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2021年四川省宜宾市中考数学模拟试卷 解析版
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这是一份2021年四川省宜宾市中考数学模拟试卷 解析版，共29页。
2021年四川省宜宾市中考数学模拟试卷
一．选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）（共48分）
1．（4分）的倒数是（ ）
A． B．﹣2021 C．2021 D．﹣
2．（4分）2020年2月3日，国家卫生健康委副主任在国务院应对新型冠状病毒感染的肺炎疫情联防联控机制举行的新闻发布会上表示，国家在政策和经费方面支持做好新型冠状病毒肺炎疫情防控相关工作截至该日，国家已拨款665.3亿元，用于疫情防控．将665.3亿用科学记数法表示为（ ）
A．665.3×108 B．6.653×102 C．6.653×1010 D．6.653×109
3．（4分）如图是由小正方体搭成的几何体的俯视图，其上的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a2）5＝（﹣a5）2
C．（a3b2）3＝a6b5 D．a2•a3＝a6
5．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）4月23日为世界读书日，倡导全民多读书、读好书．成都高新区某学校为了了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所示：
读书时间（小时）
4
5
6
7
8
学生人数
6
10
9
8
7
则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（ ）
A．6，5 B．6，6 C．6.5，6 D．6.5，5
7．（4分）为迎接春节促销活动，某服装店从1月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需640元，设该店冬装原本打x折，则有（ ）
A．1000（1﹣2x）＝640 B．1000（1﹣x）2＝640
C．1000（）2＝640 D．1000（1﹣）2＝640
8．（4分）若一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为a，b，则a2﹣3a+ab﹣2的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．1
9．（4分）关于x的不等式组有解，那么m的取值范围为（ ）
A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≥﹣1 D．m＞﹣1
10．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
11．（4分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D，过D作半圆的切线与边AC交于点E，过E作EF∥AB，与BC交于点F．若AB＝20，OF＝7.5，则CD的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
12．（4分）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A．或 B．或 C．或 D．
二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
13．（4分）因式分解：（3m﹣n）2﹣3m+n＝ ．
14．（4分）投一枚均匀的小正方体，小正方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，每次实验投两次，两次朝上的数字的和为6的概率是 ．
15．（4分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是 ．
16．（4分）如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，M、N分别在AF和AB上，且AM＝BN，则四边形OMAN的面积为 ．
17．（4分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A、B的对应点分别为A1、B1，当点A1恰好落在AB上时，弧BB1与点A1构成的阴影部分的面积为 ．
18．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC＝8cm，BD＝6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t＝ s时，△PAB为等腰三角形．
三．解答题：本大题共7个题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（10分）（1）计算：﹣22+（﹣）﹣2+|1﹣4sin60°|+（）0；
（2）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝2，b＝2﹣．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD．AE∥BD，∠BAC＝∠DAE，连接CE交AD于点F．
（1）若∠D＝36°，求∠B的度数；
（2）若CA平分∠BCE，求证：△ABD≌△ACE．
21．（10分）某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．
小知识
难度系数的计算公式为：L＝，其中L为难度系数，X为样本平均数，W为试题满分值．
《考试说明》指出：L在0.7以上的题为容易题；在0.4﹣0.7之间的题为中档题；L在0.2﹣0.4之间的题为较难题．
解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ，并补全条形统计图；
（2）在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为得分众数的概率；
（3）根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？
22．（12分）某数学课外兴趣小组为了测量池塘对岸山丘DE上的塔的高度，在山脚下的广场A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为20°，沿水平方向前进245米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，已知山丘DE高182米，求塔CD的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
23．（12分）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象分别交于点A（2，4）和点B（4，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）若点P是x轴上一动点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．
24．（12分）如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．
（1）求证：DC与⊙O相切；
（2）若⊙O半径为4，，求AC的长．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），
①求点M的坐标及⊙M的半径；
②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
