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2021年四川省成都市中考数学模拟试卷（三）
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这是一份2021年四川省成都市中考数学模拟试卷（三），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年四川省成都市中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；每小题给出的四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（3分）在有理数2，0，﹣1，﹣3中，任意取两个数相加，和最小是（ ）
A．2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4
2．（3分）下列几何体的主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列算式中，正确的是（ ）
A．（a3b）2＝a6b2 B．a2﹣a3＝﹣a
C． D．﹣（﹣a3）2＝a6
4．（3分）如图，AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，AC与BD交于点E，在图中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．（3分）“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害，2.5微米即0.0000025米．将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣5
6．（3分）将点P（2，1）沿x轴方向向左平移3个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，3） C．（5，﹣1） D．（5，3）
7．（3分）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的中位数、众数和平均数分别为（ ）
A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5
8．（3分）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（ ）
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
9．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列结论中，正确的有（ ）
①ac＜0；
②2a+b＝0；
③4a+2b+c＞0；
④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）若＝，则＝ ．
12．（4分）在一不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的4个红色小球和绿色小球若干个，若从袋中随机摸出一个小球是红色的概率为，则袋子里装有 个绿色小球．
13．（4分）一次函数y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2的图象交于点（a，n），直线y＝n﹣1与y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2的图象分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若k1＞0，k2＜0，则a、b、c从大到小排列应为 ．
14．（4分）如图，在长方形ABCD中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点M、AB于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点O，连接AO并延长；再分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于P、Q两点，连接PQ并延长，则图中∠α＝ ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：+（﹣）﹣2﹣4sin45°+（π﹣2020）0；
（2）化简：（﹣）÷．
16．（6分）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？
17．（8分）房山某中学改革学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习”，培养了学生自主学习的能力．小华与小明同学就“最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学，根据收集到的数据绘制了以下的两个统计图．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：
（1）这次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）补全两幅统计图；
（3）根据抽样调查的结果，估算该校1000名学生中大约有多少人选择“小组合作学习”？
18．（8分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：）
19．（10分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，a）是一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求m、a的值及一次函数表达式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）求证：BC2＝BD•BA；
（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，则m的最小值为 ．
22．（4分）如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影．假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为 ．
23．（4分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1＝；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2+；…．按此规律继续旋转，直至得到点P2020为止，则AP2020＝ ．
24．（4分）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k；再将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，θ为旋转角．如图，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90°）得到△ADE，则BD长 cm．
25．（4分）如图，已知点A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝（k＜0）上运动，则k的值是 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
27．（10分）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
28．（12分）如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB＝PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．
2021年四川省成都市中考数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；每小题给出的四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（3分）在有理数2，0，﹣1，﹣3中，任意取两个数相加，和最小是（ ）
A．2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4
【分析】找出值最小的两个数相加即可．
【解答】解：（﹣1）+（﹣3）＝﹣4．
故选：D．
2．（3分）下列几何体的主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，故此选项错误；
B、长方体的三视图不相同，故此选项错误；
C、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，故此选项错误；
D、球的主视图和左视图、俯视图都是圆，故此选项正确；
故选：D．
3．（3分）下列算式中，正确的是（ ）
A．（a3b）2＝a6b2 B．a2﹣a3＝﹣a
C． D．﹣（﹣a3）2＝a6
【分析】积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．同底数幂的除法，法则为：底数不变，指数相减．a﹣p＝任何不等于0的数的0次幂都等于1．
