2021年四川省成都中考数学模拟试卷（六）含解析

这是一份2021年四川省成都中考数学模拟试卷（六）含解析，共41页。试卷主要包含了4的平方根是，如图所示的几何体的俯视图可能是，下列计算正确的是，已知抛物线y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。

2021年四川省成都中考数学模拟试卷（六）
A卷（100分）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．4的平方根是（　　）
A．±16 B．16 C．±2 D．2
2．如图所示的几何体的俯视图可能是（　　）

A． B． C． D．
3．纳米是非常小的长度单位，已知1纳米＝10﹣6毫米，某种病毒的直径为100纳米，若将这种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是（　　）
A．102个 B．104个
C．106个 D．108个
4．2016年3月，成都市某区一周天气质量报告中某项污染指标的数据是：60，60，100，90，90，70，90，则下列关于这组数据表述正确的是（　　）
A．众数是60 B．中位数是100
C．平均数是78 D．极差是40
5．下列计算正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（2x2）3＝6x6 D．x8÷x3＝x5
6．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（　　）

A．90° B．180° C．210° D．270°
7．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝70°，OA＝2，则弧BC的长为（　　）

A． B． C． D．π
8．如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③若A（﹣，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）是抛物线上的三点，则有y3＜y1＜y2；④若m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x+1）﹣2＝0的两个根，则﹣1＜m＜n＜3，以上说法正确的有（　　）

A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
10．一辆慢车和一辆快车沿相同路线从A地到B地，所行驶的路程与时间的函数图象如图所示，下列说法正确的有（　　）
①快车追上慢车需6小时；
②慢车比快车早出发2小时；
③快车速度为46km/h；
④慢车速度为46km/h；
⑤AB两地相距828km；

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（每小题4分，共16分）
11．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，a）在正比例函数的图象上，则点Q（a，3a﹣5）位于第　 　象限．
12．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若OE⊥BC，OE＝1，则AC的长为　 　．

14．一抛物线和另一抛物线y=﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为　 ．
三、解答题（共18分）
15．（1）计算：﹣32+|﹣2|+（）﹣2﹣；
（2）先化简再求值：（﹣x﹣1），其中x是不等式组的一个整数解．
16．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝．
四、解答题（共36分）
17．（8分）我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．

根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　．
（2）补全上图中的条形统计图．
（3）若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
（4）在抽查的m名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．（解答过程中，可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母A、B、C、D代表）
18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．






19．（8分）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）


20（10分）．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：△BDE∽△ADB；
（2）试判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，条件不变，若BC恰好是⊙O的直径，且AB＝6，AC＝8，求DF的长．







B卷（共50分）
一、填空（每题4分，共20分）
21．设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则2x12﹣x1+x22＝　 　．
22．定义一种新运算：n•xn﹣1dx＝an﹣bn，例如：2•xdx＝k2﹣h2，若﹣x﹣2dx＝﹣2，则m＝　 　．
23．如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB'，AB'与边BC交于点E．若△DEB'为直角三角形，则BD的长是　 　．

24．如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A2、A4、A6……在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，且OA1＝2，则An（n为正整数）的纵坐标为　 　．（用含n的式子表示）

25．如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，则AF＝　 　．

三．解答题（3小题，共30分）
26．（8分）铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：
第x天
1≤x≤6
6＜x≤15
每天的销售量y/盒
10
x+6
（1）求p与x的函数关系式；
（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？
（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．











27．（10分）已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AO．点E、F为矩形边上的两个动点，且∠EOF＝60°．
（1）如图1，当点E、F分别位于AB、AD边上时，若∠OEB＝75°，求证：DF＝AE；
（2）如图2，当点E、F同时位于AB边上时，若∠OFB＝75°，试说明AF与BE的数量关系；
（3）如图3，当点E、F同时在AB边上运动时，将△OEF沿OE所在直线翻折至△OEP，取线段CB的中点Q．连接PQ，若AD＝2a（a＞0），则当PQ最短时，求PF之长．




















28．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣1，0），一次函数y＝x+k的图象经过点B、C．
（1）试求二次函数及一次函数的解析式；
（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD交线段CB于点Q，连接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求点P的坐标；
（3）如图2，点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，当EF+CF的值最大时，求点E的坐标．


2021年四川省成都中考数学模拟试卷（六）
A卷（100分）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．4的平方根是（　　）
A．±16 B．16 C．±2 D．2
【分析】由于某数的两个平方根应该互为相反数，所以可用直接开平方法进行解答．
【解答】解：∵4＝（±2）2，
∴4的平方根是±2．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．如图所示的几何体的俯视图可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】俯视图是从上往下看得到的视图，由此可得出答案．
【解答】解：所给图形的俯视图是一个带有圆心的圆．
故选：C．
【点评】本题考查了俯视图的知识，属于基础题，关键是掌握俯视图是从上往下看得到的视图．
3．纳米是非常小的长度单位，已知1纳米＝10﹣6毫米，某种病毒的直径为100纳米，若将这种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是（　　）

A．102个 B．104个 C．106个 D．108个
【分析】根据1毫米＝直径×病毒个数，列式求解即可．
【解答】解：100×10﹣6＝10﹣4；＝104个．
故选：B．
【点评】此题考查同底数幂的乘除运算法则，易出现审理不清或法则用错的问题而误选．解答此题的关键是注意单位的换算．
4．2016年3月，成都市某区一周天气质量报告中某项污染指标的数据是：60，60，100，90，90，70，90，则下列关于这组数据表述正确的是（　　）
A．众数是60 B．中位数是100
C．平均数是78 D．极差是40
【分析】根据众数、平均数、中位数、极差的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：60，60，70，90，90，90，100，
故众数为90，故A选项错误；
则中位数为：90，故B选项错误；
平均数为：（60+60+70+90+90+90+100）＝80，故C选项错误；
极差为：100﹣60＝40，故选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了众数、平均数和中位数、极差的概念，正确掌握各知识点的概念是解答本题的关键．
5．下列计算正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（2x2）3＝6x6 D．x8÷x3＝x5
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】解：A、2a+3b，无法计算，故此选项错误；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
C、（2x2）3＝8x6，故此选项错误；
D、x8÷x3＝x5，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算、完全平方公式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（　　）

A．90° B．180° C．210° D．270°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B+∠C＝180°，从而得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠4+∠5＝180°，
根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．
故选：B．

【点评】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．
7．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝70°，OA＝2，则弧BC的长为（　　）

A． B． C． D．π
【分析】首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠BOC的度数，再利用弧长公式计算．
【解答】解：连接OC，
∵OA＝OC，∠CAO＝70°，
∴∠OCA＝∠CAO＝70°，
∴∠AOC＝40°，
∵∠AOB＝140°，
∴∠BOC＝140°﹣40°＝100°，
∴的长为：＝，
故选：C．

【点评】此题主要考查了学生对等腰三角形的判定和性质及弧长公式的应用，关键是熟练掌握弧长公式．
8．如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据反比例函数的性质可知△AOC的面积为1，由于对称性可知：△AOC与△BOC的面积相等，从而可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△AOC的面积为1，
∵A、B关于原点O对称，
∴△AOC与△BOC的面积相等，
∴S△ABC＝2S△AOC＝2，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③若A（﹣，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）是抛物线上的三点，则有y3＜y1＜y2；④若m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x+1）﹣2＝0的两个根，则﹣1＜m＜n＜3，以上说法正确的有（　　）

A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【分析】利用抛物线开口向上得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得b＝﹣2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），则x＝﹣2时，y＜0，于是可对②进行判断；利用二次函数的性质和A、B、C点到直线x＝1的距离大小可对③进行判断；把m、n看作二次函数y＝a（x﹣3）（x+1）与直线y＝2的交点的横坐标，结合函数图象可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，点B（，y2）到直线x＝1的距离最近，点C（﹣2，y3）到直线x＝1的距离最远，
∴y3＜y1＜y2，所以③正确；
∵m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x+1）﹣2＝0的两个根，
∴把m、n看作二次函数y＝a（x﹣3）（x+1）与直线y＝2的交点的横坐标，
∴﹣1＜m＜n＜3，所以④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．一辆慢车和一辆快车沿相同路线从A地到B地，所行驶的路程与时间的函数图象如图所示，下列说法正确的有（　　）
①快车追上慢车需6小时；
②慢车比快车早出发2小时；
③快车速度为46km/h；
④慢车速度为46km/h；
⑤AB两地相距828km；

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据图象所隐藏信息结合题意依次判断即可．
【解答】解：由图象可得：慢车比快车早2小时出发，快车追上慢车的时间为6﹣2＝4（小时），故②正确、①错误，
由慢车6小时走的路程为276km，则慢车速度46km/h，由快车4小时走的路程为276km，则快车速度69km/h，故③错误、④正确，
由AB两地路程＝46×18＝828km，可得⑤正确．
∴说法正确的有②④⑤共3个．
故选：B．
【点评】本题通过考查一次函数的应用，关键是根据图象上获取信息进行解答．
二．填空题（每小题4分，共16分）
11．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，a）在正比例函数的图象上，则点Q（a，3a﹣5）位于第　四　象限．
【分析】把点P坐标代入正比例函数解析式可得a的值，进而根据点的Q的横纵坐标的符号可得所在象限．
【解答】解：∵点P（2，a）在正比例函数的图象上，
∴a＝1，
∴a＝1，3a﹣5＝﹣2，
∴点Q（a，3a﹣5）位于第四象限．
故答案为：四．
【点评】考查一次函数图象上点的坐标特征；得到a的值是解决本题的突破点．
12．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＞且m≠2　．
【分析】本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，所以△＝b2﹣4ac＞0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
即（2m+1）2﹣4×（m﹣2）2×1＞0，
解这个不等式得，m＞，
又∵二次项系数是（m﹣2）2≠0，
∴m≠2
故M得取值范围是m＞且m≠2．
故答案为：m＞且m≠2．
【点评】1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若OE⊥BC，OE＝1，则AC的长为　2　．

【分析】由矩形的性质得出OB＝OC，由等腰三角形的性质得出BE＝CE，证出OE是△ABC的中位线，得出AB＝2OE＝2，证出△ABE是等腰直角三角形，得出BE＝AB＝2，BC＝2BE＝4，再由勾股定理即可得出答案
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AB＝2OE＝2，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝2，
∴BC＝2BE＝4，
∴AC＝＝＝2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
14．一抛物线和另一抛物线y=﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为　y=﹣2（x+2）2+1　．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】设抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，由条件可以得出a=﹣2，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论．
【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y=﹣2x2相同，
∴a=﹣2，
∴y=﹣2（x﹣h）2+k，
∵顶点坐标是（﹣2，1），
∴y=﹣2（x+2）2+1，
∴这个函数解析式为y=﹣2（x+2）2+1，
故答案为：y=﹣2（x+2）2+1．
【点评】本题考查了根据顶点时运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，再解答时运用抛物线的性质求出a值是关健．
三、解答题：（共18分）
15．计算
（1）计算：﹣32+|﹣2|+（）﹣2﹣；
（2）先化简再求值：（﹣x﹣1），其中x是不等式组的一个整数解．
【分析】（1）根据乘方、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和分母有理化进行计算；
（2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，约分得到原式＝﹣x2﹣x+2，再解不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则不等式的整数解为0，1，2，然后根据分式有意义的条件确定x的值，最后代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣9+2﹣+9﹣
＝2﹣﹣（+1）
＝1﹣2；
（2）原式＝•
＝﹣•
＝﹣（x+2）（x﹣1）
＝﹣x2﹣x+2，
对于不等式组，
解①得x≤2，
解②得x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
不等式的整数解为0，1，2，
而x﹣1≠0且x﹣2≠0，
∴x＝0，
∴原式＝﹣0﹣0+2＝2．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了实数的运算．
16．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝，
当a＝+1时，原式＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四．解答题（共36分）
17．我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．

根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）m＝　100　，n＝　5　．
（2）补全上图中的条形统计图．
（3）若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
（4）在抽查的m名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．（解答过程中，可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母A、B、C、D代表）
【分析】（1）篮球30人占30%，可得总人数，由此可以计算出n；
（2）求出足球人数＝100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35人，即可解决问题；
（3）用样本估计总体的思想即可解决问题．
（4）画出树状图即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意m＝30÷30%＝100，排球占＝5%，
∴n＝5，
故答案为100，5．

（2）足球＝100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35人，
条形图如图所示，


（3）若全校共有2000名学生，该校约有2000×＝400名学生喜爱打乒乓球．

（4）画树状图得：

∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P（B、C两人进行比赛）＝＝．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．
18．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．

【分析】（1）把B（2，﹣1）代入y＝可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点A坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式；
（2）根据图象得出不等式kx+b＞的解集即可；
（3）利用面积的和差关系可求解．
【解答】解：（1）把B（2，﹣1）代入y＝，得：m＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
把A（﹣1，n）代入y＝﹣，得：n＝2，
∴A（﹣1，2），
把A（﹣1，2）、B（2，﹣1）代入y＝kx+b，
得：解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；

（2）根据图象得：不等式kx+b＞的解集为x＜﹣1或0＜x＜2；

（3）由y＝﹣x+1可知C的坐标为（0，1），
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D（0，﹣1），
∴CD＝2，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD＝+＝3．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
19．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

【分析】如图，根据已知条件得到＝1：2.4＝，设CF＝5k，AF＝12k，根据勾股定理得到AC＝＝13k＝26，求得AF＝24，CF＝10，得到EF＝6+24＝30，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，
∵山坡AC上坡度i＝1：2.4，
∴令CF＝k，则AF＝2.4k，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，
CF2+AF2＝AC2，
∴k2+（2.4k）2＝262，
解得k＝10，
∴AF＝24，CF＝10，
∴EF＝30，
在Rt△DEF中，tanE＝，
∴DF＝EF•tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3，
∴CD＝DF﹣CF＝23.3，
因此，古树CD的高度约为23.3m．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：△BDE∽△ADB；
（2）试判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，条件不变，若BC恰好是⊙O的直径，且AB＝6，AC＝8，求DF的长．

【分析】（1）由AD平分∠BAC，易得∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又由∠BDE是公共角，即可证得：△BDE∽∠ADB；
（2）首先连接OD，由AD平分∠BAC，可得＝，由垂径定理，即可判定OD⊥BC，又由BC∥DF，证得结论；
（3）首先过点B作BH⊥AD于点H，连接OD，易证得△BDH∽△BCA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BH的长，继而求得AD的长，然后证得△FDB∽△FAD，又由相似的性质，求得答案．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BAD，
∵∠BDE＝∠ADB，
∴△BDE∽△ADB；

（2）相切．
理由：如图1，连接OD，
∵∠BAD＝∠DAC，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切；

（3）如图2，过点B作BH⊥AD于点H，连接OD，
则∠BHD＝90°，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BHD＝∠BAC，
∵∠BDH＝∠C，
∴△BDH∽△BCA，
∴＝，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∴OB＝OD＝5，
∴BD＝＝5，
∴＝，
∴BH＝3，
∴DH＝＝4，AH＝＝3，
∴AD＝AH+DH＝7，
∵DF与⊙O相切，
∴∠FDB＝∠FAD，
∵∠F＝∠F，
∴△FDB∽△FAD，
∴＝＝＝，
∴AF＝DF，BF＝DF，
∴AB＝AF﹣BF＝DF﹣DF＝6，
解得：DF＝．


【点评】此题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、弦切角定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

B卷（共50分）
一、填空（每题4分，共20分）
21．设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则2x12﹣x1+x22＝　4　．
【分析】根据方程的解的概念得出x12＝x1+1，x22＝x2+1，x1+x2＝1，代入原式计算即可得．
【解答】解：根据题意知x12﹣x1﹣1＝0，x22﹣x2﹣1＝0，x1+x2＝1，
则x12＝x1+1，x22＝x2+1，
所以原式＝2（x1+1）﹣x1+x2+1
＝x1+x2+3
＝1+3
＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
22．定义一种新运算：n•xn﹣1dx＝an﹣bn，例如：2•xdx＝k2﹣h2，若﹣x﹣2dx＝﹣2，则m＝　　．
【分析】直接利用已知得出变化规律进而求出答案．
【解答】解：由题意可得：﹣x﹣2dx＝﹣2＝m﹣1﹣（5m）﹣1，
则﹣＝﹣2，
解得：m＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确将原式变形是解题关键．
23．如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB'，AB'与边BC交于点E．若△DEB'为直角三角形，则BD的长是　17或　．