2021年四川省宜宾市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）（共48分）
1．（4分）的倒数是（ ）
A． B．﹣2021 C．2021 D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：的倒数是2021．
故选：C．
2．（4分）2020年2月3日，国家卫生健康委副主任在国务院应对新型冠状病毒感染的肺炎疫情联防联控机制举行的新闻发布会上表示，国家在政策和经费方面支持做好新型冠状病毒肺炎疫情防控相关工作截至该日，国家已拨款665.3亿元，用于疫情防控．将665.3亿用科学记数法表示为（ ）
A．665.3×108 B．6.653×102 C．6.653×1010 D．6.653×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：665.3亿＝665.3×108＝6.653×102×108＝6.653×1010．
故选：C．
3．（4分）如图是由小正方体搭成的几何体的俯视图，其上的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据俯视图可确定主视图的列数和小正方体的个数，即可解答．
【解答】解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由2个小正方体组成，右边一列由3个小正方体组成，
如图所示：．
故选：B．
4．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a2）5＝（﹣a5）2
C．（a3b2）3＝a6b5 D．a2•a3＝a6
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．（a2）5＝（﹣a5）2，正确；
C．（a3b2）3＝a9b6，故本选项不合题意；
D．a2•a3＝a5，故本选项不合题意．
故选：B．
5．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．（4分）4月23日为世界读书日，倡导全民多读书、读好书．成都高新区某学校为了了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所示：
读书时间（小时）
4
5
6
7
8
学生人数
6
10
9
8
7
则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（ ）
A．6，5 B．6，6 C．6.5，6 D．6.5，5
【分析】根据表格中的数据可知该班有学生40人，从而可以求得中位数和众数，本题得以解决．
【解答】解：由表格可得，读书时间为5小时最多，故一周读书时间的众数为5，
该班学生一周读书时间的第20个数6和第21个数是6，故该班学生一周读书时间的中位数为＝6，
故选：A．
7．（4分）为迎接春节促销活动，某服装店从1月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需640元，设该店冬装原本打x折，则有（ ）
A．1000（1﹣2x）＝640 B．1000（1﹣x）2＝640
C．1000（）2＝640 D．1000（1﹣）2＝640
【分析】设该店冬装原本打x折，根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该店冬装原本打x折，
依题意，得：1000•（）2＝640．
故选：C．
8．（4分）若一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为a，b，则a2﹣3a+ab﹣2的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．1
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：根据根与系数的关系可知：a+b＝3，ab＝1，
将x＝a代入x2﹣3x+1＝0可得：a2﹣3a＝﹣1
∴原式＝﹣1+1﹣2
＝﹣2
故选：B．
9．（4分）关于x的不等式组有解，那么m的取值范围为（ ）
A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≥﹣1 D．m＞﹣1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解可得答案．
【解答】解：，
解不等式x﹣m＜0，得：x＜m，
解不等式3x﹣1＞2（x﹣1），得：x＞﹣1，
∵不等式组有解，
∴m＞﹣1．
故选：D．
10．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【分析】连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC＝BC＝2，即可得出结果．
【解答】解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC＝BC＝2，
∴EF的最小值为2；
故选：B．
11．（4分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D，过D作半圆的切线与边AC交于点E，过E作EF∥AB，与BC交于点F．若AB＝20，OF＝7.5，则CD的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】连接AD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再根据切线长定理得到ED＝EA，则∠ADE＝∠2，于是利用等角的余角相等得∠1＝∠C，则AE＝DE＝CE，则可判断EF为△ABC的中位线，得到BF＝CF，接着可判断OF为△ABC的中位线，得到OF∥AE，所以AE＝OF＝7.5，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理计算出BC＝25，再证明△CDA∽△CAB，于是利用相似比可计算出CD．
【解答】解：连接AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠1+∠ADE＝90°，∠2+∠C＝90°，
∵DE为切线，
∴ED＝EA，
∴∠ADE＝∠2，
∴∠1＝∠C，
∴ED＝EC，
∴CE＝AE，
∵EF∥AB，
∴EF为△ABC的中位线，
∴BF＝CF，
而BO＝AO，
∴OF为△ABC的中位线，
∴OF∥AE，
∴AE＝OF＝7.5，
∴AC＝2AE＝15，
在Rt△ACD中，BC＝＝＝25，
∵∠DCA＝∠ACB，
∴△CDA∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴CD＝9．
故选：C．
12．（4分）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A．或 B．或 C．或 D．
【分析】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1．
【解答】解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；
∴直线l：y＝x+．
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；
∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．
∵0＜d＜1，
∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；
∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，
当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，
当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，
∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．
①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；
②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，
综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．
故选：B．
二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
13．（4分）因式分解：（3m﹣n）2﹣3m+n＝ （3m﹣n）（3m﹣n﹣1） ．
【分析】直接将原式变形，进而提取公因式（3m﹣n），即可得出答案．
【解答】解：（3m﹣n）2﹣3m+n
＝（3m﹣n）2﹣（3m﹣n）
＝（3m﹣n）（3m﹣n﹣1）．
故答案为：（3m﹣n）（3m﹣n﹣1）．
14．（4分）投一枚均匀的小正方体，小正方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，每次实验投两次，两次朝上的数字的和为6的概率是 ．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：通过列表
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
可知共有6×6＝36种可能，两次朝上的数字的和为6的有5种，所以两次朝上的数字的和为6的概率是，
故答案为：．
15．（4分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是 ﹣＝45 ．
【分析】直接利用5G网络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案．
【解答】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是：
﹣＝45．
故答案为：﹣＝45．
16．（4分）如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，M、N分别在AF和AB上，且AM＝BN，则四边形OMAN的面积为 4 ．
【分析】连接OA、OB，作OH⊥AB于H，则△OAB是等边三角形，∠OAM＝∠OAB＝∠OBN＝60°，由等边三角形的性质得出AH＝AB＝2，OH＝AH＝2，证明△OAM≌△OBN，得出△OAM的面积＝△OBN的面积，得出四边形OMAN的面积＝△OAB的面积，即可得出结果．
【解答】解：连接OA、OB，作OH⊥AB于H，如图所示：
则△OAB是等边三角形，∠OAM＝∠OAB＝∠OBN＝60°，
∴OA＝OB＝AB＝4，
∵OH⊥AB，
∴AH＝AB＝2，
∴OH＝AH＝2，
在△OAM和△OBN中，，
∴△OAM≌△OBN（SAS），
∴△OAM的面积＝△OBN的面积，
∴四边形OMAN的面积＝△OAB的面积＝×4×2＝4；
故答案为：4．
17．（4分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A、B的对应点分别为A1、B1，当点A1恰好落在AB上时，弧BB1与点A1构成的阴影部分的面积为 2π﹣ ．
【分析】解直角三角形求出AB和BC，求出∠ACA1＝60°，可得等边△CA1A，根据面积差得阴影部分的面积．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
由勾股定理得：BC＝＝＝2，∠A＝60°，
由旋转得：CA＝A1C，
∴△CA1A是等边三角形，
∴∠ACA1＝60°，
∴∠A1CB＝30°，
∴∠B1CB＝60°，
∴弧BB1与点A1构成的阴影部分的面积＝S△ABC+﹣S△ACB﹣＝﹣＝﹣＝2π﹣，
故答案为：2π﹣．
18．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC＝8cm，BD＝6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t＝ 5或8或 s时，△PAB为等腰三角形．
【分析】求出BA的值，根据已知画出符合条件的三种情况：①当PA＝AB＝5cm时，②当P和C重合时，PB＝AB＝5cm，③作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB＝PA，连接PB，求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝4cm，BO＝OD＝3cm，
由勾股定理得：BC＝AB＝AD＝CD＝5cm，
分为三种情况：①如图1，当PA＝AB＝5cm时，t＝5÷1＝5；
②如图2，当P和C重合时，PB＝AB＝5cm，t＝8÷1＝8；
③如图3，作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB＝PA，连接PB，
在Rt△BOP中，由勾股定理得：BP2＝BO2+OP2，
AP2＝32+（4﹣AP）2，
AP＝；
t＝÷1＝，
故答案为：5或8或．
三．解答题：本大题共7个题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（10分）（1）计算：﹣22+（﹣）﹣2+|1﹣4sin60°|+（）0；
（2）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝2，b＝2﹣．
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，进而利用实数的加减运算法则计算得出答案；
（2）首先将括号里面通分运算，再利用分式的除法运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣4+4﹣2+|1﹣4×|+1
＝﹣4+4﹣2+21
＝0；
（2）原式＝÷
＝•
＝，
当a＝2，b＝2﹣时，
原式＝
＝
＝
＝．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD．AE∥BD，∠BAC＝∠DAE，连接CE交AD于点F．
（1）若∠D＝36°，求∠B的度数；
（2）若CA平分∠BCE，求证：△ABD≌△ACE．
【分析】（1）可得∠DAE＝∠BAC，∠B＝∠ACB，由三角形内角和定理可求出答案；
（2）证得∠B＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE，可证明△ABD≌△ACE（ASA）．
【解答】解：（1）∵AE∥BD，
∴∠DAE＝∠D，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠D＝∠BAC＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝＝＝72°．
（2）证明：∵CA平分∠BCE，
∴∠BCA＝∠ACE，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
21．（10分）某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．
小知识
难度系数的计算公式为：L＝，其中L为难度系数，X为样本平均数，W为试题满分值．
《考试说明》指出：L在0.7以上的题为容易题；在0.4﹣0.7之间的题为中档题；L在0.2﹣0.4之间的题为较难题．
解答下列问题：
（1）m＝ 25 ，n＝ 20 ，并补全条形统计图；
（2）在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为得分众数的概率；
（3）根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可以得到m和n的值，从而可以得到得1分的人数将条形统计图补充完整；
