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    2022年高中数学新教材人教A版必修第一册学案第三章 章末检测试卷(三)
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    人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试导学案

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试导学案,共8页。学案主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    章末检测试卷(三)
    (时间:120分钟 满分:150分)
    一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
    1.函数y=+的定义域为(  )
    A. B.
    C. D.∪(0,+∞)
    答案 B
    解析 由解得-≤x≤,
    所以函数y=+的定义域为.
    2.下列所示的图形中,可以作为函数y=f(x)的图象的是(  )


    答案 D
    解析 作直线x=a与曲线相交,由函数的概念可知,定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值,∴y是x的函数,那么直线x=a移动中始终与曲线只有一个交点,于是可排除A,B,C,只有D符合.
    3.已知f =2x+3,则f(6)的值为(  )
    A.15 B.7 C.31 D.17
    答案 C
    解析 令-1=t,则x=2t+2.
    将x=2t+2代入f =2x+3,
    得f(t)=2(2t+2)+3=4t+7.
    所以f(x)=4x+7,所以f(6)=4×6+7=31.
    4.幂函数的图象过点,则它的单调递增区间是(  )
    A.(0,+∞) B.[0,+∞)
    C.(-∞,0) D.(-∞,+∞)
    答案 C
    解析 设幂函数y=xα,则2α=,解得α=-2,
    所以y=x-2,
    故函数y=x-2的单调递增区间是(-∞,0).
    5.已知函数f(x)=ax3+bx(a≠0)满足f(-3)=3,则f(3)等于(  )
    A.2 B.-2 C.-3 D.3
    答案 C
    解析 ∵f(-x)=a(-x)3+b(-x)=-(ax3+bx)=-f(x),
    ∴f(x)为奇函数,
    ∴f(3)=-f(-3)=-3.
    6.若函数f(x)=x3(x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是(  )
    A.单调递减的奇函数 B.单调递增的偶函数
    C.单调递减的偶函数 D.单调递增的奇函数
    答案 A
    解析 方法一 (数形结合法):
    先画出f(x)=x3的图象,再将其关于y轴对称,得到y=f(-x)的图象如图,由图象得y=f(-x)为减函数,由图象关于原点对称得f(-x)为奇函数.

    方法二 (直接法):因为f(x)=x3,
    所以f(-x)=-x3,
    所以y=-x3是单调递减的奇函数.
    7.若函数f(x)=ax2+(a-2b)x+a-1是定义在(-a,0)∪(0,2a-2)上的偶函数,则f 等于(  )
    A.1 B.3 C. D.
    答案 B
    解析 因为偶函数的定义域关于原点对称,
    则-a+2a-2=0,解得a=2.又偶函数不含奇次项,
    所以a-2b=0,即b=1,所以f(x)=2x2+1,
    所以f =f(1)=3.
    8.已知函数f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x<0时,函数的图象如图所示,则不等式xf(x)<0的解集是(  )

    A.(-2,-1)∪(1,2)
    B.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞)
    C.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,2)
    D.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞)
    答案 D
    解析 当x>0时,f(x)<0,又图象关于原点对称,
    ∴x∈(0,1)∪(2,+∞);当x<0时,f(x)>0,
    ∴x∈(-∞,-2)∪(-1,0).
    二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
    9.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列说法正确的有(  )
    A.f(0)=0
    B.若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值1
    C.若f(x)在[1,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,-1]上单调递减
    D.F(x)=f(x)|f(x)|是偶函数
    答案 AB
    解析 A中f(0)=0正确;因为奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性,所以B正确;C不正确;F(-x)=f(-x)|f(-x)|=-f(x)|f(x)|=-F(x),所以F(x)=f(x)|f(x)|是奇函数.
    10.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0),…,求证:这个二次函数的图象关于直线x=2对称.根据现有信息,题中的二次函数可能具有的性质是(  )
    A.在x轴上截得的线段的长度是2
    B.与y轴交于点(0,3)
    C.顶点是(-2,-2)
    D.过点(3,0)
    答案 ABD
    解析 由已知得解得b=-4a,c=3a,
    所以二次函数为y=a(x2-4x+3),其顶点的横坐标为2,
    所以顶点一定不是(-2,-2).
    11.若函数f(x)同时满足:
    ①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;
    ②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有<0,
    则称函数f(x)为“理想函数”.
    下列函数中的“理想函数”有(  )
    A.f(x)= B.f(x)=x2
    C.f(x)= D.f(x)=
    答案 CD
    解析 ①要求函数f(x)为奇函数,②要求函数f(x)为减函数.选项A中的函数是奇函数但在整个定义域上不是减函数,选项B中的函数是偶函数而且也不是减函数,选项C和D中的函数既是奇函数又是减函数.
    12.已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R),给出下列命题,其中是真命题的是(  )
    A.若a2-b≤0,则f(x)在区间[a,+∞)上单调递增
    B.存在a∈R,使得f(x)为偶函数
    C.若f(0)=f(2),则f(x)的图象关于x=1对称
    D.若a2-b-2>0,则函数f(x)的图象与函数y=2的图象有两个交点
    答案 AB
    解析 对于选项A,若a2-b≤0,则f(x)=|(x-a)2+b-a2|=(x-a)2+b-a2在区间[a,+∞)上单调递增,故A正确;
    对于选项B,当a=0时,f(x)=|x2+b|显然是偶函数,故B正确;
    对于选项C,取a=0,b=-2,函数f(x)=|x2-2ax+b|化为f(x)=|x2-2|,满足f(0)=f(2),但f(x)的图象关于x=1不对称,故C错误;
    对于选项D,如图所示,a2-b-2>0,即为b-a2<-2,即a2-b>2,