【解答】解：A、（a3b）2＝a3×2b1×2＝a6b2，故本选项正确；
B、a2﹣a3＝a2（1﹣a）；故本选项错误；
C、＝a（2﹣1﹣1）＝a0＝1；故本选项错误；
D、﹣（﹣a3）2＝﹣（﹣1）2a3×2＝﹣a6；故本选项错误．
故选：A．
4．（3分）如图，AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，AC与BD交于点E，在图中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】根据题目的意思，可以推出①△ABC≌△DCB；②△ABE≌△DCE；③△ABD≌△DCA；再分别进行证明．
【解答】解：①△ABC≌△DCB；
∵AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，
∵BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB；
②△ABE≌△DCE，
∵△ABC≌△DCB，
∴∠BAC＝∠CDB，
∵AB＝CD，∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE≌△CDE；
③△ABD≌△DCA，
∵∠BAC＝∠CDB，∠AEB＝∠DEC，
∴∠ABD＝∠DCA，
∵AB＝CD，BD＝AC，
∴△ABD≌△DCA；
故选：B．
5．（3分）“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害，2.5微米即0.0000025米．将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6．
故选：B．
6．（3分）将点P（2，1）沿x轴方向向左平移3个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，3） C．（5，﹣1） D．（5，3）
【分析】根据平移的方法：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，即可得结论．
【解答】解：将点P（2，1）沿x轴方向向左平移3个单位，
再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是（﹣1，3）．
故选：B．
7．（3分）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的中位数、众数和平均数分别为（ ）
A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5
【分析】利用折线统计图得到50个数据，其中第25个数为12本，第26个数是18本，从而得到数据的中位数，再求出众数和平均数．
【解答】解：由折线统计图得这组数据的中位数为（12+18）÷2＝15，
众数为12，
平均数为（7×8+12×17+18×15+21×10）÷50＝14.8．
故选：C．
8．（3分）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（ ）
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
【分析】因为D点坐标为（2，3），由平行四边形的性质，可知C点的纵坐标一定是3，又由D点相对于A点横坐标移动了2，故可得C点横坐标为2+5＝7，即顶点C的坐标（7，3）．
【解答】解：已知A，B，D三点的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），
∵AB在x轴上，
∴点C与点D的纵坐标相等，都为3，
又∵D点相对于A点横坐标移动了2﹣0＝2，
∴C点横坐标为2+5＝7，
∴即顶点C的坐标（7，3）．
故选：C．
9．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【分析】根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵OA＝OB，∠OBA＝50°，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°×2＝80°，
∴∠C＝∠AOB＝40°．
故选：B．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列结论中，正确的有（ ）
①ac＜0；
②2a+b＝0；
③4a+2b+c＞0；
④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线与x轴的交点问题和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数性质，x＝1时，y的值最小，所以a+b+c≤ax2+bx+c，分别分析得出答案．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴的交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正确；
∵x＝3时，y＝0，
∴x＝2时，4a+2b+c＜0，故③错误；
∵x＝1时，y的值最小，
∴对于任意x，a+b+c≤ax2+bx+c，
即ax2+bx≥a+b，所以④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）若＝，则＝ ．
【分析】对已知式子分析可知，原式可根据比例合比性质可直接得出比例式的值．
【解答】解：根据＝得3a＝5b，则＝．
故答案为：．
12．（4分）在一不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的4个红色小球和绿色小球若干个，若从袋中随机摸出一个小球是红色的概率为，则袋子里装有 20 个绿色小球．
【分析】根据概率公式列式计算即可．
【解答】解：设袋子里有x个绿色小球，
根据题意得：＝，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
故答案为：20．
13．（4分）一次函数y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2的图象交于点（a，n），直线y＝n﹣1与y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2的图象分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若k1＞0，k2＜0，则a、b、c从大到小排列应为 c＞a＞b ．
【分析】根据一次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵k1＞0，k2＜0，
∴y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，
∵n＞n﹣1，
∴a＞b，a＜c，
∴c＞a＞b，
故答案为c＞a＞b．
14．（4分）如图，在长方形ABCD中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点M、AB于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点O，连接AO并延长；再分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于P、Q两点，连接PQ并延长，则图中∠α＝ 56° ．
【分析】先利用平行线的性质得到∠DAC＝68°，再根据基本作图得到AO平分∠DAC，则∠DAO＝∠CAO＝34°，根据基本作图得到PQ垂直平分AC，所以∠1＝90°，然后利用互余计算出∠2，从而得到∠α的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA＝68°，
由作法得AO平分∠DAC，
∴∠DAO＝∠CAO＝×68°＝34°，
由作法得PQ垂直平分AC，
∴∠1＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠CAO＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝∠2＝56°．
故答案为56°．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：+（﹣）﹣2﹣4sin45°+（π﹣2020）0；
（2）化简：（﹣）÷．
【分析】（1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）+（﹣）﹣2﹣4sin45°+（π﹣2020）0
＝2+4﹣4×+1
＝2+4﹣2+1
＝5；
（2）（﹣）÷
＝
＝
＝
＝．
16．（6分）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？
【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．
【解答】解：∵方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝（m﹣4）2﹣4×（）＞0，
解得m＞3或m＜1；
由题意得x1+x2＝﹣＝（4﹣m）＞﹣3，
解得m＜7；
∵x1x2＝＝＜，
解得m＞﹣2．