（2）根据（1）中学生人数，进而利用众数的定义、概率求法得出答案；
（3）根据题意可以算出L的值，从而可以判断试题的难度系数．
【解答】解：（1）解：（1）由条形统计图可知0分的同学有6人，由扇形统计图可知，0分的同学占10%，
∴抽取的总人数是：6÷10%＝60（人），
故得1分的学生数是；60﹣27﹣12﹣6＝15（人），
∴m%＝×100%，
解得：m＝25，
n%＝×100%＝20%，
故答案为：25，20；
（2）总人数为60人，众数为（2分）有27人，概率为＝或者（0.45）；
（3）平均数为：＝1.75（分），
L＝＝≈0.58，
因为0.58在0.4﹣0.7中间，所以这道题为中档题．
22．（12分）某数学课外兴趣小组为了测量池塘对岸山丘DE上的塔的高度，在山脚下的广场A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为20°，沿水平方向前进245米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，已知山丘DE高182米，求塔CD的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【分析】设CD＝x米．在Rt△ADE中，根据tan20°＝，构建方程即可解决问题．
【解答】解：由题意可知CE⊥AE，
又∵∠CBE＝45°，
∴CE＝BE．
设塔CD高为x米，
∴BE＝CE＝CD+DE＝（x+182）米．
∴AE＝AB+BE＝245+x+182＝x+427．
在直角三角形AED中，tan∠DAE＝．
即＝0.36．
解得：x≈78.6．
经检验：x＝78.6是原方程的根，且符合题意．
答：塔CD高约为78.6米．
23．（12分）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象分别交于点A（2，4）和点B（4，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）若点P是x轴上一动点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．
【分析】（1）先把A点坐标代入y2＝中求出m得到反比例函数解析式为y2＝，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）在第象限内，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
（3）设P（t，0），利用两点间的距离公式得到PA2＝（t﹣2）2+42，PB2＝（t﹣4）2+22，AB2＝（4﹣2）2+（2﹣4）2，讨论：根据勾股定理，当∠PAB＝90°时，t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20；当∠PBA＝90°时，t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20；当∠APB＝90°时，t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，然后分别解关于t的方程可得到P点坐标．
【解答】解：（1）把A（2，4）代入y2＝得m＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为y2＝，
把B（4，n）代入y2＝得4n＝8，解得n＝2，则B（4，2），
把A（2，4）和B（4，2）代入y1＝kx+b得，解得，
∴一次函数解析式为y1＝﹣x+6；
（2）当0＜x＜2或x＞4时，y1＜y2；
（3）设P（t，0），
∵A（2，4），B（4，2）
∴PA2＝（t﹣2）2+42＝t2﹣4t+20，PB2＝（t﹣4）2+22＝t2﹣8t+20，AB2＝（4﹣2）2+（2﹣4）2＝8，
当∠PAB＝90°时，PA2+AB2＝PB2，即t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20，解得t＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0），
当∠PBA＝90°时，PB2+AB2＝PA2，即t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20，解得t＝2，此时P点坐标为（2，0），
当∠APB＝90°时，PA2+PB2＝AB2，即t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，整理得t2﹣6t+16＝0，方程没有实数解，
综上所述．P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）．
24．（12分）如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．
（1）求证：DC与⊙O相切；
（2）若⊙O半径为4，，求AC的长．
【分析】（1）连接OC，由圆周角定理和已知条件得出∠BOC＝∠D，证出∠OCH＝90°，得出DC⊥OC，即可得出结论；
（2）作AG⊥CD于G，则AG∥OC，由三角函数定义求出OH＝OC＝5，得出AH＝OA+OH＝9，由勾股定理得出CH＝＝3，证△OCH∽△AGH，求出AG＝OC＝，GH＝CH＝，得出CG＝GH﹣CH＝，再由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵DE⊥OA，
∴∠HED＝90°，
∴∠H+∠D＝90°，
∵∠BOC＝2∠A，∠D＝2∠A，
∴∠BOC＝∠D，
∴∠H+∠BOC＝90°，
∴∠OCH＝90°，
∴DC⊥OC，
∴DC与⊙O相切；
（2）解：作AG⊥CD于G，如图2所示：
则AG∥OC，
∵DC⊥OC，
∴∠OCH＝90°，
∵∠BOC＝∠D，OC＝4，
∴cos∠BOC＝＝，
∴OH＝OC＝5，
∴AH＝OA+OH＝4+5＝9，CH＝＝＝3，
∵AG∥OC，
∴△OCH∽△AGH，
∴＝＝＝，
∴AG＝OC＝，GH＝CH＝，
∴CG＝GH﹣CH＝﹣3＝，
∴AC＝＝＝．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），
①求点M的坐标及⊙M的半径；
②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣4b﹣2，解得：b＝﹣，即可求解；
（2）S△ABD＝＝，则BN＝，sin∠BDH＝＝，即可求解；
（3）①∠ADB＝45°，则∠AMB＝2∠ADB＝90°，MA＝MB，MH⊥AB，AH＝BH＝HM＝，点M的坐标为（，）⊙M的半径为；
②PH＝HB＝5，则＝，＝，故△HMQ∽△QMP，则＝，即可求解．
【解答】解：（1）c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣4b﹣2，解得：b＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）当x＝5时，y＝x2﹣x﹣2＝3，故D的坐标为（5，3），
令y＝0，则x＝4（舍去）或﹣1，故点A（﹣1，0），
如图①，连接BD，作BN⊥AD于N，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴AD＝3，BD＝，AB＝5，
∵S△ABD＝＝，
∴BN＝，
∴sin∠BDN＝＝＝，
∴∠BDN＝45°；
∴∠ADB＝∠BDN＝45°；
（3）①如图②，连接MA，MB，
∵∠ADB＝45°，
∴∠AMB＝2∠ADB＝90°，
∵MA＝MB，MH⊥AB，
∴AH＝BH＝HM＝，
∴点M的坐标为（，）⊙M的半径为；
②如图③，连接MQ，MB，
∵过点B作⊙M的切线交1于点P，
∴∠MBP＝90°，
∵∠MBO＝45°，
∴∠PBH＝45°，
∴PH＝HB＝2.5，