    则函数f(x)的图象与函数y=2的图象有4个交点,故D错误.
    三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    13.已知函数f(x)是奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2+mx,则x∈(0,+∞)时,f(x)=________.若f(2)=-3,则m的值为________.(本题第一空3分,第二空2分)
    答案 -x2+mx 
    解析 令x>0,则-x<0,
    f(-x)=(-x)2+m(-x)=x2-mx,又函数f(x)是奇函数,
    所以f(x)=-f(-x)=-x2+mx,因为f(2)=-3,
    所以-22+2m=-3,解得m=.
    14.观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题:

    梯形个数
    1
    2
    3
    4
    5

    图形周长
    5
    8
    11
    14
    17


    当梯形个数为n时,这时图形的周长l与n的函数解析式为________________.
    答案 l=3n+2(n∈N*)
    解析 由表格可推算出两变量的关系,或由图形观察知,周长与梯形个数关系为l=3n+2(n∈N*).
    15.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为________.
    答案 -
    解析 函数y=|x-a|-1的图象如图所示,

    因为直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,
    故2a=-1,解得a=-.
    16.若f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上单调递减,设f =m,f =n,则m,n的大小关系是________.
    答案 m≥n
    解析 因为a2+2a+=(a+1)2+≥,
    又f(x)在[0,+∞)上单调递减,
    所以f ≤f =f .
    四、解答题(本大题共6小题,共70分)
    17.(10分)已知函数f(x)=
    (1)求f(-3),f(1)的值;
    (2)若f(x)=16,求x的值.
    解 (1)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9.
    (2)若x≥1,则(x+2)2=16,
    解得x=2或x=-6(舍去).
    若x<1,则x2+2=16,
    解得x=(舍去)或x=-.
    综上,可得x=2或x=-.
    18.(12分)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|(x∈R),
    (1)证明:函数f(x)是偶函数;
    (2)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数,然后画出函数图象;
    (3)写出函数的值域.
    (1)证明 由于函数定义域是R,
    且f(-x)=|-x-1|+|-x+1|
    =|x+1|+|x-1|=f(x).
    ∴f(x)是偶函数.
    (2)解 f(x)=图象如图所示.

    (3)解 由函数图象知,函数的值域为[2,+∞).
    19.(12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数,且f(f(x))=9x-2.
    (1)求f(x);
    (2)求函数y=f(x)+x2-x在x∈[-1,a]上的最大值.
    解 (1)由题意可设f(x)=kx+b(k<0),
    由于f(f(x))=9x-2,则k2x+kb+b=9x-2,
    故解得故f(x)=-3x+1.
    (2)由(1)知,函数y=-3x+1+x2-x
    =x2-4x+1=(x-2)2-3,
    故函数y=x2-4x+1的图象开口向上,对称轴为x=2,
    当-1 当a>5时,y的最大值是a2-4a+1,
    综上,ymax=
    20.(12分)已知函数y=f(x)(x≠0)对于任意的x,y∈R且x,y≠0都满足f(xy)=f(x)+f(y).
    (1)求f(1),f(-1)的值;
    (2)判断函数y=f(x)(x≠0)的奇偶性.
    解 (1)因为对于任意的x,y∈R且x,y≠0都满足f(xy)=f(x)+f(y),
    所以令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),
    所以f(1)=0,令x=y=-1,
    得f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0.
    (2)由题意可知,函数y=f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
    令y=-1,得f(xy)=f(-x)=f(x)+f(-1),
    因为f(-1)=0,所以f(-x)=f(x),
    所以y=f(x)(x≠0)为偶函数.
    21.(12分)已知函数f(x)=|x-a|-+a,x∈[1,6],a∈R.
    (1)若a=1,试判断并用定义证明f(x)的单调性;
    (2)若a=8,求f(x)的值域.
    解 (1)当a=1时,f(x)=x-.
    任取x1,x2∈[1,6],且x1 则f(x2)-f(x1)=x2--x1+
    =(x2-x1)-=(x2-x1)>0,
    ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在[1,6]上单调递增.
    (2)当a=8时,f(x)=|x-8|-+8
    =8-x-+8=16-.
    令t=x+,
    ∵x∈[1,6],∴t∈[6,10],∴f(x)=16-t∈[6,10],
    ∴f(x)的值域为[6,10].
    22.(12分)在对口扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定该店经营的利润,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中有:
    ①这种消费品的进价每件14元;②该店月销售量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支2 000元.

    (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?求最大余额;
    (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?
    解 设该店月利润余额为L,
    则由题意得L=Q(P-14)×100-3 600-2 000,①
    由销售图易得:Q=
    代入①式得
    L=
    (1)当14≤P≤20时,Lmax=450元,这时P=19.5元,
    当20 故当P=19.5元时,月利润余额最大为450元.
    (2)设可在n年后脱贫,
    依题意有12n×450-50 000-58 000≥0,
    解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫.
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