人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试导学案，共8页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末检测试卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．函数y＝＋的定义域为(　　)
A. B.
C. D.∪(0，＋∞)
答案　B
解析　由解得－≤x≤，
所以函数y＝＋的定义域为.
2．下列所示的图形中，可以作为函数y＝f(x)的图象的是(　　)


答案　D
解析　作直线x＝a与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，∴y是x的函数，那么直线x＝a移动中始终与曲线只有一个交点，于是可排除A，B，C，只有D符合．
3．已知f ＝2x＋3，则f(6)的值为(　　)
A．15 B．7 C．31 D．17
答案　C
解析　令－1＝t，则x＝2t＋2.
将x＝2t＋2代入f ＝2x＋3，
得f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7.
所以f(x)＝4x＋7，所以f(6)＝4×6＋7＝31.
4．幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
答案　C
解析　设幂函数y＝xα，则2α＝，解得α＝－2，
所以y＝x－2，
故函数y＝x－2的单调递增区间是(－∞，0)．
5．已知函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)满足f(－3)＝3，则f(3)等于(　　)
A．2 B．－2 C．－3 D．3
答案　C
解析　∵f(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－(ax3＋bx)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∴f(3)＝－f(－3)＝－3.
6．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是(　　)
A．单调递减的奇函数 B．单调递增的偶函数
C．单调递减的偶函数 D．单调递增的奇函数
答案　A
解析　方法一　(数形结合法)：
先画出f(x)＝x3的图象，再将其关于y轴对称，得到y＝f(－x)的图象如图，由图象得y＝f(－x)为减函数，由图象关于原点对称得f(－x)为奇函数．

方法二　(直接法)：因为f(x)＝x3，
所以f(－x)＝－x3，
所以y＝－x3是单调递减的奇函数．
7．若函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a,0)∪(0,2a－2)上的偶函数，则f 等于(　　)
A．1 B．3 C. D.
答案　B
解析　因为偶函数的定义域关于原点对称，
则－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，
所以a－2b＝0，即b＝1，所以f(x)＝2x2＋1，
所以f ＝f(1)＝3.
8.已知函数f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，函数的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集是(　　)

A．(－2，－1)∪(1,2)
B．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)
D．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　当x>0时，f(x)<0，又图象关于原点对称，
∴x∈(0,1)∪(2，＋∞)；当x<0时，f(x)>0，
∴x∈(－∞，－2)∪(－1,0)．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的有(　　)
A．f(0)＝0
B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1
C．若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，－1]上单调递减
D．F(x)＝f(x)|f(x)|是偶函数
答案　AB
解析　A中f(0)＝0正确；因为奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性，所以B正确；C不正确；F(－x)＝f(－x)|f(－x)|＝－f(x)|f(x)|＝－F(x)，所以F(x)＝f(x)|f(x)|是奇函数．
10．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　)
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0,3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3,0)
答案　ABD
解析　由已知得解得b＝－4a，c＝3a，
所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，
所以顶点一定不是(－2，－2)．
11．若函数f(x)同时满足：
①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；
②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，
则称函数f(x)为“理想函数”．
下列函数中的“理想函数”有(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝ D．f(x)＝
答案　CD
解析　①要求函数f(x)为奇函数，②要求函数f(x)为减函数．选项A中的函数是奇函数但在整个定义域上不是减函数，选项B中的函数是偶函数而且也不是减函数，选项C和D中的函数既是奇函数又是减函数．
12．已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是(　　)
A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上单调递增
B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数
C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称
D．若a2－b－2>0，则函数f(x)的图象与函数y＝2的图象有两个交点
答案　AB
解析　对于选项A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞)上单调递增，故A正确；
对于选项B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|显然是偶函数，故B正确；
对于选项C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|化为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象关于x＝1不对称，故C错误；
对于选项D，如图所示，a2－b－2>0，即为b－a2<－2，即a2－b>2，

则函数f(x)的图象与函数y＝2的图象有4个交点，故D错误．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx，则x∈(0，＋∞)时，f(x)＝________.若f(2)＝－3，则m的值为________．(本题第一空3分，第二空2分)
答案　－x2＋mx　
解析　令x>0，则－x<0，
f(－x)＝(－x)2＋m(－x)＝x2－mx，又函数f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋mx，因为f(2)＝－3，
所以－22＋2m＝－3，解得m＝.
14．观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题：

梯形个数
1
2
3
4
5
…
图形周长
5
8
11
14
17
…

当梯形个数为n时，这时图形的周长l与n的函数解析式为________________．
答案　l＝3n＋2(n∈N*)
解析　由表格可推算出两变量的关系，或由图形观察知，周长与梯形个数关系为l＝3n＋2(n∈N*)．
15．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
答案　－
解析　函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，

因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，
故2a＝－1，解得a＝－.
16．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上单调递减，设f ＝m，f ＝n，则m，n的大小关系是________．
答案　m≥n
解析　因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以f ≤f ＝f .
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝
(1)求f(－3)，f(1)的值；
(2)若f(x)＝16，求x的值．
解　(1)f(－3)＝(－3)2＋2＝11；f(1)＝(1＋2)2＝9.
(2)若x≥1，则(x＋2)2＝16，
解得x＝2或x＝－6(舍去)．
若x<1，则x2＋2＝16，
解得x＝(舍去)或x＝－.
综上，可得x＝2或x＝－.
18．(12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)，
(1)证明：函数f(x)是偶函数；
(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；
(3)写出函数的值域．
(1)证明　由于函数定义域是R，
且f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|
＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)解　f(x)＝图象如图所示．

(3)解　由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞)．
19．(12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝9x－2.
(1)求f(x)；
(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值．
解　(1)由题意可设f(x)＝kx＋b(k<0)，
由于f(f(x))＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2，
故解得故f(x)＝－3x＋1.
(2)由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x
＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，
故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2，
当－1 当a>5时，y的最大值是a2－4a＋1，
综上，ymax＝
20．(12分)已知函数y＝f(x)(x≠0)对于任意的x，y∈R且x，y≠0都满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)判断函数y＝f(x)(x≠0)的奇偶性．
解　(1)因为对于任意的x，y∈R且x，y≠0都满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，
所以令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，
所以f(1)＝0，令x＝y＝－1，
得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0.
(2)由题意可知，函数y＝f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
令y＝－1，得f(xy)＝f(－x)＝f(x)＋f(－1)，
因为f(－1)＝0，所以f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)(x≠0)为偶函数．
21．(12分)已知函数f(x)＝|x－a|－＋a，x∈[1,6]，a∈R.
(1)若a＝1，试判断并用定义证明f(x)的单调性；
(2)若a＝8，求f(x)的值域．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝x－.
任取x1，x2∈[1,6]，且x1 则f(x2)－f(x1)＝x2－－x1＋
＝(x2－x1)－＝(x2－x1)>0，
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在[1,6]上单调递增．
(2)当a＝8时，f(x)＝|x－8|－＋8
＝8－x－＋8＝16－.
令t＝x＋，
∵x∈[1,6]，∴t∈[6,10]，∴f(x)＝16－t∈[6,10]，
∴f(x)的值域为[6,10]．
22．(12分)在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定该店经营的利润，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：
①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．

(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
解　设该店月利润余额为L，
则由题意得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①
由销售图易得：Q＝
代入①式得
L＝
(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，这时P＝19.5元，
当20 故当P＝19.5元时，月利润余额最大为450元．
(2)设可在n年后脱贫，
依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，
解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫．