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2021年四川省凉山州中考数学模拟试卷（二）
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这是一份2021年四川省凉山州中考数学模拟试卷（二），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
2021年四川省凉山州中考数学模拟试卷（二）
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）比﹣5大9的数是（ ）
A．﹣10 B．﹣6 C．2 D．4
2．（4分）凉山彝族自治州位于四川省西南部，境内有彝、汉、藏、回、蒙等14个世居民族，其中彝族人口275.7万，是全国最大的彝族聚居区．将275.7万用科学记数法表示应为（ ）
A．27.57×104 B．0.257×106 C．2.757×106 D．2.757×105
3．（4分）如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
4．（4分）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2a•3a＝6a B．（3a2）3＝27a6
C．a4÷a2＝2a D．（a+b）2＝a2+ab+b2
5．（4分）关于x的分式方程﹣＝0的解为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
6．（4分）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外阅读时间，整理如下表：
阅读时间/小时
0.5及以下
0.7
0.9
1.1
1.3
1.5及以上
人数
2
9
6
5
4
4
则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
A．0.7和0.7 B．0.9和0.7 C．1和0.7 D．0.9和1.1
7．（4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝﹣的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y＝的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（4分）在△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，则下列比值中不等于sinA的是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
11．（4分）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（ ）
A．5π B．6π C．20π D．24π
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①b2＞4ac，②abc＜0，③2a+b﹣c＞0，④a+b+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）二元一次方程组的解是 ．
14．（4分）不等式组的解集是 ．
15．（4分）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB等于 ．
16．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE，则AC：BD＝ ．
17．（4分）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 ．
三、简答题(共5小题,共32分)
18．（5分）计算：（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°．
19．（5分）先化简，再求值：（﹣2a+3b）（3b+2a）﹣（3a+b）2﹣2b（a+4b），其中a＝2，b＝．
20．（6分）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G，求证：BF＝FG+DG．
21．（8分）为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意；B级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 ．
（2）图1中，∠α的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整．
（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？
（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，调查他们对精准扶贫政策落实的满意度，请用列表或画树状图的方法求出选中贫困户e的概率．
22．（8分）如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点，则k＝ ，a＝ ，c＝ ．
24．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E为BC边上的一动点（不与B，C重合），过点E作EF⊥AE，交CD于F．则线段CF长度的最大值为 ．
五、简答题（共4小题，共40分）
25．（8分）已知抛物线y＝ax2bx+c经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，求关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解．
26．（10分）为减少环境污染，提高生产效率，公司计划对A、B两类生产线全部进行改造．改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元；改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元．
（1）改造一条A类生产线和一条B类生产线所需的资金分别是多少万元？
（2）公司计划今年对A，B两类生产线共6条进行改造，改造资金由公司自筹和国家财政补贴共同承担．若今年公司自筹的改造资金不超过320万元；国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元，其中国家财政补贴投入到A、B两类生产线的改造资金分别为每条10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？
27．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，BC＝BD，连接CD交⊙O于点E，∠BCD＝∠DBE．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）过点E作EF⊥AB于F，交BC于G，已知DE＝2，EG＝3，求BG的长．
28．（12分）如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）
2021年四川省凉山州中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）比﹣5大9的数是（ ）
A．﹣10 B．﹣6 C．2 D．4
【分析】根据题意计算﹣5+9的值即可得到答案．
【解答】解：﹣5+9＝4，
故选：D．
2．（4分）凉山彝族自治州位于四川省西南部，境内有彝、汉、藏、回、蒙等14个世居民族，其中彝族人口275.7万，是全国最大的彝族聚居区．将275.7万用科学记数法表示应为（ ）
A．27.57×104 B．0.257×106 C．2.757×106 D．2.757×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：275.7万＝27570000＝2.757×106．
故选：C．
3．（4分）如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠ABC＝70°，再根据角平分线的定义可得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝35°，
故选：B．
4．（4分）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2a•3a＝6a B．（3a2）3＝27a6
C．a4÷a2＝2a D．（a+b）2＝a2+ab+b2
【分析】分别利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、完全平方公式、单项式乘以单项式运算法则化简求出答案．
【解答】解：A、2a•3a＝6a2，故此选项错误；
B、（3a2）3＝27a6，正确；
C、a4÷a2＝a2，故此选项错误；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：B．
5．（4分）关于x的分式方程﹣＝0的解为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣6﹣5x＝0，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解，
故选：B．
6．（4分）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外阅读时间，整理如下表：
阅读时间/小时
0.5及以下
0.7
0.9
1.1
1.3
1.5及以上
人数
2
9
6
5
4
4
则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
A．0.7和0.7 B．0.9和0.7 C．1和0.7 D．0.9和1.1
【分析】根据表格中的数据可知共有30人参与调查，从而可以得到从而可以得到30名学生阅读时间的中位数和众数，本题得以解决．
【解答】解：由表格可得，30名学生平均每天阅读时间的中位数是：＝0.9
30名学生平均每天阅读时间的众数是0.7，
故选：B．
7．（4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
【分析】由平行四边形的性质得出A是假命题；
由同角（或等角）的余角相等，得出B是真命题；
由线段垂直平分线的性质和正方形的性质得出C、D是真命题，即可得出答案．
【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；
B．同角（或等角）的余角相等；真命题；
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；
故选：A．
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝﹣的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y＝的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣的图象交点关于原点对称，可得出A、B两点坐标的关系，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A、C两点坐标的关系，设A点坐标为（x，﹣），表示出B、C两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣的图象交点关于原点对称，
∴设A点坐标为（x，﹣），则B点坐标为（﹣x，），C（﹣2x，﹣），
∴S△ABC＝×（﹣2x﹣x）•（﹣﹣）＝×（﹣3x）•（﹣）＝6．
故选：C．
9．（4分）在△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，则下列比值中不等于sinA的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，sinA＝，
在Rt△ACD中，sinA＝，
∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
在Rt△BCD中，sinA＝sin∠BCD＝，
故选：D．
10．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据平行线分线段成比例即可得到结论．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，，，，
故选：D．
11．（4分）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（ ）
A．5π B．6π C．20π D．24π
【分析】根据圆的面积和矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π，
故选：A．
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①b2＞4ac，②abc＜0，③2a+b﹣c＞0，④a+b+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④
【分析】①抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确；②由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，所以abc＞0，故②错误；
③对称轴：直线x＝﹣＝﹣1，b＝2a，所以2a+b﹣c＝4a﹣c，2a+b﹣c＝4a﹣c＜0，故③错误；
④对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线上横坐标为﹣3和1的点的纵坐标相同，∵x＝﹣3时，y＜0，∴x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确．
【解答】解：①∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，
所以①正确；
②由二次函数图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，
故②错误；
③∵对称轴：直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a+b﹣c＝4a﹣c，
∵a＜0，4a＜0，
c＞0，﹣c＜0，
∴2a+b﹣c＝4a﹣c＜0，
故③错误；
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线上横坐标为﹣3和1的点的纵坐标相同，∵x＝﹣3时，y＜0，∴x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确，
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）二元一次方程组的解是 ．
【分析】通过观察可以看出y的系数互为相反数，故①+②可以消去y，解得x的值，再把x的值代入①或②，都可以求出y的值．
【解答】解：，
①+②得：4x＝8，
解得x＝2，
把x＝2代入②中得：2+2y＝5，
解得y＝1.5，
所以原方程组的解为．
故答案为．
14．（4分）不等式组的解集是 ﹣2≤x＜﹣1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+4＜3，得：x＜﹣1，
解不等式≤1，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜﹣1，
