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2021年四川省成都市中考数学模拟试卷（一）
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这是一份2021年四川省成都市中考数学模拟试卷（一），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年四川省成都市中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题要求的，请将答案填在答题卷中）
1．（3分）﹣的倒数的绝对值是（ ）
A．﹣2017 B． C．2017 D．
2．（3分）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（ ）
A．7.6×10﹣9 B．7.6×10﹣8 C．7.6×109 D．7.6×108
4．（3分）点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣1，6） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣1，0）
5．（3分）当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
6．（3分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
7．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
9．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，D是AC上一点，∠CBD＝∠A，则sin∠ABD＝（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题卷中的横线上）
11．（4分）已知a2+3a＝1，则代数式2a2+6a﹣1的值为 ．
12．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则△ACE的周长为 ．
13．（4分）如图，A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6），直线y＝mx﹣3m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
14．（4分）如图，将含60°角的直角三角形ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′．若∠BAC＝60°，AC＝1，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（6分）（1）计算：．
（2）解方程：（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7．
16．（6分）先化简：，然后再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
17．（8分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．
18．（8分）我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔学生的综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整的统计图表．
组别
成绩
组中值
频数
第一组
90≤x＜100
95
4
第二组
80≤x＜90
85
m
第三组
70≤x＜80
75
n
第四组
60≤x＜70
65
21
根据图表信息，回答下列问题：
（1）参加活动选拔的学生共有 人；表中m＝ ，n＝ ；
（2）若将各组的组中值视为该组的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩；
（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，由于这4名学生的体育综合水平相差不大，现决定随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中A和B的概率．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线和直线y＝kx+b交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，2），BC⊥y轴于点C，且OC＝6BC．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，M是AB的中点，以CM为直径的⊙O与△ABC的三边分别交于点D、E、F，连接DE、DF，DE与CM交于点P．
（1）求证：DF∥AB；
（2）若＝，DP＝6，求⊙O的直径CM的长；
（3）设tanA＝x（0＜x＜1），＝y，求y与x之间的函数关系式．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…依此类推，则a2017的值为 ．
22．（4分）有6张正面分别标有﹣1，﹣2，﹣3，0，1，4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为m，则使关于x的分式方程+2＝有正数解，且使一元二次方程mx2+4x+4＝0有两个实数根的概率为 ．
23．（4分）如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为 ．
24．（4分）如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN＝30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ＝QC．其中正确的结论是 ．（把所有正确的结论的序号都填上）
25．（4分）如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动．若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动（点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为 （计算结果不取近似值）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系y＝﹣50x+2600，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：
月份
1月
5月
销售量
3.9万台
4.3万台
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
（2）由于受国际金融危机的影响，今年1，2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m的值（保留一位小数）．（参考数据：≈5.831，≈5.916，≈6.083，≈6.164）
27．（10分）已知：如图，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于O，Q为线段DB上的一点，∠MQN＝90°，点M、N分别在直线BC、DC上，
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：DN+BM＝BC；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若MB：MC＝3：1，NQ＝，求EF的长．
28．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x＝m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021年四川省成都市中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题要求的，请将答案填在答题卷中）
1．（3分）﹣的倒数的绝对值是（ ）
A．﹣2017 B． C．2017 D．
【分析】根据倒数的定义可先求得其倒数，再计算其绝对值即可．
【解答】解：
∵﹣的倒数为﹣2017，
∴﹣的倒数的绝对值为|﹣2017|＝2017，
故选：C．
2．（3分）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：A为圆柱体，它的主视图应该为矩形；
B为长方体，它的主视图应该为矩形；
C为圆台，它的主视图应该为梯形；
D为三棱柱，它的主视图应该为矩形．
故选：C．
3．（3分）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（ ）
A．7.6×10﹣9 B．7.6×10﹣8 C．7.6×109 D．7.6×108
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.000000076用科学记数法表示为7.6×10﹣8，
故选：B．
4．（3分）点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣1，6） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣1，0）
【分析】根据平移时，坐标的变化规律“上加下减，左减右加”进行计算．
【解答】解：根据题意，得点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得点的横坐标是﹣2﹣1＝﹣3，纵坐标是﹣3+3＝0，即新点的坐标为（﹣3，0）．
故选：A．
5．（3分）当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
【分析】利用a的取值范围，进而去绝对值以及开平方得出即可．
【解答】解：∵1＜a＜2，
∴+|1﹣a|
＝2﹣a+a﹣1
＝1．
故选：B．
6．（3分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝﹣2代入x2+＝0得关于a的一元二次方程，然后解此方程即可．
【解答】解：把x＝﹣2代入x2+＝0得4﹣3a﹣a2＝0，
整理得a2+3a﹣4＝0，解得a1＝﹣4，a2＝1，
即a的值为﹣4或1．
故选：C．
7．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】从点A，B，C，D中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：∵从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形，
∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为．
故选：D．
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
【解答】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵AB＝4，
∴BO＝2，
∴的长为：＝π．
故选：B．
9．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，D是AC上一点，∠CBD＝∠A，则sin∠ABD＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】作DE⊥AB于点E，根据相等的角的三角函数值相等即可得到＝＝＝，设CD＝1，则可以求得AD的长，然后利用勾股定理即可求得DE、AE的长，则BE可以求得，根据同角三角函数之间的关系即可求解．
【解答】解：作DE⊥AB于点E．
∵∠CBD＝∠A，
∴tanA＝tan∠CBD＝＝＝＝，
设CD＝1，则BC＝2，AC＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝3，
在直角△ABC中，AB＝＝＝2，
在直角△ADE中，设DE＝x，则AE＝2x，
∵AE2+DE2＝AD2，
∴x2+（2x）2＝9，
解得：x＝，
则DE＝，AE＝．
∴BE＝AB﹣AE＝2﹣＝，
∴tan∠DBA＝＝，
∴sin∠DBA＝．
故选：A．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0，c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．
【解答】解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y＝的图象在第二、四象限，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题卷中的横线上）
11．（4分）已知a2+3a＝1，则代数式2a2+6a﹣1的值为 1 ．
【分析】原式前两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a2+3a＝1，
∴原式＝2（a2+3a）﹣1＝2﹣1＝1，
故答案为：1
12．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则△ACE的周长为 ．
【分析】过A点作AF⊥BC，垂足为F，根据含30°角的直角三角形的性质可求解AB＝AC﹣2AF，利用勾股定理可求解AC的长，结合线段垂直平分线的性质可得△ACE的周长为BC+AC的长，进而可求解．
【解答】解：过A点作AF⊥BC，垂足为F，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴AB＝AC＝2AF，
∵BC＝，
∴BF＝CF＝，
∵AC2＝AF2+CF2，
∴AC2＝（AC）2+（）2，
解得AC＝2，
∴AF＝1，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长为AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC＝．
故答案为．
13．（4分）如图，A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6），直线y＝mx﹣3m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
【分析】根据矩形中心对称的性质，过对角线交点的直线把矩形分成的两个部分的面积相等，先求得矩形中心的坐标为（5，3），把它代入直线解析式，即可求得m．
【解答】解：∵直线y＝mx﹣3m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分
∴直线必经过矩形的中心对称点O
∵根据矩形中心对称，可知O（5，3），将它代入y＝mx﹣3m+2中得：
3＝5m﹣3m+2，即m＝．
故答案为：．
14．（4分）如图，将含60°角的直角三角形ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′．若∠BAC＝60°，AC＝1，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】图中S阴影＝S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，
∴BC＝ACtan60°＝1×＝，AB＝2，
∴S△ABC＝AC•BC＝．
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC＝S△AB′C′，AB＝AB′．
∴S阴影＝S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC
＝＝．
答案为．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（6分）（1）计算：．
（2）解方程：（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7．
【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和法则计算可得；
（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）原式＝1+﹣2×+4
＝1+﹣+4
＝5；
（2）整理得，x2﹣6x+8＝0，
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
∴x﹣4＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝4，x2＝2．
16．（6分）先化简：，然后再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
【分析】先将分式化简，再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个不是增根的数代入求值．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝+
＝
＝，
当x＝﹣1时，原式＝0．
17．（8分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．
【分析】（1）根据坡度的概念得到BE：EA＝12：5，根据勾股定理计算列式即可；
（2）作FH⊥AD于H，根据正切的概念求出AH，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵斜坡AB的坡比为i＝1：，
∴BE：EA＝12：5，
设BE＝12x，则EA＝5x，
由勾股定理得，BE2+EA2＝AB2，即（12x）2+（5x）2＝262，
解得，x＝2，
则BE＝12x＝24，AE＝5x＝10，
答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米；
（2）作FH⊥AD于H，
则tan∠FAH＝，
∴AH＝≈18，
∴BF＝18﹣10＝8，
答：BF至少是8米．
18．（8分）我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔学生的综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整的统计图表．
组别
成绩
组中值
频数
第一组
90≤x＜100
95
4
第二组
80≤x＜90
85
m
第三组
70≤x＜80
75
n
第四组
60≤x＜70
65
21
根据图表信息，回答下列问题：
（1）参加活动选拔的学生共有 50 人；表中m＝ 10 ，n＝ 15 ；
（2）若将各组的组中值视为该组的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩；
（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，由于这4名学生的体育综合水平相差不大，现决定随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中A和B的概率．
【分析】（1）根据频数分布表可知第一组有4人，根据扇形统计图可知第一组所占百分比为8%，由此得出参加活动选拔的学生总数，再用学生总数乘以第三组所占百分比求出n，用学生总数减去第一、三、四组的频数之和所得的差即为m的值；
（2）利用组中值求出总数即可得出平均数；
（3）根据列表法求出所有可能即可得出恰好选中A和B的概率．
【解答】解：（1）∵第一组有4人，所占百分比为8%，
∴学生总数为：4÷8%＝50；
∴n＝50×30%＝15，
m＝50﹣4﹣15﹣21＝10．
故答案为50，10，15；
（2）＝＝74.4；
（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，现随机挑选其中两名学生代表学校参赛，所有可能的结果如下表：
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由上表可知，总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．恰好选中A和B的结果有2种，其概率为＝＝．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线和直线y＝kx+b交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，2），BC⊥y轴于点C，且OC＝6BC．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集．
【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，根据OC＝6BC，且B在反比例图象上，设B坐标为（a，﹣6a），代入反比例解析式中求出a的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数的两交点A与B的横坐标，以及0，将x轴分为四个范围，找出反比例图象在一次函数图象上方时x的范围即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣3，2）在双曲线y＝上，
∴2＝，即m＝﹣6，
∴双曲线的解析式为y＝﹣，
∵点B在双曲线y＝﹣上，且OC＝6BC，
设点B的坐标为（a，﹣6a），
∴﹣6a＝﹣，解得：a＝±1（负值舍去），
∴点B的坐标为（1，﹣6），
∵直线y＝kx+b过点A，B，
∴，
解得：．
∴直线的解析式为y＝﹣2x﹣4；
（2）根据图象得：不等式＞kx+b的解集为﹣3＜x＜0或x＞1．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，M是AB的中点，以CM为直径的⊙O与△ABC的三边分别交于点D、E、F，连接DE、DF，DE与CM交于点P．
（1）求证：DF∥AB；
（2）若＝，DP＝6，求⊙O的直径CM的长；
（3）设tanA＝x（0＜x＜1），＝y，求y与x之间的函数关系式．
【分析】（1）利用圆的性质即可直接得出结论；
（2）先设出MP，CP，再用△DOP∽△EMP表示出EP＝4，DE＝10，EM＝a，再用勾股定理即可建立方程求出a，即可得出结论；
（3）设出AE＝m，CM＝2r，得出CE＝xm，进而得到m＝，再用△DOP∽△EMP，得出，从而得出MP＝，CP＝2r﹣MP＝，即可得出函数关系式．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴DF为⊙O的直径，
∴∠OCF＝∠OFC，
∵CM为Rt△ABC斜边上的中线，
∴CM＝MB，
∴∠MCB＝∠B，
∴∠B＝∠OFC，
∴DF∥AB
（2）如图，连接CE，
∵＝，
∴设MP＝a，CP＝4a，
∴OP＝a，OD＝a，
∵DF∥AB，
∴△DOP∽△EMP，
∴，
∵DP＝6，
∴EP＝4，
∴DE＝10，EM＝a，
∵CM为Rt△ABC斜边上的中线，
∴CM＝MA，
∴∠A＝∠ACM，
∵∠AED＝∠ACM，
∴∠A＝∠AED，
∴DE＝DA，
∵CM为⊙O的直径，
∴CE⊥AB，
∴∠ACE＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴AC＝2DE＝20，
在Rt△ACE和Rt△MCE中，CE2＝AC2﹣AE2，CE2＝CM2﹣ME2，
∴AC2﹣AE2＝CM2﹣ME2，
∴（20）2﹣（5a+a）2＝（5a）2﹣（a）2
∴a＝2，
∴CM＝5a＝10；
（3）在Rt△ACE中，tanA＝＝x，
设AE＝m，CM＝2r，
∴CE＝xm，
由（2）知，AM＝CM＝2r，
∴ME＝m﹣2r，
在Rt△MCE中，CE2＝CM2﹣ME2，
∴（xm）2＝（2r）2﹣（m﹣2r）2，
∴m＝，
∵△DOP∽△EMP，
∴，
∴，
∴MP＝，
∴CP＝2r﹣MP＝，
∴y＝＝﹣x2+．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…依此类推，则a2017的值为 ﹣1008 ．
【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于﹣，n是偶数时，结果等于﹣，然后把n的值代入进行计算即可得解．
【解答】解：a1＝0，
a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，
a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，
a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，
a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，
…，
所以，n是奇数时，an＝﹣，n是偶数时，an＝﹣，
a2017＝﹣＝﹣1008．
故答案为：﹣1008．
22．（4分）有6张正面分别标有﹣1，﹣2，﹣3，0，1，4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为m，则使关于x的分式方程+2＝有正数解，且使一元二次方程mx2+4x+4＝0有两个实数根的概率为 ．
【分析】由有6张正面分别标有﹣1，﹣2，﹣3，0，1，4的不透明卡片，使关于x的分式方程+2＝有正数解，且使一元二次方程mx2+4x+4＝0有两个实数根的有：﹣1，﹣2，﹣3，0，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2）得：1﹣mx+2（x﹣2）＝﹣1，
∴x＝且x≠2，
∵关于x的分式方程+2＝有正数解，
∴2﹣m＞0且2﹣m≠1，
∴m＜2且m≠1；
∵一元二次方程mx2+4x+4＝0有两个实数根，
∴△＝16﹣16m＞0，
∴m＜1（且m≠0）；
∵有6张正面分别标有﹣1，﹣2，﹣3，0，1，4的不透明卡片，使关于x的分式方程+2＝有正数解，且使一元二次方程mx2+4x+4＝0有两个实数根的有：﹣1，﹣2，﹣3，
∴使关于x的分式方程+2＝有正数解，且使一元二次方程mx2+4x+4＝0有两个实数根的概率为：
故答案为：．
23．（4分）如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为 ．
【分析】由AE＝3EC，△ADE的面积为3，得到△CDE的面积为1，则△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则k＝ab，AB＝a，OC＝2AB＝2a，BD＝OD＝b，利用S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC得（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，整理可得ab＝，即可得到k的值．
【解答】解：连DC，如图，
∵AE＝3EC，△ADE的面积为3，
∴△CDE的面积为1，
∴△ADC的面积为4，
设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，
而点D为OB的中点，
∴BD＝OD＝b，
∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，
∴ab＝，
把A（a，b）代入双曲线y＝，
∴k＝ab＝．
故答案为：．
24．（4分）如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN＝30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ＝QC．其中正确的结论是 ①②③ ．（把所有正确的结论的序号都填上）
【分析】连接OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，根据旋转的性质得∠AOD＝∠COF＝30°，再根据圆周角定理得∠ACD＝∠FDC＝15°，然后根据三角形外角性质得∠DQN＝∠QCD+∠QDC＝30°；
同理可得∠AMN＝30°，由△DEF为等边三角形得DE＝DF，则弧DE＝弧DF，得到弧AE＝弧DC，所以∠ADE＝∠DAC，根据等腰三角形的性质有ND＝NA，于是可根据“AAS”判断△DNQ≌△ANM；利用QD＝QC，ND＝NA可判断△DNQ的周长等于AC的长；由于∠NDQ＝60°，∠DQN＝30°，则∠DNQ＝90°，所以QD＞NQ，而QD＝QC，所以QC＞NQ．
【解答】解：连接OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，如图，
∵△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，
∴∠AOD＝∠COF＝30°，
∴∠ACD＝∠AOD＝15°，∠FDC＝∠COF＝15°，
∴∠DQN＝∠QCD+∠QDC＝15°+15°＝30°，所以①正确；
同理可得∠AMN＝30°，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF，
∴弧DE＝弧DF，
∴弧AE+弧AD＝弧DC+弧CF，
而弧AD＝弧CF，
∴弧AE＝弧DC，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴ND＝NA，
在△DNQ和△ANM中
，
∴△DNQ≌△ANM（AAS），所以②正确；
∵∠ACD＝15°，∠FDC＝15°，
∴QD＝QC，
而ND＝NA，
∴ND+QD+NQ＝NA+QC+NQ＝AC，
即△DNQ的周长等于AC的长，所以③正确；
∵△DEF为等边三角形，
∴∠NDQ＝60°，
而∠DQN＝30°，
∴∠DNQ＝90°，
∴QD＞NQ，
∵QD＝QC，
∴QC＞NQ，所以④错误．
故答案为①②③．
25．（4分）如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动．若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动（点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为 14﹣2 （计算结果不取近似值）．
【分析】首先确定AT取得最大及最小时，点M、N的位置，然后分别求出每种情况下AT的值，继而可得线段AT长度的最大值与最小值的和．
【解答】解：当点M与点A重合时，AT取得最大值，
由轴对称可知，AT＝AB＝6；
当点N与点C重合时，AT取得最小值，
过点C作CD⊥l于点D，连接CT，则四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝6，
由轴对称可知，CT＝BC＝8，
在Rt△CDT中，CD＝6，CT＝8，
则DT＝＝＝2，
∴AT＝AD﹣DT＝8﹣2，
综上可得：线段AT长度的最大值与最小值的和为14﹣2．
故答案为：14﹣2．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系y＝﹣50x+2600，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：
月份
1月
5月
销售量
3.9万台
4.3万台
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
（2）由于受国际金融危机的影响，今年1，2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m的值（保留一位小数）．（参考数据：≈5.831，≈5.916，≈6.083，≈6.164）
【分析】（1）先根据表中的信息，用待定系数法确定出p，x的一次函数关系式，然后根据月度的总销售额＝月销售量×销售的单价，可列出关于销售金额和x的函数关系式，然后根据函数的性质即可得出最大销售金额以及相应的x的值即月份；
（2）由于3至5月份的销售量和售价都是同2月份进行比较，因此要先表示出2月份的销售数量和单价，根据（1）中销售量与月份，售价与月份的函数关系式先求出12月份的售价和销售量，进而可根据“今年1，2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%”来表示出2月份的销售量和售价，那么可根据3至5月份的销售总额为936÷13%（万元）来列出关于m%的方程，即可求出m的值．
【解答】解：（1）设p与x的函数关系为p＝kx+b（k≠0），
根据题意，得
解得，所以，p＝0.1x+3.8．
设月销售金额为w万元，
则w＝py＝（0.1x+3.8）（﹣50x+2600）．
化简，得W＝﹣5x2+70x+9880，
所以，W＝﹣5（x﹣7）2+10125．
当x＝7时，w取得最大值，最大值为10125．
答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元．
（2）去年12月份每台的售价为﹣50×12+2600＝2000（元），
去年12月份的销售量为0.1×12+3.8＝5（万台）．
根据题意，得2000（1﹣m%）×[5（1﹣1.5m%）+1.5]×13%×3＝936，
令m%＝t，原方程可化为7.5t2﹣14t+5.3＝0，
∴．
∴t1≈0.528，t2≈1.339（舍去）．
答：m的值约为52.8．
27．（10分）已知：如图，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于O，Q为线段DB上的一点，∠MQN＝90°，点M、N分别在直线BC、DC上，
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：DN+BM＝BC；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若MB：MC＝3：1，NQ＝，求EF的长．
【分析】（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论；
（2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论；
（3）由条件设CM＝x，MB＝3x，就用CB＝4x，得出BH＝2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论．
【解答】解：（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB＝90°．
∵∠MQN＝90°，
∴∠NQP＝∠MQB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠BDC＝∠DBC＝45°．DO＝BO
∴∠DPQ＝45°，DQ＝PQ．
∴∠DPQ＝∠DBC，
∴△QPN∽△QBM，
∴．
∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，
∴DO＝2DQ，DP＝DC
∴BQ＝3DQ．DN+NP＝BC，
∴BQ＝3PQ，
∴，
∴NP＝BM．
∴DN+BM＝BC．
（2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH＝∠DQH＝90°，
∴∠BHQ＝45°．
∵∠COB＝45°，
∴QH∥OC．
∵Q是OB的中点，
∴BH＝CH＝BC．
∵∠NQM＝90°，
∴∠NQD＝∠MQH，
∵∠QND+∠NQD＝45°，∠MQH+∠QMH＝45°
∴∠QND＝∠QMH，
∴△QHM∽△QDN，
∴，
∴HM＝ND，
∵BM﹣HM＝HB，
∴．
故答案为：
（3）∵MB：MC＝3：1，设CM＝x，
∴MB＝3x，
∴CB＝CD＝4x，
∴HB＝2x，
∴HM＝x．
∵HM＝ND，
∴ND＝3x，
∴CN＝7x
∵四边形ABCD是正方形，
∴ED∥BC，
∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴，，
∴，
∴DE＝，
∴
∵NQ＝，
∴QM＝3，
在Rt△MNQ中，由勾股定理得：
MN＝＝15．
∴，
∴NE＝
∴EM＝
设EF＝a，则FM＝7a，
∴a+7a＝
∴a＝
28．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x＝m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为﹣2，即b＝0，c＝﹣2，再将A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y＝0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标；
（2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB＝∠BOC＝90°，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标；
（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．过点Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出BD＝PE，DP＝EQ．再分两种情况讨论：①P（m，）；②P（m，2（m﹣1））．都根据BD＝PE，DP＝EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且m＞1即可判断不存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2），
∴b＝0，c＝﹣2；
∵y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），
∴0＝a+0﹣2，a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣2．
当y＝0时，2x2﹣2＝0，
解得x＝±1，
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）设P（m，n）．
∵∠PDB＝∠BOC＝90°，
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①若△OCB∽△DBP，则＝，
即＝，
解得n＝．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，）或（m，），
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（m，）
②若△OCB∽△DPB，则＝，
即＝，
解得n＝2m﹣2．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m），
∵P在第一象限，m＞1，
∴点P的坐标为（m，2m﹣2）
综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，2m﹣2）．
（3）
方法一：
假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
如图，过点Q作QE⊥l于点E．
∵∠DBP+∠BPD＝90°，∠QPE+∠BPD＝90°，
∴∠DBP＝∠QPE．
在△DBP与△EPQ中，
，
∴△DBP≌△EPQ，
∴BD＝PE，DP＝EQ．
分两种情况：
①当P（m，）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，
解得，（均不合题意舍去）；
②当P（m，2（m﹣1））时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，
解得，（均不合题意舍去）；
综上所述，不存在满足条件的点Q．
方法二：
若在第一象限内存在点Q，
①∵B（1，0），P（m，），
点Q可视为点B绕点P顺时针旋转90°而成，
将点P平移至原点，得P′（0，0），则点B′（1﹣m，），
将点B′顺时针旋转90°，则点Q′（，m﹣1），
将点P′平移回P（m，），则点Q′平移后即为点Q，
∴Q（，），
将点Q代入抛物线得：m2﹣m＝0，
∴m1＝1，m2＝0，
∴Q1（1，0），Q2（0，﹣）（均不合题意舍去），
②∵B（1，0），P（m，2m﹣2），
同理可得Q（2﹣m，3m﹣3），
将点Q代入抛物线得：3m﹣3＝2（2﹣m）2﹣2，
∴2m2﹣11m+9＝0，
∴m1＝1，m2＝，
∴Q1（1，0），Q2（﹣，）（均不合题意舍去）
综上所述，不存在满足条件的点Q．
2021年四川省成都市中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题要求的，请将答案填在答题卷中）
1．（3分）﹣的倒数的绝对值是（ ）
A．﹣2017 B． C．2017 D．
2．（3分）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（ ）
A．7.6×10﹣9 B．7.6×10﹣8 C．7.6×109 D．7.6×108
4．（3分）点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣1，6） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣1，0）
5．（3分）当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
6．（3分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
7．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
9．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，D是AC上一点，∠CBD＝∠A，则sin∠ABD＝（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题卷中的横线上）
11．（4分）已知a2+3a＝1，则代数式2a2+6a﹣1的值为 ．
12．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则△ACE的周长为 ．
13．（4分）如图，A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6），直线y＝mx﹣3m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
14．（4分）如图，将含60°角的直角三角形ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′．若∠BAC＝60°，AC＝1，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（6分）（1）计算：．
（2）解方程：（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7．
16．（6分）先化简：，然后再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
17．（8分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．
18．（8分）我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔学生的综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整的统计图表．
组别
成绩
组中值
频数
第一组
90≤x＜100
95
4
第二组
80≤x＜90
85
m
第三组
70≤x＜80
75
n
第四组
60≤x＜70
65
21
根据图表信息，回答下列问题：
（1）参加活动选拔的学生共有 人；表中m＝ ，n＝ ；
（2）若将各组的组中值视为该组的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩；
（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，由于这4名学生的体育综合水平相差不大，现决定随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中A和B的概率．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线和直线y＝kx+b交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，2），BC⊥y轴于点C，且OC＝6BC．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，M是AB的中点，以CM为直径的⊙O与△ABC的三边分别交于点D、E、F，连接DE、DF，DE与CM交于点P．
（1）求证：DF∥AB；
（2）若＝，DP＝6，求⊙O的直径CM的长；
（3）设tanA＝x（0＜x＜1），＝y，求y与x之间的函数关系式．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…依此类推，则a2017的值为 ．
22．（4分）有6张正面分别标有﹣1，﹣2，﹣3，0，1，4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为m，则使关于x的分式方程+2＝有正数解，且使一元二次方程mx2+4x+4＝0有两个实数根的概率为 ．
23．（4分）如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为 ．
24．（4分）如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN＝30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ＝QC．其中正确的结论是 ．（把所有正确的结论的序号都填上）
25．（4分）如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动．若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动（点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为 （计算结果不取近似值）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系y＝﹣50x+2600，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：
月份
1月
5月
销售量
3.9万台
4.3万台
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
（2）由于受国际金融危机的影响，今年1，2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m的值（保留一位小数）．（参考数据：≈5.831，≈5.916，≈6.083，≈6.164）
27．（10分）已知：如图，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于O，Q为线段DB上的一点，∠MQN＝90°，点M、N分别在直线BC、DC上，
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：DN+BM＝BC；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若MB：MC＝3：1，NQ＝，求EF的长．
28．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x＝m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021年四川省成都市中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题要求的，请将答案填在答题卷中）
1．（3分）﹣的倒数的绝对值是（ ）
A．﹣2017 B． C．2017 D．
【分析】根据倒数的定义可先求得其倒数，再计算其绝对值即可．
【解答】解：
∵﹣的倒数为﹣2017，
∴﹣的倒数的绝对值为|﹣2017|＝2017，
故选：C．
2．（3分）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：A为圆柱体，它的主视图应该为矩形；
B为长方体，它的主视图应该为矩形；
C为圆台，它的主视图应该为梯形；
D为三棱柱，它的主视图应该为矩形．
故选：C．
3．（3分）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（ ）
A．7.6×10﹣9 B．7.6×10﹣8 C．7.6×109 D．7.6×108
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.000000076用科学记数法表示为7.6×10﹣8，
故选：B．
4．（3分）点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣1，6） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣1，0）
【分析】根据平移时，坐标的变化规律“上加下减，左减右加”进行计算．
【解答】解：根据题意，得点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得点的横坐标是﹣2﹣1＝﹣3，纵坐标是﹣3+3＝0，即新点的坐标为（﹣3，0）．
故选：A．
5．（3分）当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
【分析】利用a的取值范围，进而去绝对值以及开平方得出即可．
【解答】解：∵1＜a＜2，
∴+|1﹣a|
＝2﹣a+a﹣1
＝1．
故选：B．
6．（3分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝﹣2代入x2+＝0得关于a的一元二次方程，然后解此方程即可．
【解答】解：把x＝﹣2代入x2+＝0得4﹣3a﹣a2＝0，
整理得a2+3a﹣4＝0，解得a1＝﹣4，a2＝1，
即a的值为﹣4或1．
故选：C．
7．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】从点A，B，C，D中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：∵从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形，
∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为．
故选：D．
8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
【解答】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵AB＝4，
∴BO＝2，
∴的长为：＝π．
故选：B．
9．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，D是AC上一点，∠CBD＝∠A，则sin∠ABD＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】作DE⊥AB于点E，根据相等的角的三角函数值相等即可得到＝＝＝，设CD＝1，则可以求得AD的长，然后利用勾股定理即可求得DE、AE的长，则BE可以求得，根据同角三角函数之间的关系即可求解．
【解答】解：作DE⊥AB于点E．
∵∠CBD＝∠A，
∴tanA＝tan∠CBD＝＝＝＝，
设CD＝1，则BC＝2，AC＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝3，
在直角△ABC中，AB＝＝＝2，
在直角△ADE中，设DE＝x，则AE＝2x，
∵AE2+DE2＝AD2，