综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．
17．（8分）房山某中学改革学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习”，培养了学生自主学习的能力．小华与小明同学就“最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学，根据收集到的数据绘制了以下的两个统计图．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：
（1）这次抽样调查中，共调查了 500 名学生；
（2）补全两幅统计图；
（3）根据抽样调查的结果，估算该校1000名学生中大约有多少人选择“小组合作学习”？
【分析】（1）根据个人自学后老师点拨的人数和所占的百分比求出总人数即可；
（2）用小组合作学习的人数除以总人数得出小组合作学习所占的百分比，用总人数减去其他学习方式的人数求出教师传授的人数，再除以总人数，求出教师传授的人数所占的百分比，从而补全统计图；
（3）用该校的总人数乘以“小组合作学习”所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）这次抽样调查中，共调查的学生数是：＝500（名）；
故答案为：500．
（2）小组合作学习所占的百分比是：×100%＝30%，
教师传授的人数是：500﹣300﹣150＝50（人），
教师传授所占的百分比是：×100%＝10%；
补图如下：
（3）根据题意得：
1000×30%＝300（人）．
答：该校1000名学生中大约有300人选择“小组合作学习”．
18．（8分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：）
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB＝4米，即可得出关于x的方程，解出即可．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
设CD＝x（m），
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
则AD＝CD•cos30°＝CD＝x（m），
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
则BD＝CD＝x（m），
由题意得，AD﹣BD＝AB，即x﹣x＝4，
解得：x＝＝2（+1）≈5.5（m），
答：生命所在点C的深度为5.5米．
19．（10分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，a）是一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求m、a的值及一次函数表达式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征可计算出m＝﹣4×＝﹣2，再把B（﹣1，a）代入y＝﹣可求得a＝2，然后把A点坐标代入y＝x+b求出b，从而得到一次函数解析式；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），根据三角形面积公式得到××（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣x﹣），解得x＝，然后计算自变量为时的一次函数值即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵反比例y＝的图象过点（﹣4，），
∴m＝﹣4×＝﹣2，
把B（﹣1，a）代入y＝﹣得﹣a＝﹣2，解得a＝2，
∵y＝x+b的图象过点A（﹣4，）
∴×（﹣4）+b＝，解得b＝，
∴一次函数的表达式是y＝x+；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴××（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣x﹣），解得x＝，
当x＝时，y＝x+＝，
∴P点坐标是（﹣，）．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）求证：BC2＝BD•BA；
（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．
【分析】（1）利用切线的性质及圆周角定理证明；
（2）利用相似三角形证明；
（3）利用正方形的性质证明．
【解答】证明：（1）如图，连接OD．
∵DE为切线，
∴∠EDC+∠ODC＝90°；
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECD+∠OCD＝90°．
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴ED＝EC；
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDE+∠EDC＝90°，∠B+∠ECD＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴ED＝BE．
∴EB＝EC，即点E为边BC的中点；
（2）∵AC为直径，
∴∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90°，
又∵∠B＝∠B
∴△ABC∽△CDB，
∴，
∴BC2＝BD•BA；
（3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°；
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠ADC﹣∠OCD＝90°﹣45°＝45°
∴Rt△ABC为等腰直角三角形．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，则m的最小值为 ﹣ ．
【分析】解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m的最小值．
【解答】解：由题意可得，
解得a＝﹣3，b＝7﹣，c＝，
由于a，b，c是三个非负实数，
∴a≥0，b≥0，c≥0，
∴﹣≥m≥﹣．
所以m最小值＝﹣．
故本题答案为：﹣．
22．（4分）如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影．假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为 ．
【分析】先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ED∥AB，且DE＝AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝＝，
∴S△CDE＝S△CBA．
同理，S△FPM＝S△FDE＝S△CBA．
∴S△FPM+S△CDE＝S△CBA．
则＝．
故答案是：．
23．（4分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1＝；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2+；…．按此规律继续旋转，直至得到点P2020为止，则AP2020＝ 1346+674 ．
【分析】观察图形的变化可得，AP1＝；AP2＝1+；AP3＝2+；AP4＝2+2；AP5＝3+2；AP6＝4+2＝2（2+）；…．发现规律即可求解．
【解答】解：观察图形的变化可知：
AP1＝；
AP2＝1+；
AP3＝2+；
AP4＝2+2；
AP5＝3+2；
AP6＝4+2＝2（2+）；
…．
发现规律：
AP3n＝n（2+）；
AP3n+1＝n（2+）+；
AP3n+2＝n（2+）++1．
∴AP2020＝AP673×3+1＝673（2+）+＝1346+674．
故答案为：1346+674．
24．（4分）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k；再将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，θ为旋转角．如图，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90°）得到△ADE，则BD长 2 cm．
【分析】已知2中△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理可求出BD的值．
【解答】解：△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE以及AD＝cm，可推出∠BAD＝90°，
利用勾股定理得到：BD＝＝2（cm）．
故答案为：2．
25．（4分）如图，已知点A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝（k＜0）上运动，则k的值是 ﹣6 ．
【分析】连接OC，易证AO⊥OC，OC＝OA．由∠AOC＝90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF＝AE，FC＝EO..设点A坐标为（a，b）则ab＝2，可得FC•OF＝6．设点C坐标为（x，y），从而有FC•OF＝﹣xy＝﹣6，即k＝xy＝﹣6．