故答案为：﹣2≤x＜﹣1．
15．（4分）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB等于 ．
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．
【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴，
∴∠E＝∠BOC＝22.5°，
∴∠BOD＝45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴DB＝OD＝2，
则半径OB＝＝2．
故答案为：2．
16．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE，则AC：BD＝ ：7 ．
【分析】根据平行四边形的性质证明△BCE是等边三角形，可得BC＝BE＝CE＝a，则AB＝2BC＝2a，证明∠ACB＝90°，再利用勾股定理即可求出结果．
【解答】解：在▱ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠DDCE＝∠CEB，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠CEB＝∠BCE，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝CE＝a，
则AB＝2BC＝2a，
∴AE＝BE＝CE，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝a，
∴OD＝OB＝＝＝a，
∴BD＝2OB＝a，
∴AC：BD＝a：a＝：7．
故答案为：：7．
17．（4分）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 y＝（x﹣4）2 ．
【分析】设原来的抛物线解析式为：y＝ax2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．
【解答】解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．
把P（2，2）代入，得2＝4a，
解得a＝．
故原来的抛物线解析式是：y＝x2．
设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2．
把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．
解得b＝0（舍去）或b＝4．
所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．
故答案是：y＝（x﹣4）2．
三、简答题(共5小题,共32分)
18．（5分）计算：（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°．
【分析】化简每一项为（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°＝﹣1+4+（2﹣）+3×；
【解答】解：（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°
＝﹣1+4+（2﹣）+3×
＝3+2﹣+
＝5；
19．（5分）先化简，再求值：（﹣2a+3b）（3b+2a）﹣（3a+b）2﹣2b（a+4b），其中a＝2，b＝．
【分析】直接利用整式的混合运算化简合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝9b2﹣4a2﹣（9a2+6ab+b2）﹣2ab﹣8b2
＝9b2﹣4a2﹣9a2﹣6ab﹣b2﹣2ab﹣8b2
＝﹣13a2﹣8ab，
当a＝2，b＝时，
原式＝﹣13×（2）2﹣8×2×
＝﹣13×8﹣32
＝﹣104﹣32
＝﹣136．
20．（6分）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G，求证：BF＝FG+DG．
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再利用“角角边”证明△BAF和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝AG，根据线段的和与差可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△BAF和△ADG中，
，
∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴BF＝AG，AF＝DG，
由图可知：AG＝AF+FG，
∴BF＝FG+DG．
21．（8分）为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意；B级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 60（户） ．
（2）图1中，∠α的度数是 54° ，并把图2条形统计图补充完整．
（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？
（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，调查他们对精准扶贫政策落实的满意度，请用列表或画树状图的方法求出选中贫困户e的概率．
【分析】（1）由B级别户数及其对应百分比可得答案；
（2）求出A级对应百分比可得∠α的度数，再求出C级户数即可把图2条形统计图补充完整；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由图表信息可知本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数＝21÷35%＝60（户）
故答案为：60（户）
（2）图1中，∠α的度数＝×360°＝54°； C级户数为：60﹣9﹣21﹣9＝21（户），
补全条形统计图如图2所示：
故答案为：54°；
（3）估计非常满意的人数约为×10000＝1500（户）；
（4）由题可列如下树状图：
由树状图可以看处，所有可能出现的结果共有20种，选中e的结果有8种
∴P（选中e）＝＝．
22．（8分）如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB＝∠MBF，得出OM∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；
（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，可得，即可求CM的长．
【解答】证明：（1）连接OM，
∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM，
∵BM平分∠ABD，
∴∠OBM＝∠MBF，
∴∠OMB＝∠MBF，
∴OM∥BF，
∵MF⊥BD，
∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，
∴MF是⊙O的切线；
（2）如图，连接AN，ON
∵＝，
∴AN＝BN＝4
∵AB是直径，＝，
∴∠ANB＝90°，ON⊥AB
∴AB＝＝4
∴AO＝BO＝ON＝2
∴OC＝＝＝1
∴AC＝2+1，BC＝2﹣1
∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC
∴△ACN∽△MCB
∴
∴AC•BC＝CM•CN
∴7＝3•CM
∴CM＝
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点，则k＝ ﹣2 ，a＝ ﹣2 ，c＝ 4 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以分别计算出k、a、b的值，本题得以解决．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+4过点（1，2），