∵＝，＝，
∵∠HMQ＝∠QMP，
∴△HMQ∽△QMP，
∴＝，
∴在点Q运动过程中的值不变，其值为．
2021年四川省宜宾市中考数学模拟试卷
一．选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）（共48分）
1．（4分）的倒数是（ ）
A． B．﹣2021 C．2021 D．﹣
2．（4分）2020年2月3日，国家卫生健康委副主任在国务院应对新型冠状病毒感染的肺炎疫情联防联控机制举行的新闻发布会上表示，国家在政策和经费方面支持做好新型冠状病毒肺炎疫情防控相关工作截至该日，国家已拨款665.3亿元，用于疫情防控．将665.3亿用科学记数法表示为（ ）
A．665.3×108 B．6.653×102 C．6.653×1010 D．6.653×109
3．（4分）如图是由小正方体搭成的几何体的俯视图，其上的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a2）5＝（﹣a5）2
C．（a3b2）3＝a6b5 D．a2•a3＝a6
5．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）4月23日为世界读书日，倡导全民多读书、读好书．成都高新区某学校为了了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所示：
读书时间（小时）
4
5
6
7
8
学生人数
6
10
9
8
7
则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（ ）
A．6，5 B．6，6 C．6.5，6 D．6.5，5
7．（4分）为迎接春节促销活动，某服装店从1月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需640元，设该店冬装原本打x折，则有（ ）
A．1000（1﹣2x）＝640 B．1000（1﹣x）2＝640
C．1000（）2＝640 D．1000（1﹣）2＝640
8．（4分）若一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为a，b，则a2﹣3a+ab﹣2的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．1
9．（4分）关于x的不等式组有解，那么m的取值范围为（ ）
A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≥﹣1 D．m＞﹣1
10．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
11．（4分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D，过D作半圆的切线与边AC交于点E，过E作EF∥AB，与BC交于点F．若AB＝20，OF＝7.5，则CD的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
12．（4分）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A．或 B．或 C．或 D．
二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
13．（4分）因式分解：（3m﹣n）2﹣3m+n＝ ．
14．（4分）投一枚均匀的小正方体，小正方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，每次实验投两次，两次朝上的数字的和为6的概率是 ．
15．（4分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是 ．
16．（4分）如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，M、N分别在AF和AB上，且AM＝BN，则四边形OMAN的面积为 ．
17．（4分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A、B的对应点分别为A1、B1，当点A1恰好落在AB上时，弧BB1与点A1构成的阴影部分的面积为 ．
18．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC＝8cm，BD＝6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t＝ s时，△PAB为等腰三角形．
三．解答题：本大题共7个题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（10分）（1）计算：﹣22+（﹣）﹣2+|1﹣4sin60°|+（）0；
（2）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝2，b＝2﹣．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD．AE∥BD，∠BAC＝∠DAE，连接CE交AD于点F．
（1）若∠D＝36°，求∠B的度数；
（2）若CA平分∠BCE，求证：△ABD≌△ACE．
21．（10分）某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．
小知识
难度系数的计算公式为：L＝，其中L为难度系数，X为样本平均数，W为试题满分值．
《考试说明》指出：L在0.7以上的题为容易题；在0.4﹣0.7之间的题为中档题；L在0.2﹣0.4之间的题为较难题．
解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ，并补全条形统计图；
（2）在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为得分众数的概率；
（3）根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？
22．（12分）某数学课外兴趣小组为了测量池塘对岸山丘DE上的塔的高度，在山脚下的广场A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为20°，沿水平方向前进245米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，已知山丘DE高182米，求塔CD的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
23．（12分）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象分别交于点A（2，4）和点B（4，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）若点P是x轴上一动点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．
24．（12分）如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．
（1）求证：DC与⊙O相切；
（2）若⊙O半径为4，，求AC的长．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），
①求点M的坐标及⊙M的半径；
②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
2021年四川省宜宾市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）（共48分）
1．（4分）的倒数是（ ）
A． B．﹣2021 C．2021 D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：的倒数是2021．
故选：C．
2．（4分）2020年2月3日，国家卫生健康委副主任在国务院应对新型冠状病毒感染的肺炎疫情联防联控机制举行的新闻发布会上表示，国家在政策和经费方面支持做好新型冠状病毒肺炎疫情防控相关工作截至该日，国家已拨款665.3亿元，用于疫情防控．将665.3亿用科学记数法表示为（ ）
A．665.3×108 B．6.653×102 C．6.653×1010 D．6.653×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：665.3亿＝665.3×108＝6.653×102×108＝6.653×1010．
故选：C．
3．（4分）如图是由小正方体搭成的几何体的俯视图，其上的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据俯视图可确定主视图的列数和小正方体的个数，即可解答．
【解答】解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由2个小正方体组成，右边一列由3个小正方体组成，
如图所示：．
故选：B．
4．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a2）5＝（﹣a5）2
C．（a3b2）3＝a6b5 D．a2•a3＝a6
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．（a2）5＝（﹣a5）2，正确；
C．（a3b2）3＝a9b6，故本选项不合题意；
D．a2•a3＝a5，故本选项不合题意．
故选：B．
5．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．（4分）4月23日为世界读书日，倡导全民多读书、读好书．成都高新区某学校为了了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所示：
读书时间（小时）
4
5
6
7
8
学生人数
6
10
9
8
7
则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（ ）
A．6，5 B．6，6 C．6.5，6 D．6.5，5
【分析】根据表格中的数据可知该班有学生40人，从而可以求得中位数和众数，本题得以解决．
【解答】解：由表格可得，读书时间为5小时最多，故一周读书时间的众数为5，
该班学生一周读书时间的第20个数6和第21个数是6，故该班学生一周读书时间的中位数为＝6，
故选：A．
7．（4分）为迎接春节促销活动，某服装店从1月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需640元，设该店冬装原本打x折，则有（ ）
A．1000（1﹣2x）＝640 B．1000（1﹣x）2＝640
C．1000（）2＝640 D．1000（1﹣）2＝640
【分析】设该店冬装原本打x折，根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该店冬装原本打x折，
依题意，得：1000•（）2＝640．
故选：C．
8．（4分）若一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为a，b，则a2﹣3a+ab﹣2的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．1
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：根据根与系数的关系可知：a+b＝3，ab＝1，
将x＝a代入x2﹣3x+1＝0可得：a2﹣3a＝﹣1
∴原式＝﹣1+1﹣2
＝﹣2
故选：B．
9．（4分）关于x的不等式组有解，那么m的取值范围为（ ）
A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≥﹣1 D．m＞﹣1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解可得答案．
【解答】解：，
解不等式x﹣m＜0，得：x＜m，
解不等式3x﹣1＞2（x﹣1），得：x＞﹣1，
∵不等式组有解，
∴m＞﹣1．
故选：D．
10．（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【分析】连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC＝BC＝2，即可得出结果．
【解答】解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC＝BC＝2，
∴EF的最小值为2；
故选：B．
11．（4分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D，过D作半圆的切线与边AC交于点E，过E作EF∥AB，与BC交于点F．若AB＝20，OF＝7.5，则CD的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】连接AD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再根据切线长定理得到ED＝EA，则∠ADE＝∠2，于是利用等角的余角相等得∠1＝∠C，则AE＝DE＝CE，则可判断EF为△ABC的中位线，得到BF＝CF，接着可判断OF为△ABC的中位线，得到OF∥AE，所以AE＝OF＝7.5，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理计算出BC＝25，再证明△CDA∽△CAB，于是利用相似比可计算出CD．
【解答】解：连接AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠1+∠ADE＝90°，∠2+∠C＝90°，
∵DE为切线，
∴ED＝EA，
∴∠ADE＝∠2，
∴∠1＝∠C，
∴ED＝EC，
∴CE＝AE，
∵EF∥AB，
∴EF为△ABC的中位线，
∴BF＝CF，
而BO＝AO，
∴OF为△ABC的中位线，
∴OF∥AE，
∴AE＝OF＝7.5，
∴AC＝2AE＝15，
在Rt△ACD中，BC＝＝＝25，
∵∠DCA＝∠ACB，
∴△CDA∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴CD＝9．
故选：C．
12．（4分）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A．或 B．或 C．或 D．
【分析】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1．
【解答】解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；
∴直线l：y＝x+．
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；
∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．
∵0＜d＜1，
∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；
∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，
当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，
当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，
∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．