【解答】解：∵双曲线y＝关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称．
∴OA＝OB．
连接OC，如图所示．
∵△ABC是等边三角形，OA＝OB，
∴OC⊥AB．∠BAC＝60°．
∴tan∠OAC＝＝．
∴OC＝OA．
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，
过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF．
∴△AEO∽△OFC．
∴＝＝．
∵OC＝OA，
∴OF＝AE，FC＝EO．
设点A坐标为（a，b），
∵点A在第一象限，
∴AE＝a，OE＝b．
∴OF＝AE＝a，FC＝EO＝b．
∵点A在双曲线y＝上，
∴ab＝2．
∴FC•OF＝b•a＝3ab＝6
设点C坐标为（x，y），
∵点C在第四象限，
∴FC＝x，OF＝﹣y．
∴FC•OF＝x•（﹣y）＝﹣xy
＝6．
∴xy＝﹣6．
∵点C在双曲线y＝上，
∴k＝xy＝﹣6．
故答案为：﹣6．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
【分析】（1）设函数关系式y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；
（2）根据销售利润＝销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；
（3）先把y＝150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入得
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+60（10≤x≤18）；
（2）W＝（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600
＝﹣2（x﹣20）2+200，
对称轴x＝20，在对称轴的左侧W随着x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴当x＝18时，W最大，最大为192．
即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．
（3）由150＝﹣2x2+80x﹣600，
解得x1＝15，x2＝25（不合题意，舍去）
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．
27．（10分）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，OA＝AC，OB＝BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB＝10．再由△DFQ∽△DCO．得出＝．求出DF．由AP＝DF．求出t．
（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD＝AB•CG＝AC•BD，求出CG．据S梯形APFD＝（AP+DF）•CG．S△EFD＝EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；
（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD＝AB•CG，求出CG，由S四边形APFE：S菱形ABCD＝17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8．
在Rt△AOB中，AB＝＝10．
∵EF⊥BD，
∴∠FQD＝∠COD＝90°．
又∵∠FDQ＝∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO．
∴＝．
即＝，
∴DF＝t．
∵四边形APFD是平行四边形，
∴AP＝DF．
即10﹣t＝t，
解这个方程，得t＝．
∴当t＝s时，四边形APFD是平行四边形．
（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵S菱形ABCD＝AB•CG＝AC•BD，
即10•CG＝×12×16，
∴CG＝．
∴S梯形APFD＝（AP+DF）•CG
＝（10﹣t+t）•＝t+48．
∵△DFQ∽△DCO，
∴＝．
即＝，
∴QF＝t．
同理，EQ＝t．
∴EF＝QF+EQ＝t．
∴S△EFD＝EF•QD＝×t×t＝t2．
∴y＝（t+48）﹣t2＝﹣t2+t+48．
（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
若S四边形APFE：S菱形ABCD＝17：40，
则﹣t2+t+48＝×96，
即5t2﹣8t﹣48＝0，
解这个方程，得t1＝4，t2＝﹣（舍去）
过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
当t＝4时，
∵△PBN∽△ABO，
∴＝＝，即＝＝．
∴PN＝，BN＝．
∴EM＝EQ﹣MQ＝＝．
PM＝BD﹣BN﹣DQ＝＝．
在Rt△PME中，
PE＝＝＝（cm）．
28．（12分）如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB＝PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据B点的坐标以及矩形的面积可以求出矩形的四个顶点的坐标，根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）①过点B作BN⊥PS，垂足为N，可以设P的坐标是（a，a2+1），根据勾股定理就可以用a表示出PB＝PS的长，由此可以证明；
②判断△SBR的形状，根据①同理可知BQ＝QR，根据等边对等角就可以证明∠SBR＝90度，则△SBR为直角三角形；
③若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况，根据相似三角形的对应边的比相等就可以求出．
【解答】解：（1）方法一：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB＝2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF＝4．
∴C点坐标为（﹣2，2）．F点坐标为（2，2）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c．
其过三点A（0，1），C（﹣2.2），F（2，2）．
得，
解这个方程组，得a＝，b＝0，c＝1，
∴此抛物线的解析式为y＝x2+1．
方法二：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB＝2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF＝4．
∴C点坐标为（﹣2，2），
根据题意可设抛物线解析式为y＝ax2+c．
其过点A（0，1）和C（﹣2.2）
解这个方程组，得a＝，c＝1
此抛物线解析式为y＝x2+1．
（2）①证明：如图（2）过点B作BN⊥PS，垂足为N．
∵P点在抛物线y＝x2+1上．可设P点坐标为（a，a2+1）．
∴PS＝a2+1，OB＝NS＝2，BN＝﹣a．
∴PN＝PS﹣NS＝，
在Rt△PNB中．
PB2＝PN2+BN2＝（a2﹣1）2+a2＝（a2+1）2
∴PB＝PS＝．
②根据①同理可知BQ＝QR．
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
同理∠SBP＝∠5，
∴2∠5+2∠3＝180°
∴∠5+∠3＝90°
∴∠SBR＝90度．
∴△SBR为直角三角形．
③方法一：如图（3）作QN⊥PS，
设PS＝b，QR＝c，
∵由①知PS＝PB＝b．QR＝QB＝c，PQ＝b+c．PN＝b﹣c．
∴QN2＝SR2＝（b+c）2﹣（b﹣c）2
∴．
假设存在点M．且MS＝x，则MR＝．
若使△PSM∽△MRQ，
则有．
即x2﹣2x+bc＝0
∴．
∴SR＝2
∴M为SR的中点．
若使△PSM∽△QRM，
则有．
∴．
∴．
∴M点即为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时．△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．
方法二：
若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，
∵∠PSM＝∠MRQ＝90°，
∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况．
当△PSM∽△MRQ时．∠SPM＝∠RMQ，∠SMP＝∠RQM．
由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR＝90°．
∴∠PMQ＝90°．
取PQ中点为T．连接MT．则MT＝PQ＝（QR+PS）．
∴MT为直角梯形SRQP的中位线，
∴点M为SR的中点，
∴＝1，
当△PSM∽△QRM时，，
∵PS∥OB∥QR，＝．