∴2＝k+4，
解得k＝﹣2，
∵一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点，
∴另一个交点为（0，c），
∴，
解得，
故答案为：﹣2，﹣2，4．
24．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E为BC边上的一动点（不与B，C重合），过点E作EF⊥AE，交CD于F．则线段CF长度的最大值为 ．
【分析】由三角形相似，得出比例关系，构建二次函数，把函数式变换成顶点式，根据抛物线的性质得出答案．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠B＝∠C，∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴＝，
设BE＝x，CF＝y，正方形ABCD的边长为1，
则CE＝1﹣x，
∴＝，
∴y＝﹣x2+x．
∴y＝﹣（x﹣）2+，
∴可知抛物线的顶点为（ ，），开口向下，
∴x＝时，y最大＝．
则线段CF长度的最大值为．
故答案为：．
五、简答题（共4小题，共40分）
25．（8分）已知抛物线y＝ax2bx+c经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，求关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解．
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到关于x的一元二次方程抛ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝4，再把方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bxx+c经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，
∴关于x的一元二次方程抛ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝4，
∵方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，
∴把方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0看作关于（x﹣1）的一元二次方程，
∴x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，
∴x1＝﹣2，x2＝5，
即关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解为x1＝﹣2，x2＝5．
26．（10分）为减少环境污染，提高生产效率，公司计划对A、B两类生产线全部进行改造．改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元；改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元．
（1）改造一条A类生产线和一条B类生产线所需的资金分别是多少万元？
（2）公司计划今年对A，B两类生产线共6条进行改造，改造资金由公司自筹和国家财政补贴共同承担．若今年公司自筹的改造资金不超过320万元；国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元，其中国家财政补贴投入到A、B两类生产线的改造资金分别为每条10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？
【分析】（1）设改造一条A类生产线需要资金x万元，改造一条B类生产线需要资金y万元，根据“改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元；改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设改造m条A类生产线，则改造（6﹣m）条B类生产线，根据该公司自筹的改造资金不超过320万元且国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出改造方案的数量．
【解答】解：（1）设改造一条A类生产线需要资金x万元，改造一条B类生产线需要资金y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：改造一条A类生产线需要资金50万元，改造一条B类生产线需要资金75万元．
（2）设改造m条A类生产线，则改造（6﹣m）条B类生产线，
依题意，得：，
解得：2≤m≤4．
∵m为正整数，
∴m＝2，3，4．
答：共有3种改造方案．
27．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，BC＝BD，连接CD交⊙O于点E，∠BCD＝∠DBE．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）过点E作EF⊥AB于F，交BC于G，已知DE＝2，EG＝3，求BG的长．
【分析】（1）连接AE，由条件可得出∠AEB＝90°，证明∠C＝∠DBE，得出∠ABE+∠DBE＝90°，即∠ABD＝90°，结论得证；
（2）延长EF交⊙O于H，证明△EBC∽△GBE，得出，求出BE长，求出CG＝GE＝3，则BC＝BG+3，可得出，解出BG＝5．
【解答】（1）证明：如图1，连接AE，则∠A＝∠C，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，
∵∠C＝∠DBE，
∴∠ABE+∠DBE＝90°，即∠ABD＝90°，
∴BD是⊙O的切线
（2）解：如图2，延长EF交⊙O于H，
∵EF⊥AB，AB是直径，
∴，
∴∠ECB＝∠BEH，
∵∠EBC＝∠GBE，
∴△EBC∽△GBE，
∴，
∵BC＝BD，
∴∠D＝∠C，
∵∠C＝∠DBE，
∴∠D＝∠DBE，
∴BE＝DE＝2，
又∠AFE＝∠ABD＝90°，
∴BD∥EF，
∴∠D＝∠CEF，
∴∠C＝∠CEF，
∴CG＝GE＝3，
∴BC＝BG+CG＝BG+3，
∴，
∴BG＝﹣8（舍）或BG＝5，
即BG的长为5．
28．（12分）如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）
【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5），即可求解；
（2）连接B、C交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，即可求解；
（3）S四边形OEBF＝OB×yE＝5×yE＝12，则yE＝，将该坐标代入二次函数表达式即可求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5），
则5a＝4，解得：a＝，
抛物线的表达式为：y＝（x2﹣6x+5）＝x2﹣x+4，
函数的对称轴为：x＝3，
顶点坐标为（3，﹣）；
（2）连接B、C交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，
解得：，
直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
当x＝3时，y＝，
故点P（3，）；
（3）存在，理由：
四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形，
则S四边形OEBF＝OB×|yE|＝5×|yE|＝12，
点E在第四象限，故：则yE＝﹣，
将该坐标代入二次函数表达式得：
