动物种群数量1月1日最少，值为700，7月1日最多，值为900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式.(其中t以年初以来的月为计量单位，如t=1表示2月1日)
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
【解析】(1)设种群数量y关于t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+b
(A>0，ω>0，|φ|<π)，则
解得A=100，b=800.
又周期T=2×(6-0)=12，所以ω==，
所以y=100sin+800.
又当t=6时，y=900，
所以900=100sin+800，
所以sin(π+φ)=1，所以sin φ=-1，
因为|φ|<π，
所以φ=-，
所以y=100sin+800.
(2)当t=2时，y=100sin+800=750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将处于图中( )
A.甲点B.乙点C.丙点D.丁点
【解析】选D.与乙点的位置相差周期的点为丁点.
2.如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2，则有( )
A.ω=，A=3B.ω=，A=3
C.ω=，A=5D.ω=，A=5
【解析】选A.由题目可知最大值为5，所以5=A×1+2⇒A=3.T=15，则ω=.
3.(2020·聊城高一检测)已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系式为( )
A.y=sin，(t≥0)
B.y=sin，(t≥0)
C.y=-cs，(t≥0)
D.y=-cs，(t≥0)
【解析】选A.由题意，知圆心角∠POP0的弧度数为t·1=t，则∠POx的弧度数为t-，则由任意角的三角函数的定义，知点P的纵坐标y=
sin，t≥0.
【补偿训练】
函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( )
A.f(x)=x+sin x
B.f(x)=
C.f(x)=xcs x
D.f(x)=x
【解析】选C.观察图象知函数为奇函数，排除D项；又函数在x=0处有意义，排除B项；取x=，f=0，A项不合适.
4.如图是函数y=sin x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合).设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是( )
【解析】选A.当x∈时，f(x)=π-2x；当x∈时，f(x)=2x-π.
【误区警示】此题中选项CD很容易排除，问题往往出在选项AB上，当点A在y=sin x(0≤x≤π)上运动时，很多同学想当然认为f(x)的图象为曲线，故选择了B项，其实因为点A的横坐标为x，所以f(x)=π-2x或f(x)=2x-π.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5.如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A.该质点的运动周期为0.8 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
【解析】选ABD.由题干图可知，=0.7-0.3=0.4，所以T=0.8；最小值为-5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0.
6.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度为3米的时间可能是( )
A.7B.13C.14D.19
【解析】选AD.根据题图设h=Asin(ωt+φ)，则A=6，T=12，=12，所以ω=，点(6，0)为“五点”作图法中的第一个点，所以×6+φ=0，所以φ=-π，
所以h=6·sin=-6sin t，t∈.分别代入选择项验证得选项AD符合题意，13时和14时水面高度不为3米.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.一种波的波形为函数y=-sin x的图象，若其在区间上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是_______.
【解题指南】根据题意，函数y=-sin x在区间上至少有两个最大值.
【解析】函数y=-sin x的周期T=4.且x=3时，y=1取得最大值，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.
答案：7
8.振动量函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的初相和频率分别为-π和，则它的运动周期为_______，相位是_______.
【解析】因为频率f=，所以T==，所以ω==3π.所以相位ωx+φ=3πx-π.
答案： 3πx-π
四、解答题(每小题10分，共20分)
9.已知弹簧挂着的小球上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h=3sin.
(1)求小球开始振动的位置；
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标.
【解析】(1)令t=0，得h=3sin =，所以开始振动的位置为.
(2)由题意知，当h=3时，t的最小值为，即所求最高点为；当h=-3时，t的最小值为，即所求最低点为.
10.为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①各年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备不少于400份的食物？
【解析】(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)-f(2)=400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在上单调递增，且f(2)=100，所以f(8)=500.
根据上述分析可得，=12，故ω=，
且解得
根据分析可知，当x=2时，f(x)最小，当x=8时，f(x)最大，
故sin=-1，且sin=1.
又因为0<|φ|<π，故φ=-.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin+300.
(2)由条件可知，200sin+300≥400，
化简得：sin≥，
即2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z，
解得12k+6≤x≤12k+10，k∈Z.
因为x∈N*，且1≤x≤12，故x=6，7，8，9，10.
故只有6，7，8，9，10五个月份要准备不少于400份的食物.
1.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f(l)的图象大致是( )
【解析】选C.令所对圆心角为θ，由|OA|=1，得l=θ，sin =，
所以d=2sin =2sin ，
即d=f(l)=2sin (0≤l≤2π)，它的图象为C.
【补偿训练】
已知函数y=sin ax+b(a>0且a≠1)的图象如图所示，则函数y=lga(x+b)的图象可能是( )
【解析】选C.由函数y=sin ax+b的图象可得02π-π，所以02.如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段OD是函数y=k(k>0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈)的图象，图象的最高点为B，且DF⊥OC，垂足为点F.
(1)求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式；
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积.
【解析】(1)由图象，可知A=，ω===，
将B代入y=sin中，
得+φ=2kπ+(k∈Z)，即φ=2kπ-(k∈Z).
因为|φ|<，所以φ=-，
故y=sin，x∈[4，8].
(2)在y=sin中，
令x=4，得D(4，4)，从而得曲线OD的方程为y=2(0≤x≤4)，则P，
所以矩形PMFE的面积为S=×=，即儿童乐园的面积为.
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