【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝＝＝24，
（1）当∠EDB′＝90°时，如图1，过点B′作B′F⊥AC，交AC的延长线于点F，

由折叠得：AB＝AB′＝25，BD＝B′D＝CF，
设BD＝x，则B′D＝CF＝x，B′F＝CD＝24﹣x，
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：
（7+x）2+（24﹣x）2＝252，
即：x2﹣17x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝17，
因此，BD＝17．
（2）当∠DEB′＝90°时，如图2，此时点E与点C重合，

由折叠得：AB＝AB′＝25，则B′C＝25﹣7＝18，
设BD＝x，则B′D＝x，CD＝24﹣x，
在Rt△B′CD中，由勾股定理得：（24﹣x）2+182＝x2，解得：x＝，
因此BD＝．
故答案为：17或．
【点评】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
24．如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A2、A4、A6……在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，且OA1＝2，则An（n为正整数）的纵坐标为　（﹣1）n+1（）　．（用含n的式子表示）

【分析】先证明△OA1E是等边三角形，求出A1的坐标，作高线A1D1，再证明△A2EF是等边三角形，作高线A2D2，设A2（x，﹣），根据OD2＝2+＝x，解方程可得等边三角形的边长和A2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A1、A3、A5…在x轴的上方，纵坐标为正数，点A2、A4、A6……在x轴的下方，纵坐标为负数，可以利用（﹣1）n+1来解决这个问题．
【解答】解：过A1作A1D1⊥x轴于D1，
∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°，
∴△OA1E是等边三角形，
∴A1（1，），
∴k＝，
∴y＝和y＝﹣，
过A2作A2D2⊥x轴于D2，
∵∠A2EF＝∠A1A2A3＝60°，
∴△A2EF是等边三角形，
设A2（x，﹣），则A2D2＝，
Rt△EA2D2中，∠EA2D2＝30°，
∴ED2＝，
∵OD2＝2+＝x，
解得：x1＝1﹣（舍），x2＝1+，
∴EF＝＝＝＝2（﹣1）＝2﹣2，
A2D2＝＝＝，
即A2的纵坐标为﹣；
过A3作A3D3⊥x轴于D3，
同理得：△A3FG是等边三角形，
设A3（x，），则A3D3＝，
Rt△FA3D3中，∠FA3D3＝30°，
∴FD3＝，
∵OD3＝2+2﹣2+＝x，
解得：x1＝（舍），x2＝+；
∴GF＝＝＝2（﹣）＝2﹣2，
A3D3＝＝＝（﹣），
即A3的纵坐标为（﹣）；
…
∴An（n为正整数）的纵坐标为：（﹣1）n+1（）；
故答案为：（﹣1）n+1（）；

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形30度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题．
25．如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，则AF＝　　．

【分析】如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．首先证明∠APC＝90°，解直角三角形求出AC，PA，利用相似三角形的性质求出CM，由CM∥PA，推出＝＝，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．

∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝2，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝6，∠ABC＝60°，
∵∠EPB＝∠EBP＝60°，
∴△EPB是等边三角形，
∴∠PEB＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠EPB+∠BCE＝180°，
∴P，B，C，E四点共圆，
∴∠PCB＝∠PEB＝60°，∠MPC＝∠EBC，
∵∠TCB＝∠CBT＝60°
∴△TCB是等边三角形，
∴∠BCT＝60°，∠ACT＝30°，BT＝BC＝AT＝2，
∵∠BAG＝∠BAC＝30°，
∴∠APC＝90°，
∴PA＝AT•cos30°＝3，AN＝PA•cos30°＝，PN＝PA＝，PC＝PA＝3，
∴BN＝AB﹣AN＝，
∵∠PBE＝∠CBT＝60°，
∴∠PBN＝∠CBE＝∠CPM，
∵∠PCM＝∠PNB＝90°，
∴△PCM∽△BNP，
∴＝，
∴＝，
∴CM＝，
∵PA⊥PC，CM⊥PC，
∴CM∥PA，
∴＝＝＝，
∴AF＝AC＝．
故答案为．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共3小题，共30分）
26．铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：
第x天
1≤x≤6
6＜x≤15
每天的销售量y/盒
10
x+6
（1）求p与x的函数关系式；
（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？
（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．
【分析】（1）设p＝kx+b（k≠0），然后根据第3天和第7天的成本利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）根据销售利润＝每盒的利润×盒数列出函数关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的最值问题求解；
（3）根据（2）的计算以及二次函数与一元二次方程的关系求解．
【解答】解：（1）设p＝kx+b（k≠0），
∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，
∴，
解得，
所以，p＝x+18；

（2）1≤x≤6时，w＝10[50﹣（x+18）]＝﹣10x+320，
6＜x≤15时，w＝[50﹣（x+18）]（x+6）＝﹣x2+26x+192，
所以，w与x的函数关系式为w＝，
1≤x≤6时，∵﹣10＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝1时，w最大为﹣10+320＝310，
6＜x≤15时，w＝﹣x2+26x+192＝﹣（x﹣13）2+361，
∴当x＝13时，w最大为361，
综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；

（3）w＝325时，﹣x2+26x+192＝325，
x2﹣26x+133＝0，
解得x1＝7，x2＝19，
所以，7≤x≤15时，即第7、8、9、10、11、12、13、14、15天共9天销售利润不低于325元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型．
27．已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AO．点E、F为矩形边上的两个动点，且∠EOF＝60°．
（1）如图1，当点E、F分别位于AB、AD边上时，若∠OEB＝75°，求证：DF＝AE；
（2）如图2，当点E、F同时位于AB边上时，若∠OFB＝75°，试说明AF与BE的数量关系；
（3）如图3，当点E、F同时在AB边上运动时，将△OEF沿OE所在直线翻折至△OEP，取线段CB的中点Q．连接PQ，若AD＝2a（a＞0），则当PQ最短时，求PF之长．

【分析】（1）如图1中，在OF上取一点K，使得OK＝OE，连接DK．想办法证明DK＝AE，DF＝DK即可解决问题．
（2）如图2中，将△OAF绕点O逆时针旋转120°得到△OBJ，连接JE．想办法证明∠JEB＝90°，∠EJB＝30°可得结论．
（3）如图3中，连接BP．证明△OAF≌△OBP（SAS），推出∠PBC＝30°，如图3﹣1中，当QP⊥PB时，PQ的值最小，作FH⊥OA于H，OM⊥PF于M．解直角三角形求出FM即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，在OF上取一点K，使得OK＝OE，连接DK．

∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OA，∠DAB＝90°，
∵AD＝AO，
∴AD＝AO＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠DOA＝∠EOF＝∠DAO＝∠ADO＝60°，
∴∠DOK＝∠AOE，∠OAE＝90°﹣60°＝30°，
∵OD＝OA，OK＝OE，
∴△DOK≌△AOE（SAS），
∴DK＝AE，∠ODK＝∠OAE＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵∠OEB＝75°，
∴∠OEB＝∠BOE＝75°，
∵∠EOF＝60°，
∴∠DOK＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∴∠DFO＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∠DKF＝∠ODK+∠DOK＝75°，
∴∠DFK＝∠DKF＝75°，
∴DF＝DK，
∴DF＝AE．