y＝（x2﹣6x+5）＝﹣，
解得：x＝2或4，
故点E的坐标为（2，﹣）或（4，﹣）．
2021年四川省凉山州中考数学模拟试卷（二）
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）比﹣5大9的数是（ ）
A．﹣10 B．﹣6 C．2 D．4
2．（4分）凉山彝族自治州位于四川省西南部，境内有彝、汉、藏、回、蒙等14个世居民族，其中彝族人口275.7万，是全国最大的彝族聚居区．将275.7万用科学记数法表示应为（ ）
A．27.57×104 B．0.257×106 C．2.757×106 D．2.757×105
3．（4分）如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
4．（4分）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2a•3a＝6a B．（3a2）3＝27a6
C．a4÷a2＝2a D．（a+b）2＝a2+ab+b2
5．（4分）关于x的分式方程﹣＝0的解为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
6．（4分）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外阅读时间，整理如下表：
阅读时间/小时
0.5及以下
0.7
0.9
1.1
1.3
1.5及以上
人数
2
9
6
5
4
4
则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
A．0.7和0.7 B．0.9和0.7 C．1和0.7 D．0.9和1.1
7．（4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝﹣的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y＝的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（4分）在△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，则下列比值中不等于sinA的是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
11．（4分）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（ ）
A．5π B．6π C．20π D．24π
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①b2＞4ac，②abc＜0，③2a+b﹣c＞0，④a+b+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）二元一次方程组的解是 ．
14．（4分）不等式组的解集是 ．
15．（4分）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB等于 ．
16．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE，则AC：BD＝ ．
17．（4分）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 ．
三、简答题(共5小题,共32分)
18．（5分）计算：（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°．
19．（5分）先化简，再求值：（﹣2a+3b）（3b+2a）﹣（3a+b）2﹣2b（a+4b），其中a＝2，b＝．
20．（6分）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G，求证：BF＝FG+DG．
21．（8分）为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意；B级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 ．
（2）图1中，∠α的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整．
（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？
（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，调查他们对精准扶贫政策落实的满意度，请用列表或画树状图的方法求出选中贫困户e的概率．
22．（8分）如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点，则k＝ ，a＝ ，c＝ ．
24．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E为BC边上的一动点（不与B，C重合），过点E作EF⊥AE，交CD于F．则线段CF长度的最大值为 ．
五、简答题（共4小题，共40分）
25．（8分）已知抛物线y＝ax2bx+c经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，求关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解．
26．（10分）为减少环境污染，提高生产效率，公司计划对A、B两类生产线全部进行改造．改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元；改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元．
（1）改造一条A类生产线和一条B类生产线所需的资金分别是多少万元？
（2）公司计划今年对A，B两类生产线共6条进行改造，改造资金由公司自筹和国家财政补贴共同承担．若今年公司自筹的改造资金不超过320万元；国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元，其中国家财政补贴投入到A、B两类生产线的改造资金分别为每条10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？
27．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，BC＝BD，连接CD交⊙O于点E，∠BCD＝∠DBE．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）过点E作EF⊥AB于F，交BC于G，已知DE＝2，EG＝3，求BG的长．
28．（12分）如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）
2021年四川省凉山州中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）比﹣5大9的数是（ ）
A．﹣10 B．﹣6 C．2 D．4
【分析】根据题意计算﹣5+9的值即可得到答案．
【解答】解：﹣5+9＝4，
故选：D．
2．（4分）凉山彝族自治州位于四川省西南部，境内有彝、汉、藏、回、蒙等14个世居民族，其中彝族人口275.7万，是全国最大的彝族聚居区．将275.7万用科学记数法表示应为（ ）
A．27.57×104 B．0.257×106 C．2.757×106 D．2.757×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：275.7万＝27570000＝2.757×106．
故选：C．
3．（4分）如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠ABC＝70°，再根据角平分线的定义可得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝35°，