∴点M为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△QRM．
2021年四川省成都市中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；每小题给出的四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（3分）在有理数2，0，﹣1，﹣3中，任意取两个数相加，和最小是（ ）
A．2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4
2．（3分）下列几何体的主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列算式中，正确的是（ ）
A．（a3b）2＝a6b2 B．a2﹣a3＝﹣a
C． D．﹣（﹣a3）2＝a6
4．（3分）如图，AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，AC与BD交于点E，在图中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．（3分）“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害，2.5微米即0.0000025米．将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣5
6．（3分）将点P（2，1）沿x轴方向向左平移3个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，3） C．（5，﹣1） D．（5，3）
7．（3分）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的中位数、众数和平均数分别为（ ）
A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5
8．（3分）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（ ）
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
9．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列结论中，正确的有（ ）
①ac＜0；
②2a+b＝0；
③4a+2b+c＞0；
④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）若＝，则＝ ．
12．（4分）在一不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的4个红色小球和绿色小球若干个，若从袋中随机摸出一个小球是红色的概率为，则袋子里装有 个绿色小球．
13．（4分）一次函数y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2的图象交于点（a，n），直线y＝n﹣1与y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2的图象分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若k1＞0，k2＜0，则a、b、c从大到小排列应为 ．
14．（4分）如图，在长方形ABCD中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点M、AB于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点O，连接AO并延长；再分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于P、Q两点，连接PQ并延长，则图中∠α＝ ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：+（﹣）﹣2﹣4sin45°+（π﹣2020）0；
（2）化简：（﹣）÷．
16．（6分）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？
17．（8分）房山某中学改革学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习”，培养了学生自主学习的能力．小华与小明同学就“最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学，根据收集到的数据绘制了以下的两个统计图．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：
（1）这次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）补全两幅统计图；
（3）根据抽样调查的结果，估算该校1000名学生中大约有多少人选择“小组合作学习”？
18．（8分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：）
19．（10分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，a）是一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求m、a的值及一次函数表达式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）求证：BC2＝BD•BA；
（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，则m的最小值为 ．
22．（4分）如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影．假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为 ．
23．（4分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1＝；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2+；…．按此规律继续旋转，直至得到点P2020为止，则AP2020＝ ．
24．（4分）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k；再将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，θ为旋转角．如图，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90°）得到△ADE，则BD长 cm．
25．（4分）如图，已知点A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝（k＜0）上运动，则k的值是 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
27．（10分）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
28．（12分）如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB＝PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．
2021年四川省成都市中考数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；每小题给出的四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（3分）在有理数2，0，﹣1，﹣3中，任意取两个数相加，和最小是（ ）
A．2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4
【分析】找出值最小的两个数相加即可．
【解答】解：（﹣1）+（﹣3）＝﹣4．
故选：D．
2．（3分）下列几何体的主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，故此选项错误；
B、长方体的三视图不相同，故此选项错误；
C、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，故此选项错误；
D、球的主视图和左视图、俯视图都是圆，故此选项正确；
故选：D．
3．（3分）下列算式中，正确的是（ ）
A．（a3b）2＝a6b2 B．a2﹣a3＝﹣a
C． D．﹣（﹣a3）2＝a6
【分析】积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．同底数幂的除法，法则为：底数不变，指数相减．a﹣p＝任何不等于0的数的0次幂都等于1．
【解答】解：A、（a3b）2＝a3×2b1×2＝a6b2，故本选项正确；
B、a2﹣a3＝a2（1﹣a）；故本选项错误；
C、＝a（2﹣1﹣1）＝a0＝1；故本选项错误；
D、﹣（﹣a3）2＝﹣（﹣1）2a3×2＝﹣a6；故本选项错误．
故选：A．