①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；
②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，
综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．
故选：B．
二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
13．（4分）因式分解：（3m﹣n）2﹣3m+n＝ （3m﹣n）（3m﹣n﹣1） ．
【分析】直接将原式变形，进而提取公因式（3m﹣n），即可得出答案．
【解答】解：（3m﹣n）2﹣3m+n
＝（3m﹣n）2﹣（3m﹣n）
＝（3m﹣n）（3m﹣n﹣1）．
故答案为：（3m﹣n）（3m﹣n﹣1）．
14．（4分）投一枚均匀的小正方体，小正方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，每次实验投两次，两次朝上的数字的和为6的概率是 ．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：通过列表
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
可知共有6×6＝36种可能，两次朝上的数字的和为6的有5种，所以两次朝上的数字的和为6的概率是，
故答案为：．
15．（4分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是 ﹣＝45 ．
【分析】直接利用5G网络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案．
【解答】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是：
﹣＝45．
故答案为：﹣＝45．
16．（4分）如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，M、N分别在AF和AB上，且AM＝BN，则四边形OMAN的面积为 4 ．
【分析】连接OA、OB，作OH⊥AB于H，则△OAB是等边三角形，∠OAM＝∠OAB＝∠OBN＝60°，由等边三角形的性质得出AH＝AB＝2，OH＝AH＝2，证明△OAM≌△OBN，得出△OAM的面积＝△OBN的面积，得出四边形OMAN的面积＝△OAB的面积，即可得出结果．
【解答】解：连接OA、OB，作OH⊥AB于H，如图所示：
则△OAB是等边三角形，∠OAM＝∠OAB＝∠OBN＝60°，
∴OA＝OB＝AB＝4，
∵OH⊥AB，
∴AH＝AB＝2，
∴OH＝AH＝2，
在△OAM和△OBN中，，
∴△OAM≌△OBN（SAS），
∴△OAM的面积＝△OBN的面积，
∴四边形OMAN的面积＝△OAB的面积＝×4×2＝4；
故答案为：4．
17．（4分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转，点A、B的对应点分别为A1、B1，当点A1恰好落在AB上时，弧BB1与点A1构成的阴影部分的面积为 2π﹣ ．
【分析】解直角三角形求出AB和BC，求出∠ACA1＝60°，可得等边△CA1A，根据面积差得阴影部分的面积．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
由勾股定理得：BC＝＝＝2，∠A＝60°，
由旋转得：CA＝A1C，
∴△CA1A是等边三角形，
∴∠ACA1＝60°，
∴∠A1CB＝30°，
∴∠B1CB＝60°，
∴弧BB1与点A1构成的阴影部分的面积＝S△ABC+﹣S△ACB﹣＝﹣＝﹣＝2π﹣，
故答案为：2π﹣．
18．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC＝8cm，BD＝6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t＝ 5或8或 s时，△PAB为等腰三角形．
【分析】求出BA的值，根据已知画出符合条件的三种情况：①当PA＝AB＝5cm时，②当P和C重合时，PB＝AB＝5cm，③作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB＝PA，连接PB，求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝4cm，BO＝OD＝3cm，
由勾股定理得：BC＝AB＝AD＝CD＝5cm，
分为三种情况：①如图1，当PA＝AB＝5cm时，t＝5÷1＝5；
②如图2，当P和C重合时，PB＝AB＝5cm，t＝8÷1＝8；
③如图3，作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB＝PA，连接PB，
在Rt△BOP中，由勾股定理得：BP2＝BO2+OP2，
AP2＝32+（4﹣AP）2，
AP＝；
t＝÷1＝，
故答案为：5或8或．
三．解答题：本大题共7个题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（10分）（1）计算：﹣22+（﹣）﹣2+|1﹣4sin60°|+（）0；
（2）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝2，b＝2﹣．
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，进而利用实数的加减运算法则计算得出答案；
（2）首先将括号里面通分运算，再利用分式的除法运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣4+4﹣2+|1﹣4×|+1
＝﹣4+4﹣2+21
＝0；
（2）原式＝÷
＝•
＝，
当a＝2，b＝2﹣时，
原式＝
＝
＝
＝．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD．AE∥BD，∠BAC＝∠DAE，连接CE交AD于点F．
（1）若∠D＝36°，求∠B的度数；
（2）若CA平分∠BCE，求证：△ABD≌△ACE．
【分析】（1）可得∠DAE＝∠BAC，∠B＝∠ACB，由三角形内角和定理可求出答案；
（2）证得∠B＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE，可证明△ABD≌△ACE（ASA）．
【解答】解：（1）∵AE∥BD，
∴∠DAE＝∠D，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠D＝∠BAC＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝＝＝72°．
（2）证明：∵CA平分∠BCE，
∴∠BCA＝∠ACE，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
21．（10分）某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．
小知识
难度系数的计算公式为：L＝，其中L为难度系数，X为样本平均数，W为试题满分值．
《考试说明》指出：L在0.7以上的题为容易题；在0.4﹣0.7之间的题为中档题；L在0.2﹣0.4之间的题为较难题．
解答下列问题：
（1）m＝ 25 ，n＝ 20 ，并补全条形统计图；
（2）在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为得分众数的概率；
（3）根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可以得到m和n的值，从而可以得到得1分的人数将条形统计图补充完整；
（2）根据（1）中学生人数，进而利用众数的定义、概率求法得出答案；
（3）根据题意可以算出L的值，从而可以判断试题的难度系数．
【解答】解：（1）解：（1）由条形统计图可知0分的同学有6人，由扇形统计图可知，0分的同学占10%，
∴抽取的总人数是：6÷10%＝60（人），
故得1分的学生数是；60﹣27﹣12﹣6＝15（人），
∴m%＝×100%，
解得：m＝25，
n%＝×100%＝20%，
故答案为：25，20；
（2）总人数为60人，众数为（2分）有27人，概率为＝或者（0.45）；
（3）平均数为：＝1.75（分），
L＝＝≈0.58，
因为0.58在0.4﹣0.7中间，所以这道题为中档题．
22．（12分）某数学课外兴趣小组为了测量池塘对岸山丘DE上的塔的高度，在山脚下的广场A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为20°，沿水平方向前进245米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，已知山丘DE高182米，求塔CD的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【分析】设CD＝x米．在Rt△ADE中，根据tan20°＝，构建方程即可解决问题．
【解答】解：由题意可知CE⊥AE，
又∵∠CBE＝45°，
∴CE＝BE．
设塔CD高为x米，
∴BE＝CE＝CD+DE＝（x+182）米．
∴AE＝AB+BE＝245+x+182＝x+427．
在直角三角形AED中，tan∠DAE＝．
即＝0.36．
解得：x≈78.6．
经检验：x＝78.6是原方程的根，且符合题意．
答：塔CD高约为78.6米．
23．（12分）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象分别交于点A（2，4）和点B（4，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）若点P是x轴上一动点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．
【分析】（1）先把A点坐标代入y2＝中求出m得到反比例函数解析式为y2＝，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）在第象限内，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
（3）设P（t，0），利用两点间的距离公式得到PA2＝（t﹣2）2+42，PB2＝（t﹣4）2+22，AB2＝（4﹣2）2+（2﹣4）2，讨论：根据勾股定理，当∠PAB＝90°时，t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20；当∠PBA＝90°时，t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20；当∠APB＝90°时，t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，然后分别解关于t的方程可得到P点坐标．
【解答】解：（1）把A（2，4）代入y2＝得m＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为y2＝，
把B（4，n）代入y2＝得4n＝8，解得n＝2，则B（4，2），
把A（2，4）和B（4，2）代入y1＝kx+b得，解得，
∴一次函数解析式为y1＝﹣x+6；
（2）当0＜x＜2或x＞4时，y1＜y2；
（3）设P（t，0），
∵A（2，4），B（4，2）
∴PA2＝（t﹣2）2+42＝t2﹣4t+20，PB2＝（t﹣4）2+22＝t2﹣8t+20，AB2＝（4﹣2）2+（2﹣4）2＝8，
当∠PAB＝90°时，PA2+AB2＝PB2，即t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20，解得t＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0），
当∠PBA＝90°时，PB2+AB2＝PA2，即t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20，解得t＝2，此时P点坐标为（2，0），
当∠APB＝90°时，PA2+PB2＝AB2，即t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，整理得t2﹣6t+16＝0，方程没有实数解，
综上所述．P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）．
24．（12分）如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．
（1）求证：DC与⊙O相切；
（2）若⊙O半径为4，，求AC的长．
【分析】（1）连接OC，由圆周角定理和已知条件得出∠BOC＝∠D，证出∠OCH＝90°，得出DC⊥OC，即可得出结论；
（2）作AG⊥CD于G，则AG∥OC，由三角函数定义求出OH＝OC＝5，得出AH＝OA+OH＝9，由勾股定理得出CH＝＝3，证△OCH∽△AGH，求出AG＝OC＝，GH＝CH＝，得出CG＝GH﹣CH＝，再由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵DE⊥OA，
∴∠HED＝90°，
∴∠H+∠D＝90°，
∵∠BOC＝2∠A，∠D＝2∠A，
∴∠BOC＝∠D，
∴∠H+∠BOC＝90°，
∴∠OCH＝90°，
∴DC⊥OC，
∴DC与⊙O相切；
（2）解：作AG⊥CD于G，如图2所示：
则AG∥OC，
∵DC⊥OC，
∴∠OCH＝90°，
∵∠BOC＝∠D，OC＝4，
∴cos∠BOC＝＝，
∴OH＝OC＝5，
∴AH＝OA+OH＝4+5＝9，CH＝＝＝3，
∵AG∥OC，
∴△OCH∽△AGH，
∴＝＝＝，
∴AG＝OC＝，GH＝CH＝，
∴CG＝GH﹣CH＝﹣3＝，
∴AC＝＝＝．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），
①求点M的坐标及⊙M的半径；
②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣4b﹣2，解得：b＝﹣，即可求解；
（2）S△ABD＝＝，则BN＝，sin∠BDH＝＝，即可求解；
（3）①∠ADB＝45°，则∠AMB＝2∠ADB＝90°，MA＝MB，MH⊥AB，AH＝BH＝HM＝，点M的坐标为（，）⊙M的半径为；
②PH＝HB＝5，则＝，＝，故△HMQ∽△QMP，则＝，即可求解．
【解答】解：（1）c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣4b﹣2，解得：b＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）当x＝5时，y＝x2﹣x﹣2＝3，故D的坐标为（5，3），
令y＝0，则x＝4（舍去）或﹣1，故点A（﹣1，0），
如图①，连接BD，作BN⊥AD于N，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴AD＝3，BD＝，AB＝5，
∵S△ABD＝＝，
∴BN＝，
∴sin∠BDN＝＝＝，
∴∠BDN＝45°；
∴∠ADB＝∠BDN＝45°；
（3）①如图②，连接MA，MB，
∵∠ADB＝45°，
∴∠AMB＝2∠ADB＝90°，
∵MA＝MB，MH⊥AB，
∴AH＝BH＝HM＝，
∴点M的坐标为（，）⊙M的半径为；
②如图③，连接MQ，MB，
∵过点B作⊙M的切线交1于点P，
∴∠MBP＝90°，
∵∠MBO＝45°，
∴∠PBH＝45°，
∴PH＝HB＝2.5，
∵＝，＝，
∵∠HMQ＝∠QMP，
∴△HMQ∽△QMP，
∴＝，
∴在点Q运动过程中的值不变，其值为．
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