故选：B．
4．（4分）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2a•3a＝6a B．（3a2）3＝27a6
C．a4÷a2＝2a D．（a+b）2＝a2+ab+b2
【分析】分别利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、完全平方公式、单项式乘以单项式运算法则化简求出答案．
【解答】解：A、2a•3a＝6a2，故此选项错误；
B、（3a2）3＝27a6，正确；
C、a4÷a2＝a2，故此选项错误；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：B．
5．（4分）关于x的分式方程﹣＝0的解为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣6﹣5x＝0，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解，
故选：B．
6．（4分）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外阅读时间，整理如下表：
阅读时间/小时
0.5及以下
0.7
0.9
1.1
1.3
1.5及以上
人数
2
9
6
5
4
4
则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
A．0.7和0.7 B．0.9和0.7 C．1和0.7 D．0.9和1.1
【分析】根据表格中的数据可知共有30人参与调查，从而可以得到从而可以得到30名学生阅读时间的中位数和众数，本题得以解决．
【解答】解：由表格可得，30名学生平均每天阅读时间的中位数是：＝0.9
30名学生平均每天阅读时间的众数是0.7，
故选：B．
7．（4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
【分析】由平行四边形的性质得出A是假命题；
由同角（或等角）的余角相等，得出B是真命题；
由线段垂直平分线的性质和正方形的性质得出C、D是真命题，即可得出答案．
【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；
B．同角（或等角）的余角相等；真命题；
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；
故选：A．
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝﹣的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y＝的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣的图象交点关于原点对称，可得出A、B两点坐标的关系，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A、C两点坐标的关系，设A点坐标为（x，﹣），表示出B、C两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣的图象交点关于原点对称，
∴设A点坐标为（x，﹣），则B点坐标为（﹣x，），C（﹣2x，﹣），
∴S△ABC＝×（﹣2x﹣x）•（﹣﹣）＝×（﹣3x）•（﹣）＝6．
故选：C．
9．（4分）在△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，则下列比值中不等于sinA的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，sinA＝，
在Rt△ACD中，sinA＝，
∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
在Rt△BCD中，sinA＝sin∠BCD＝，
故选：D．
10．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据平行线分线段成比例即可得到结论．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，，，，
故选：D．
11．（4分）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（ ）
A．5π B．6π C．20π D．24π
【分析】根据圆的面积和矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π，
故选：A．
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①b2＞4ac，②abc＜0，③2a+b﹣c＞0，④a+b+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④
【分析】①抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确；②由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，所以abc＞0，故②错误；
③对称轴：直线x＝﹣＝﹣1，b＝2a，所以2a+b﹣c＝4a﹣c，2a+b﹣c＝4a﹣c＜0，故③错误；
④对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线上横坐标为﹣3和1的点的纵坐标相同，∵x＝﹣3时，y＜0，∴x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确．
【解答】解：①∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，
所以①正确；
②由二次函数图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，
故②错误；
③∵对称轴：直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a+b﹣c＝4a﹣c，
∵a＜0，4a＜0，
c＞0，﹣c＜0，
∴2a+b﹣c＝4a﹣c＜0，
故③错误；
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线上横坐标为﹣3和1的点的纵坐标相同，∵x＝﹣3时，y＜0，∴x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确，
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）二元一次方程组的解是 ．
【分析】通过观察可以看出y的系数互为相反数，故①+②可以消去y，解得x的值，再把x的值代入①或②，都可以求出y的值．
【解答】解：，
①+②得：4x＝8，
解得x＝2，
把x＝2代入②中得：2+2y＝5，
解得y＝1.5，
所以原方程组的解为．
故答案为．
14．（4分）不等式组的解集是 ﹣2≤x＜﹣1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+4＜3，得：x＜﹣1，
解不等式≤1，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜﹣1，
故答案为：﹣2≤x＜﹣1．
15．（4分）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB等于 ．
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．
【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴，