4．（3分）如图，AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，AC与BD交于点E，在图中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】根据题目的意思，可以推出①△ABC≌△DCB；②△ABE≌△DCE；③△ABD≌△DCA；再分别进行证明．
【解答】解：①△ABC≌△DCB；
∵AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，
∵BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB；
②△ABE≌△DCE，
∵△ABC≌△DCB，
∴∠BAC＝∠CDB，
∵AB＝CD，∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE≌△CDE；
③△ABD≌△DCA，
∵∠BAC＝∠CDB，∠AEB＝∠DEC，
∴∠ABD＝∠DCA，
∵AB＝CD，BD＝AC，
∴△ABD≌△DCA；
故选：B．
5．（3分）“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害，2.5微米即0.0000025米．将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6．
故选：B．
6．（3分）将点P（2，1）沿x轴方向向左平移3个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，3） C．（5，﹣1） D．（5，3）
【分析】根据平移的方法：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，即可得结论．
【解答】解：将点P（2，1）沿x轴方向向左平移3个单位，
再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是（﹣1，3）．
故选：B．
7．（3分）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的中位数、众数和平均数分别为（ ）
A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.5
【分析】利用折线统计图得到50个数据，其中第25个数为12本，第26个数是18本，从而得到数据的中位数，再求出众数和平均数．
【解答】解：由折线统计图得这组数据的中位数为（12+18）÷2＝15，
众数为12，
平均数为（7×8+12×17+18×15+21×10）÷50＝14.8．
故选：C．
8．（3分）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（ ）
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
【分析】因为D点坐标为（2，3），由平行四边形的性质，可知C点的纵坐标一定是3，又由D点相对于A点横坐标移动了2，故可得C点横坐标为2+5＝7，即顶点C的坐标（7，3）．
【解答】解：已知A，B，D三点的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），
∵AB在x轴上，
∴点C与点D的纵坐标相等，都为3，
又∵D点相对于A点横坐标移动了2﹣0＝2，
∴C点横坐标为2+5＝7，
∴即顶点C的坐标（7，3）．
故选：C．
9．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【分析】根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵OA＝OB，∠OBA＝50°，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°×2＝80°，
∴∠C＝∠AOB＝40°．
故选：B．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列结论中，正确的有（ ）
①ac＜0；
②2a+b＝0；
③4a+2b+c＞0；
④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线与x轴的交点问题和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数性质，x＝1时，y的值最小，所以a+b+c≤ax2+bx+c，分别分析得出答案．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴的交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正确；
∵x＝3时，y＝0，
∴x＝2时，4a+2b+c＜0，故③错误；
∵x＝1时，y的值最小，
∴对于任意x，a+b+c≤ax2+bx+c，
即ax2+bx≥a+b，所以④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）若＝，则＝ ．
【分析】对已知式子分析可知，原式可根据比例合比性质可直接得出比例式的值．
【解答】解：根据＝得3a＝5b，则＝．
故答案为：．
12．（4分）在一不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的4个红色小球和绿色小球若干个，若从袋中随机摸出一个小球是红色的概率为，则袋子里装有 20 个绿色小球．
【分析】根据概率公式列式计算即可．
【解答】解：设袋子里有x个绿色小球，
根据题意得：＝，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
故答案为：20．
13．（4分）一次函数y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2的图象交于点（a，n），直线y＝n﹣1与y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2的图象分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若k1＞0，k2＜0，则a、b、c从大到小排列应为 c＞a＞b ．
【分析】根据一次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵k1＞0，k2＜0，
∴y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，
∵n＞n﹣1，
∴a＞b，a＜c，
∴c＞a＞b，
故答案为c＞a＞b．
14．（4分）如图，在长方形ABCD中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点M、AB于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点O，连接AO并延长；再分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于P、Q两点，连接PQ并延长，则图中∠α＝ 56° ．
【分析】先利用平行线的性质得到∠DAC＝68°，再根据基本作图得到AO平分∠DAC，则∠DAO＝∠CAO＝34°，根据基本作图得到PQ垂直平分AC，所以∠1＝90°，然后利用互余计算出∠2，从而得到∠α的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA＝68°，
由作法得AO平分∠DAC，
∴∠DAO＝∠CAO＝×68°＝34°，
由作法得PQ垂直平分AC，
∴∠1＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠CAO＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝∠2＝56°．
故答案为56°．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：+（﹣）﹣2﹣4sin45°+（π﹣2020）0；
（2）化简：（﹣）÷．
【分析】（1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）+（﹣）﹣2﹣4sin45°+（π﹣2020）0
＝2+4﹣4×+1
＝2+4﹣2+1
＝5；
（2）（﹣）÷
＝
＝
＝
＝．
16．（6分）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？
【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．
【解答】解：∵方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝（m﹣4）2﹣4×（）＞0，
解得m＞3或m＜1；
由题意得x1+x2＝﹣＝（4﹣m）＞﹣3，
解得m＜7；
∵x1x2＝＝＜，
解得m＞﹣2．
综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．
