湘教版（2019）选择性必修 第一册第2章 平面解析几何初步2.2 直线的方程学案

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册第2章 平面解析几何初步2.2 直线的方程学案，共6页。学案主要包含了易错警示等内容，欢迎下载使用。

(1)掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围．
(2)了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 直线的两点式方程
把过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程________________________称为直线的两点式方程，简称两点式．
如果直线既不平行于x轴也不平行于y轴，则x2≠x1且y2≠y1，两点式方程可以写成＝.
要点二 直线的截距式方程
方程______________由直线在两个坐标轴上的截距a和b确定，称为直线的截距式方程❷.
要点三 线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则
批注❶ 两点式方程不必记忆，可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率，再用点斜式写出方程．
批注❷ 截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)给定两点A(x1，y1)，B(x2，y2)就可以用两点式写出直线方程．( )
(2)方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的适用范围相同．( )
(3)截距相等的直线都可以用方程＝1表示.( )
(4)不经过原点的直线都可以用＝1表示．( )
2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
3．过(1，2)，(5，3)的直线方程是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
4.
如图，直线l的截距式方程是＝1，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
5．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 直线的两点式方程
例1 (1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________；
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．
方法归纳
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断两点的连线是否垂直于坐标轴，再考虑是否用两点式求方程．
巩固训练1 (1)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程是( )
A．x－y－5＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－5＝0 D．x＋y－1＝0
(2)已知点P(x，2)在过M(－2，1)和N(3，－4)两点的直线上，则x的值是________．
题型2 直线的截距式方程
例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
方法归纳
截距式方程应用的注意事项
1．如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
2．选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
3．要注意截距式直线方程的逆向应用．
巩固训练2 求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．
题型3 直线的两点式、截距式与中点坐标公式的综合应用
例3 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的中线AD所在直线的方程．
方法归纳
先由中点坐标公式求出所求边的中点，再由两点式或截距式求得所求直线方程．
巩固训练3 已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0)．
(1)求边AB所在直线的方程；
(2)求边AC上的中线BD所在直线的方程．
易错辨析 忽视截距为零引发的错误
例4 求过点M(3，2)，且在x、y轴上的截距相等的直线方程．
解析：当在x、y轴上的截距均为零时，
所求直线的方程为y＝x.
当在x、y轴上的截距均不为零时，可设直线的方程为＝1，
把点M(3，2)代入得，a＝5，故所求的直线方程为x＋y＝5.
综上知所求直线的方程为y＝x或x＋y＝5.
【易错警示】
2．2.2 直线的两点式方程
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
要点二
＝1
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．
由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．
答案：B
3．解析：因为所求直线过点(1，2)，(5，3)，
所以＝，即＝.
答案：B
4．解析：M(a，0)，N(0，b)，由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，所以a＞0，b＜0.
答案：B
5．解析：直线方程为＝，化为截距式为＝1，则在x轴上的截距为－.
答案：－
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.
(2)由直线方程的两点式得
＝，即＝.
∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，
∵点P(3，m)在直线AB上，
则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
答案：(1)x＝2 (2)－2
巩固训练1 解析：(1)由已知得直线的两点式方程为＝，即x＋y－1＝0.
(2)过M，N两点的直线的方程为＝，
又P(x，2)在此直线上，
所以当y＝2时，x＝－3.
答案：(1)D (2)－3
例2 解析：方法一 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＝1.
∵点(4，－3)在直线上，
∴＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
方法二 设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，
令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|－4k－3|＝||，
解得k＝1或k＝－1或k＝－.
∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
巩固训练2 解析：由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，
直线l的方程为y＝x；
当直线l在坐标轴上的截距不为零时，
设l的方程为＝1，
将点(5，2)代入方程得＝1，
解得a＝，
所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.
综上知，所求直线l的方程为y＝x，或x＋2y－9＝0.
例3 解析：(1)∵B(2，1)，C(－2，3)，
∴由两点式得BC所在直线的方程为＝，即x＋2y－4＝0.
(2)易得BC边的中点D的坐标为(0，2)．
∵BC边的中线AD过点A(－3，0)，D(0，2)，
∴由截距式得AD所在直线的方程为＝1，
即2x－3y＋6＝0.
巩固训练3 解析：(1)由两点式得边AB所在直线的方程为＝，即x＋y－4＝0.
(2)由题意，得点D的坐标为(－4，2)，
由两点式，得BD所在直线的方程为＝，即2x－y＋10＝0.
出错原因
纠错心得
忽视了截距为零的情况，直接由＝1得直线方程产生了漏解．
“截距相等”包含两层意思，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，而后者常被忽视，造成漏解，因此对于此类题目，也要分类讨论．