∴∠E＝∠BOC＝22.5°，
∴∠BOD＝45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴DB＝OD＝2，
则半径OB＝＝2．
故答案为：2．
16．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE，则AC：BD＝ ：7 ．
【分析】根据平行四边形的性质证明△BCE是等边三角形，可得BC＝BE＝CE＝a，则AB＝2BC＝2a，证明∠ACB＝90°，再利用勾股定理即可求出结果．
【解答】解：在▱ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠DDCE＝∠CEB，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠CEB＝∠BCE，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝CE＝a，
则AB＝2BC＝2a，
∴AE＝BE＝CE，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝a，
∴OD＝OB＝＝＝a，
∴BD＝2OB＝a，
∴AC：BD＝a：a＝：7．
故答案为：：7．
17．（4分）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 y＝（x﹣4）2 ．
【分析】设原来的抛物线解析式为：y＝ax2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．
【解答】解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．
把P（2，2）代入，得2＝4a，
解得a＝．
故原来的抛物线解析式是：y＝x2．
设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2．
把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．
解得b＝0（舍去）或b＝4．
所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．
故答案是：y＝（x﹣4）2．
三、简答题(共5小题,共32分)
18．（5分）计算：（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°．
【分析】化简每一项为（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°＝﹣1+4+（2﹣）+3×；
【解答】解：（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°
＝﹣1+4+（2﹣）+3×
＝3+2﹣+
＝5；
19．（5分）先化简，再求值：（﹣2a+3b）（3b+2a）﹣（3a+b）2﹣2b（a+4b），其中a＝2，b＝．
【分析】直接利用整式的混合运算化简合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝9b2﹣4a2﹣（9a2+6ab+b2）﹣2ab﹣8b2
＝9b2﹣4a2﹣9a2﹣6ab﹣b2﹣2ab﹣8b2
＝﹣13a2﹣8ab，
当a＝2，b＝时，
原式＝﹣13×（2）2﹣8×2×
＝﹣13×8﹣32
＝﹣104﹣32
＝﹣136．
20．（6分）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G，求证：BF＝FG+DG．
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再利用“角角边”证明△BAF和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝AG，根据线段的和与差可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△BAF和△ADG中，
，
∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴BF＝AG，AF＝DG，
由图可知：AG＝AF+FG，
∴BF＝FG+DG．
21．（8分）为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意；B级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 60（户） ．
（2）图1中，∠α的度数是 54° ，并把图2条形统计图补充完整．
（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？
（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，调查他们对精准扶贫政策落实的满意度，请用列表或画树状图的方法求出选中贫困户e的概率．
【分析】（1）由B级别户数及其对应百分比可得答案；
（2）求出A级对应百分比可得∠α的度数，再求出C级户数即可把图2条形统计图补充完整；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由图表信息可知本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数＝21÷35%＝60（户）
故答案为：60（户）
（2）图1中，∠α的度数＝×360°＝54°； C级户数为：60﹣9﹣21﹣9＝21（户），
补全条形统计图如图2所示：
故答案为：54°；
（3）估计非常满意的人数约为×10000＝1500（户）；
（4）由题可列如下树状图：
由树状图可以看处，所有可能出现的结果共有20种，选中e的结果有8种
∴P（选中e）＝＝．
22．（8分）如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．
（1）求证：MF是⊙O的切线；
（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB＝∠MBF，得出OM∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；
（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，可得，即可求CM的长．
【解答】证明：（1）连接OM，
∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM，
∵BM平分∠ABD，
∴∠OBM＝∠MBF，
∴∠OMB＝∠MBF，
∴OM∥BF，
∵MF⊥BD，
∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，
∴MF是⊙O的切线；
（2）如图，连接AN，ON
∵＝，
∴AN＝BN＝4
∵AB是直径，＝，
∴∠ANB＝90°，ON⊥AB
∴AB＝＝4
∴AO＝BO＝ON＝2
∴OC＝＝＝1
∴AC＝2+1，BC＝2﹣1
∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC
∴△ACN∽△MCB
∴
∴AC•BC＝CM•CN
∴7＝3•CM
∴CM＝
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点，则k＝ ﹣2 ，a＝ ﹣2 ，c＝ 4 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以分别计算出k、a、b的值，本题得以解决．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+4过点（1，2），
∴2＝k+4，
解得k＝﹣2，