17．（8分）房山某中学改革学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习”，培养了学生自主学习的能力．小华与小明同学就“最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学，根据收集到的数据绘制了以下的两个统计图．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：
（1）这次抽样调查中，共调查了 500 名学生；
（2）补全两幅统计图；
（3）根据抽样调查的结果，估算该校1000名学生中大约有多少人选择“小组合作学习”？
【分析】（1）根据个人自学后老师点拨的人数和所占的百分比求出总人数即可；
（2）用小组合作学习的人数除以总人数得出小组合作学习所占的百分比，用总人数减去其他学习方式的人数求出教师传授的人数，再除以总人数，求出教师传授的人数所占的百分比，从而补全统计图；
（3）用该校的总人数乘以“小组合作学习”所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）这次抽样调查中，共调查的学生数是：＝500（名）；
故答案为：500．
（2）小组合作学习所占的百分比是：×100%＝30%，
教师传授的人数是：500﹣300﹣150＝50（人），
教师传授所占的百分比是：×100%＝10%；
补图如下：
（3）根据题意得：
1000×30%＝300（人）．
答：该校1000名学生中大约有300人选择“小组合作学习”．
18．（8分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：）
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB＝4米，即可得出关于x的方程，解出即可．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
设CD＝x（m），
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
则AD＝CD•cos30°＝CD＝x（m），
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
则BD＝CD＝x（m），
由题意得，AD﹣BD＝AB，即x﹣x＝4，
解得：x＝＝2（+1）≈5.5（m），
答：生命所在点C的深度为5.5米．
19．（10分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，a）是一次函数y＝x+b与反比例函数y＝（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求m、a的值及一次函数表达式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征可计算出m＝﹣4×＝﹣2，再把B（﹣1，a）代入y＝﹣可求得a＝2，然后把A点坐标代入y＝x+b求出b，从而得到一次函数解析式；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），根据三角形面积公式得到××（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣x﹣），解得x＝，然后计算自变量为时的一次函数值即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵反比例y＝的图象过点（﹣4，），
∴m＝﹣4×＝﹣2，
把B（﹣1，a）代入y＝﹣得﹣a＝﹣2，解得a＝2，
∵y＝x+b的图象过点A（﹣4，）
∴×（﹣4）+b＝，解得b＝，
∴一次函数的表达式是y＝x+；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴××（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣x﹣），解得x＝，
当x＝时，y＝x+＝，
∴P点坐标是（﹣，）．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）求证：BC2＝BD•BA；
（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．
【分析】（1）利用切线的性质及圆周角定理证明；
（2）利用相似三角形证明；
（3）利用正方形的性质证明．
【解答】证明：（1）如图，连接OD．
∵DE为切线，
∴∠EDC+∠ODC＝90°；
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECD+∠OCD＝90°．
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴ED＝EC；
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDE+∠EDC＝90°，∠B+∠ECD＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴ED＝BE．
∴EB＝EC，即点E为边BC的中点；
（2）∵AC为直径，
∴∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90°，
又∵∠B＝∠B
∴△ABC∽△CDB，
∴，
∴BC2＝BD•BA；
（3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°；
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠ADC﹣∠OCD＝90°﹣45°＝45°
∴Rt△ABC为等腰直角三角形．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，则m的最小值为 ﹣ ．
【分析】解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m的最小值．
【解答】解：由题意可得，
解得a＝﹣3，b＝7﹣，c＝，
由于a，b，c是三个非负实数，
∴a≥0，b≥0，c≥0，
∴﹣≥m≥﹣．
所以m最小值＝﹣．
故本题答案为：﹣．
22．（4分）如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影．假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为 ．
【分析】先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ED∥AB，且DE＝AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝＝，
∴S△CDE＝S△CBA．
同理，S△FPM＝S△FDE＝S△CBA．
∴S△FPM+S△CDE＝S△CBA．
则＝．
故答案是：．
23．（4分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1＝；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2+；…．按此规律继续旋转，直至得到点P2020为止，则AP2020＝ 1346+674 ．
【分析】观察图形的变化可得，AP1＝；AP2＝1+；AP3＝2+；AP4＝2+2；AP5＝3+2；AP6＝4+2＝2（2+）；…．发现规律即可求解．
【解答】解：观察图形的变化可知：
AP1＝；
AP2＝1+；
AP3＝2+；
AP4＝2+2；
AP5＝3+2；
AP6＝4+2＝2（2+）；
…．
发现规律：
AP3n＝n（2+）；
AP3n+1＝n（2+）+；
AP3n+2＝n（2+）++1．
∴AP2020＝AP673×3+1＝673（2+）+＝1346+674．
故答案为：1346+674．
24．（4分）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k；再将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，θ为旋转角．如图，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90°）得到△ADE，则BD长 2 cm．
【分析】已知2中△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理可求出BD的值．
【解答】解：△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE以及AD＝cm，可推出∠BAD＝90°，
利用勾股定理得到：BD＝＝2（cm）．
故答案为：2．
25．（4分）如图，已知点A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝（k＜0）上运动，则k的值是 ﹣6 ．
【分析】连接OC，易证AO⊥OC，OC＝OA．由∠AOC＝90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF＝AE，FC＝EO..设点A坐标为（a，b）则ab＝2，可得FC•OF＝6．设点C坐标为（x，y），从而有FC•OF＝﹣xy＝﹣6，即k＝xy＝﹣6．
【解答】解：∵双曲线y＝关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称．