（2）解：结论：AF＝2BE．
理由：如图2中，将△OAF绕点O逆时针旋转120°得到△OBJ，连接JE．

∵∠AOB＝120°，∠EOF＝60°，
∴∠BOJ+∠BOE＝∠AOF+∠BOE＝60°，
∴∠EOJ＝∠EOF，
∵OF＝OJ，OE＝OE，
∴△EOF≌△EOJ（SAS），
∴∠OEF＝∠OEJ，
∵∠OFB＝75°，∠OBF＝30°，
∴∠BOF＝75°，
∴∠BOE＝75°﹣60°＝15°，
∴∠FEO＝∠BOE+∠OBE＝45°，
∴∠OEF＝∠OEJ＝45°，
∴∠JEB＝∠JEF＝90°，
∵∠OBJ＝∠OAF＝30°，∠OBE＝30°，
∴∠EBJ＝60°，
∴∠EJB＝90°﹣60°＝30°，
∴BJ＝2BE，
∵AF＝BJ，
∴AF＝2BE．

（3）解：如图3中，连接BP．

由翻折可知：OF＝OP，∠EOF＝∠EOP＝60°，
∴∠FOP＝∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝∠BOP，
∵OA＝OB，
∴△OAF≌△OBP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAF＝30°，AF＝BP，
∵∠OBC＝60°，
∴∠PBC＝30°，
如图3﹣1中，当QP⊥PB时，PQ的值最小，作FH⊥OA于H，OM⊥PF于M．

在Rt△PQB中，∵∠QPB＝90°，∠PBQ＝30°，BQ＝BC＝AD＝a，
∴PB＝AF＝BQ•cos30°＝a，
在Rt△AFH中，则有AH＝AF•cos30°＝a，FH＝AF＝a，
∴OH＝OA﹣AH＝2a﹣a＝a，
∴OF＝＝＝a，
∵OF＝OP，OM⊥PF，
∴FM＝MP＝OF•cos30°＝a，
∴FP＝2FM＝a．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣1，0），一次函数y＝x+k的图象经过点B、C．
（1）试求二次函数及一次函数的解析式；
（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD交线段CB于点Q，连接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求点P的坐标；
（3）如图2，点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，当EF+CF的值最大时，求点E的坐标．

【分析】（1）首先确定点C的坐标，代入一次函数求出k，可得点B的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，构建方程求出a即可解决问题．
（2）分两种情形：①当点P在直线BC的上方时，如图2﹣1中，作DH∥BC交y轴于H，过点D作直线DT交y轴于T，交BC于K，作PT∥BC交抛物线于P，直线PD交抛物线于Q．②当点P在直线BC的下方时，如图2﹣2中，分别求解即可解决问题．
（3）设E（m，m2﹣4m﹣5），则F（m，m﹣5），构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与y轴交于点C，
∴C（0，﹣5），
∵一次函数y＝x+k的图象经过点B、C，
∴k＝﹣5，
∴B（5，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，
∴﹣5a＝﹣5，
∴a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，一次函数的解析式为y＝x﹣5．

（2）①当点P在直线BC的上方时，如图2﹣1中，作DH∥BC交y轴于H，过点D作直线DT交y轴于T，交BC于K，作PT∥BC交抛物线于P，直线PD交抛物线于Q．

∵S△CPD＝3S△CQD，
∴PD＝3DQ，
∵PT∥DH∥BC，
∴＝＝＝3，
∵D（2，0），B（5，0），C（﹣5，0），
∴OC＝OB＝5，OD＝OH＝2，
∴HC＝3，
∴TH＝9，OT＝7，
∴直线PT的解析式为y＝x+7，
由，解得或，
∴P（，）或（，），
②当点P在直线BC的下方时，如图2﹣2中，

当点P与抛物线的顶点（2，﹣9）重合时，PD＝9．DQ＝3，
∴PQ＝3DQ，
∴S△CPD＝3S△CQD，
过点P作PP′∥BC，此时点P′也满足条件，
∵直线PP′的解析式为y＝x﹣11，
由，解得或，
∴P′（3，﹣8），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（2，﹣9）或（3，﹣8）．

（3）设E（m，m2﹣4m﹣5），则F（m，m﹣5），
∴EF＝（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）＝5m﹣m2，CF＝m，
∴EF+CF＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝3时，EF+CF的值最大，此时E（3，﹣8）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/4/27 15:02:13；用户：王波；邮箱：dayiwangbo@163.com；学号：331494