∵一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点，
∴另一个交点为（0，c），
∴，
解得，
故答案为：﹣2，﹣2，4．
24．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E为BC边上的一动点（不与B，C重合），过点E作EF⊥AE，交CD于F．则线段CF长度的最大值为 ．
【分析】由三角形相似，得出比例关系，构建二次函数，把函数式变换成顶点式，根据抛物线的性质得出答案．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠B＝∠C，∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴＝，
设BE＝x，CF＝y，正方形ABCD的边长为1，
则CE＝1﹣x，
∴＝，
∴y＝﹣x2+x．
∴y＝﹣（x﹣）2+，
∴可知抛物线的顶点为（ ，），开口向下，
∴x＝时，y最大＝．
则线段CF长度的最大值为．
故答案为：．
五、简答题（共4小题，共40分）
25．（8分）已知抛物线y＝ax2bx+c经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，求关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解．
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到关于x的一元二次方程抛ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝4，再把方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bxx+c经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，
∴关于x的一元二次方程抛ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝4，
∵方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，
∴把方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0看作关于（x﹣1）的一元二次方程，
∴x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，
∴x1＝﹣2，x2＝5，
即关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解为x1＝﹣2，x2＝5．
26．（10分）为减少环境污染，提高生产效率，公司计划对A、B两类生产线全部进行改造．改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元；改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元．
（1）改造一条A类生产线和一条B类生产线所需的资金分别是多少万元？
（2）公司计划今年对A，B两类生产线共6条进行改造，改造资金由公司自筹和国家财政补贴共同承担．若今年公司自筹的改造资金不超过320万元；国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元，其中国家财政补贴投入到A、B两类生产线的改造资金分别为每条10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？
【分析】（1）设改造一条A类生产线需要资金x万元，改造一条B类生产线需要资金y万元，根据“改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元；改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设改造m条A类生产线，则改造（6﹣m）条B类生产线，根据该公司自筹的改造资金不超过320万元且国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出改造方案的数量．
【解答】解：（1）设改造一条A类生产线需要资金x万元，改造一条B类生产线需要资金y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：改造一条A类生产线需要资金50万元，改造一条B类生产线需要资金75万元．
（2）设改造m条A类生产线，则改造（6﹣m）条B类生产线，
依题意，得：，
解得：2≤m≤4．
∵m为正整数，
∴m＝2，3，4．
答：共有3种改造方案．
27．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，BC＝BD，连接CD交⊙O于点E，∠BCD＝∠DBE．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）过点E作EF⊥AB于F，交BC于G，已知DE＝2，EG＝3，求BG的长．
【分析】（1）连接AE，由条件可得出∠AEB＝90°，证明∠C＝∠DBE，得出∠ABE+∠DBE＝90°，即∠ABD＝90°，结论得证；
（2）延长EF交⊙O于H，证明△EBC∽△GBE，得出，求出BE长，求出CG＝GE＝3，则BC＝BG+3，可得出，解出BG＝5．
【解答】（1）证明：如图1，连接AE，则∠A＝∠C，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，
∵∠C＝∠DBE，
∴∠ABE+∠DBE＝90°，即∠ABD＝90°，
∴BD是⊙O的切线
（2）解：如图2，延长EF交⊙O于H，
∵EF⊥AB，AB是直径，
∴，
∴∠ECB＝∠BEH，
∵∠EBC＝∠GBE，
∴△EBC∽△GBE，
∴，
∵BC＝BD，
∴∠D＝∠C，
∵∠C＝∠DBE，
∴∠D＝∠DBE，
∴BE＝DE＝2，
又∠AFE＝∠ABD＝90°，
∴BD∥EF，
∴∠D＝∠CEF，
∴∠C＝∠CEF，
∴CG＝GE＝3，
∴BC＝BG+CG＝BG+3，
∴，
∴BG＝﹣8（舍）或BG＝5，
即BG的长为5．
28．（12分）如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）
【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5），即可求解；
（2）连接B、C交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，即可求解；
（3）S四边形OEBF＝OB×yE＝5×yE＝12，则yE＝，将该坐标代入二次函数表达式即可求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5），
则5a＝4，解得：a＝，
抛物线的表达式为：y＝（x2﹣6x+5）＝x2﹣x+4，
函数的对称轴为：x＝3，
顶点坐标为（3，﹣）；
（2）连接B、C交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，
解得：，
直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
当x＝3时，y＝，
故点P（3，）；
（3）存在，理由：
四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形，
则S四边形OEBF＝OB×|yE|＝5×|yE|＝12，
点E在第四象限，故：则yE＝﹣，
将该坐标代入二次函数表达式得：
y＝（x2﹣6x+5）＝﹣，
解得：x＝2或4，
故点E的坐标为（2，﹣）或（4，﹣）．
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