∴x2+（2x）2＝9，
解得：x＝，
则DE＝，AE＝．
∴BE＝AB﹣AE＝2﹣＝，
∴tan∠DBA＝＝，
∴sin∠DBA＝．
故选：A．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0，c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．
【解答】解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y＝的图象在第二、四象限，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题卷中的横线上）
11．（4分）已知a2+3a＝1，则代数式2a2+6a﹣1的值为 1 ．
【分析】原式前两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a2+3a＝1，
∴原式＝2（a2+3a）﹣1＝2﹣1＝1，
故答案为：1
12．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则△ACE的周长为 ．
【分析】过A点作AF⊥BC，垂足为F，根据含30°角的直角三角形的性质可求解AB＝AC﹣2AF，利用勾股定理可求解AC的长，结合线段垂直平分线的性质可得△ACE的周长为BC+AC的长，进而可求解．
【解答】解：过A点作AF⊥BC，垂足为F，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴AB＝AC＝2AF，
∵BC＝，
∴BF＝CF＝，
∵AC2＝AF2+CF2，
∴AC2＝（AC）2+（）2，
解得AC＝2，
∴AF＝1，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长为AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC＝．
故答案为．
13．（4分）如图，A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6），直线y＝mx﹣3m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
【分析】根据矩形中心对称的性质，过对角线交点的直线把矩形分成的两个部分的面积相等，先求得矩形中心的坐标为（5，3），把它代入直线解析式，即可求得m．
【解答】解：∵直线y＝mx﹣3m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分
∴直线必经过矩形的中心对称点O
∵根据矩形中心对称，可知O（5，3），将它代入y＝mx﹣3m+2中得：
3＝5m﹣3m+2，即m＝．
故答案为：．
14．（4分）如图，将含60°角的直角三角形ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′．若∠BAC＝60°，AC＝1，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】图中S阴影＝S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，
∴BC＝ACtan60°＝1×＝，AB＝2，
∴S△ABC＝AC•BC＝．
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC＝S△AB′C′，AB＝AB′．
∴S阴影＝S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC
＝＝．
答案为．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（6分）（1）计算：．
（2）解方程：（2x﹣1）2＝x（3x+2）﹣7．
【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和法则计算可得；
（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）原式＝1+﹣2×+4
＝1+﹣+4
＝5；
（2）整理得，x2﹣6x+8＝0，
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
∴x﹣4＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝4，x2＝2．
16．（6分）先化简：，然后再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
【分析】先将分式化简，再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个不是增根的数代入求值．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝+
＝
＝，
当x＝﹣1时，原式＝0．
17．（8分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．
【分析】（1）根据坡度的概念得到BE：EA＝12：5，根据勾股定理计算列式即可；
（2）作FH⊥AD于H，根据正切的概念求出AH，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵斜坡AB的坡比为i＝1：，
∴BE：EA＝12：5，
设BE＝12x，则EA＝5x，
由勾股定理得，BE2+EA2＝AB2，即（12x）2+（5x）2＝262，
解得，x＝2，
则BE＝12x＝24，AE＝5x＝10，
答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米；
（2）作FH⊥AD于H，
则tan∠FAH＝，
∴AH＝≈18，
∴BF＝18﹣10＝8，
答：BF至少是8米．
18．（8分）我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔学生的综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整的统计图表．
组别
成绩
组中值
频数
第一组
90≤x＜100
95
4
第二组
80≤x＜90
85
m
第三组
70≤x＜80
75
n
第四组
60≤x＜70
65
21
根据图表信息，回答下列问题：
（1）参加活动选拔的学生共有 50 人；表中m＝ 10 ，n＝ 15 ；
（2）若将各组的组中值视为该组的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩；
（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，由于这4名学生的体育综合水平相差不大，现决定随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中A和B的概率．
【分析】（1）根据频数分布表可知第一组有4人，根据扇形统计图可知第一组所占百分比为8%，由此得出参加活动选拔的学生总数，再用学生总数乘以第三组所占百分比求出n，用学生总数减去第一、三、四组的频数之和所得的差即为m的值；
（2）利用组中值求出总数即可得出平均数；
（3）根据列表法求出所有可能即可得出恰好选中A和B的概率．
【解答】解：（1）∵第一组有4人，所占百分比为8%，
∴学生总数为：4÷8%＝50；
∴n＝50×30%＝15，
m＝50﹣4﹣15﹣21＝10．
故答案为50，10，15；
（2）＝＝74.4；
（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，现随机挑选其中两名学生代表学校参赛，所有可能的结果如下表：
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由上表可知，总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．恰好选中A和B的结果有2种，其概率为＝＝．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线和直线y＝kx+b交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，2），BC⊥y轴于点C，且OC＝6BC．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集．