∴OA＝OB．
连接OC，如图所示．
∵△ABC是等边三角形，OA＝OB，
∴OC⊥AB．∠BAC＝60°．
∴tan∠OAC＝＝．
∴OC＝OA．
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，
过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF．
∴△AEO∽△OFC．
∴＝＝．
∵OC＝OA，
∴OF＝AE，FC＝EO．
设点A坐标为（a，b），
∵点A在第一象限，
∴AE＝a，OE＝b．
∴OF＝AE＝a，FC＝EO＝b．
∵点A在双曲线y＝上，
∴ab＝2．
∴FC•OF＝b•a＝3ab＝6
设点C坐标为（x，y），
∵点C在第四象限，
∴FC＝x，OF＝﹣y．
∴FC•OF＝x•（﹣y）＝﹣xy
＝6．
∴xy＝﹣6．
∵点C在双曲线y＝上，
∴k＝xy＝﹣6．
故答案为：﹣6．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
【分析】（1）设函数关系式y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；
（2）根据销售利润＝销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；
（3）先把y＝150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，把（10，40），（18，24）代入得
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+60（10≤x≤18）；
（2）W＝（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600
＝﹣2（x﹣20）2+200，
对称轴x＝20，在对称轴的左侧W随着x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴当x＝18时，W最大，最大为192．
即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．
（3）由150＝﹣2x2+80x﹣600，
解得x1＝15，x2＝25（不合题意，舍去）
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．
27．（10分）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，OA＝AC，OB＝BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB＝10．再由△DFQ∽△DCO．得出＝．求出DF．由AP＝DF．求出t．
（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD＝AB•CG＝AC•BD，求出CG．据S梯形APFD＝（AP+DF）•CG．S△EFD＝EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；
（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD＝AB•CG，求出CG，由S四边形APFE：S菱形ABCD＝17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8．
在Rt△AOB中，AB＝＝10．
∵EF⊥BD，
∴∠FQD＝∠COD＝90°．
又∵∠FDQ＝∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO．
∴＝．
即＝，
∴DF＝t．
∵四边形APFD是平行四边形，
∴AP＝DF．
即10﹣t＝t，
解这个方程，得t＝．
∴当t＝s时，四边形APFD是平行四边形．
（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵S菱形ABCD＝AB•CG＝AC•BD，
即10•CG＝×12×16，
∴CG＝．
∴S梯形APFD＝（AP+DF）•CG
＝（10﹣t+t）•＝t+48．
∵△DFQ∽△DCO，
∴＝．
即＝，
∴QF＝t．
同理，EQ＝t．
∴EF＝QF+EQ＝t．
∴S△EFD＝EF•QD＝×t×t＝t2．
∴y＝（t+48）﹣t2＝﹣t2+t+48．
（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
若S四边形APFE：S菱形ABCD＝17：40，
则﹣t2+t+48＝×96，
即5t2﹣8t﹣48＝0，
解这个方程，得t1＝4，t2＝﹣（舍去）
过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
当t＝4时，
∵△PBN∽△ABO，
∴＝＝，即＝＝．
∴PN＝，BN＝．
∴EM＝EQ﹣MQ＝＝．
PM＝BD﹣BN﹣DQ＝＝．
在Rt△PME中，
PE＝＝＝（cm）．
28．（12分）如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB＝PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据B点的坐标以及矩形的面积可以求出矩形的四个顶点的坐标，根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）①过点B作BN⊥PS，垂足为N，可以设P的坐标是（a，a2+1），根据勾股定理就可以用a表示出PB＝PS的长，由此可以证明；
②判断△SBR的形状，根据①同理可知BQ＝QR，根据等边对等角就可以证明∠SBR＝90度，则△SBR为直角三角形；
③若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况，根据相似三角形的对应边的比相等就可以求出．
【解答】解：（1）方法一：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB＝2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF＝4．
∴C点坐标为（﹣2，2）．F点坐标为（2，2）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c．
其过三点A（0，1），C（﹣2.2），F（2，2）．
得，
解这个方程组，得a＝，b＝0，c＝1，
∴此抛物线的解析式为y＝x2+1．
方法二：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB＝2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF＝4．
∴C点坐标为（﹣2，2），
根据题意可设抛物线解析式为y＝ax2+c．
其过点A（0，1）和C（﹣2.2）
解这个方程组，得a＝，c＝1
此抛物线解析式为y＝x2+1．
（2）①证明：如图（2）过点B作BN⊥PS，垂足为N．
∵P点在抛物线y＝x2+1上．可设P点坐标为（a，a2+1）．
∴PS＝a2+1，OB＝NS＝2，BN＝﹣a．
∴PN＝PS﹣NS＝，
在Rt△PNB中．
PB2＝PN2+BN2＝（a2﹣1）2+a2＝（a2+1）2
∴PB＝PS＝．
②根据①同理可知BQ＝QR．
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
同理∠SBP＝∠5，
∴2∠5+2∠3＝180°
∴∠5+∠3＝90°
∴∠SBR＝90度．
∴△SBR为直角三角形．
③方法一：如图（3）作QN⊥PS，
设PS＝b，QR＝c，
∵由①知PS＝PB＝b．QR＝QB＝c，PQ＝b+c．PN＝b﹣c．
∴QN2＝SR2＝（b+c）2﹣（b﹣c）2
∴．
假设存在点M．且MS＝x，则MR＝．
若使△PSM∽△MRQ，
则有．
即x2﹣2x+bc＝0
∴．
∴SR＝2
∴M为SR的中点．
若使△PSM∽△QRM，
则有．
∴．
∴．
∴M点即为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时．△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．
方法二：
若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，
∵∠PSM＝∠MRQ＝90°，
∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况．
当△PSM∽△MRQ时．∠SPM＝∠RMQ，∠SMP＝∠RQM．
由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR＝90°．
∴∠PMQ＝90°．
取PQ中点为T．连接MT．则MT＝PQ＝（QR+PS）．
∴MT为直角梯形SRQP的中位线，
∴点M为SR的中点，
∴＝1，
当△PSM∽△QRM时，，
∵PS∥OB∥QR，＝．
∴点M为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△QRM．
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