【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，根据OC＝6BC，且B在反比例图象上，设B坐标为（a，﹣6a），代入反比例解析式中求出a的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数的两交点A与B的横坐标，以及0，将x轴分为四个范围，找出反比例图象在一次函数图象上方时x的范围即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣3，2）在双曲线y＝上，
∴2＝，即m＝﹣6，
∴双曲线的解析式为y＝﹣，
∵点B在双曲线y＝﹣上，且OC＝6BC，
设点B的坐标为（a，﹣6a），
∴﹣6a＝﹣，解得：a＝±1（负值舍去），
∴点B的坐标为（1，﹣6），
∵直线y＝kx+b过点A，B，
∴，
解得：．
∴直线的解析式为y＝﹣2x﹣4；
（2）根据图象得：不等式＞kx+b的解集为﹣3＜x＜0或x＞1．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，M是AB的中点，以CM为直径的⊙O与△ABC的三边分别交于点D、E、F，连接DE、DF，DE与CM交于点P．
（1）求证：DF∥AB；
（2）若＝，DP＝6，求⊙O的直径CM的长；
（3）设tanA＝x（0＜x＜1），＝y，求y与x之间的函数关系式．
【分析】（1）利用圆的性质即可直接得出结论；
（2）先设出MP，CP，再用△DOP∽△EMP表示出EP＝4，DE＝10，EM＝a，再用勾股定理即可建立方程求出a，即可得出结论；
（3）设出AE＝m，CM＝2r，得出CE＝xm，进而得到m＝，再用△DOP∽△EMP，得出，从而得出MP＝，CP＝2r﹣MP＝，即可得出函数关系式．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴DF为⊙O的直径，
∴∠OCF＝∠OFC，
∵CM为Rt△ABC斜边上的中线，
∴CM＝MB，
∴∠MCB＝∠B，
∴∠B＝∠OFC，
∴DF∥AB
（2）如图，连接CE，
∵＝，
∴设MP＝a，CP＝4a，
∴OP＝a，OD＝a，
∵DF∥AB，
∴△DOP∽△EMP，
∴，
∵DP＝6，
∴EP＝4，
∴DE＝10，EM＝a，
∵CM为Rt△ABC斜边上的中线，
∴CM＝MA，
∴∠A＝∠ACM，
∵∠AED＝∠ACM，
∴∠A＝∠AED，
∴DE＝DA，
∵CM为⊙O的直径，
∴CE⊥AB，
∴∠ACE＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴AC＝2DE＝20，
在Rt△ACE和Rt△MCE中，CE2＝AC2﹣AE2，CE2＝CM2﹣ME2，
∴AC2﹣AE2＝CM2﹣ME2，
∴（20）2﹣（5a+a）2＝（5a）2﹣（a）2
∴a＝2，
∴CM＝5a＝10；
（3）在Rt△ACE中，tanA＝＝x，
设AE＝m，CM＝2r，
∴CE＝xm，
由（2）知，AM＝CM＝2r，
∴ME＝m﹣2r，
在Rt△MCE中，CE2＝CM2﹣ME2，
∴（xm）2＝（2r）2﹣（m﹣2r）2，
∴m＝，
∵△DOP∽△EMP，
∴，
∴，
∴MP＝，
∴CP＝2r﹣MP＝，
∴y＝＝﹣x2+．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…依此类推，则a2017的值为 ﹣1008 ．
【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于﹣，n是偶数时，结果等于﹣，然后把n的值代入进行计算即可得解．
【解答】解：a1＝0，
a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，
a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，
a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，
a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，
…，
所以，n是奇数时，an＝﹣，n是偶数时，an＝﹣，
a2017＝﹣＝﹣1008．
故答案为：﹣1008．
22．（4分）有6张正面分别标有﹣1，﹣2，﹣3，0，1，4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为m，则使关于x的分式方程+2＝有正数解，且使一元二次方程mx2+4x+4＝0有两个实数根的概率为 ．
【分析】由有6张正面分别标有﹣1，﹣2，﹣3，0，1，4的不透明卡片，使关于x的分式方程+2＝有正数解，且使一元二次方程mx2+4x+4＝0有两个实数根的有：﹣1，﹣2，﹣3，0，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2）得：1﹣mx+2（x﹣2）＝﹣1，
∴x＝且x≠2，
∵关于x的分式方程+2＝有正数解，
∴2﹣m＞0且2﹣m≠1，
∴m＜2且m≠1；
∵一元二次方程mx2+4x+4＝0有两个实数根，
∴△＝16﹣16m＞0，
∴m＜1（且m≠0）；
∵有6张正面分别标有﹣1，﹣2，﹣3，0，1，4的不透明卡片，使关于x的分式方程+2＝有正数解，且使一元二次方程mx2+4x+4＝0有两个实数根的有：﹣1，﹣2，﹣3，
∴使关于x的分式方程+2＝有正数解，且使一元二次方程mx2+4x+4＝0有两个实数根的概率为：
故答案为：．
23．（4分）如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为 ．
【分析】由AE＝3EC，△ADE的面积为3，得到△CDE的面积为1，则△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则k＝ab，AB＝a，OC＝2AB＝2a，BD＝OD＝b，利用S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC得（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，整理可得ab＝，即可得到k的值．
【解答】解：连DC，如图，
∵AE＝3EC，△ADE的面积为3，
∴△CDE的面积为1，
∴△ADC的面积为4，
设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，
而点D为OB的中点，
∴BD＝OD＝b，
∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，
∴ab＝，
把A（a，b）代入双曲线y＝，
∴k＝ab＝．
故答案为：．
24．（4分）如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN＝30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ＝QC．其中正确的结论是 ①②③ ．（把所有正确的结论的序号都填上）
【分析】连接OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，根据旋转的性质得∠AOD＝∠COF＝30°，再根据圆周角定理得∠ACD＝∠FDC＝15°，然后根据三角形外角性质得∠DQN＝∠QCD+∠QDC＝30°；
同理可得∠AMN＝30°，由△DEF为等边三角形得DE＝DF，则弧DE＝弧DF，得到弧AE＝弧DC，所以∠ADE＝∠DAC，根据等腰三角形的性质有ND＝NA，于是可根据“AAS”判断△DNQ≌△ANM；利用QD＝QC，ND＝NA可判断△DNQ的周长等于AC的长；由于∠NDQ＝60°，∠DQN＝30°，则∠DNQ＝90°，所以QD＞NQ，而QD＝QC，所以QC＞NQ．
【解答】解：连接OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，如图，
∵△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，
∴∠AOD＝∠COF＝30°，
∴∠ACD＝∠AOD＝15°，∠FDC＝∠COF＝15°，
∴∠DQN＝∠QCD+∠QDC＝15°+15°＝30°，所以①正确；
同理可得∠AMN＝30°，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF，
∴弧DE＝弧DF，
∴弧AE+弧AD＝弧DC+弧CF，
而弧AD＝弧CF，
∴弧AE＝弧DC，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴ND＝NA，
在△DNQ和△ANM中
，
∴△DNQ≌△ANM（AAS），所以②正确；
∵∠ACD＝15°，∠FDC＝15°，
∴QD＝QC，
而ND＝NA，
∴ND+QD+NQ＝NA+QC+NQ＝AC，
即△DNQ的周长等于AC的长，所以③正确；
∵△DEF为等边三角形，
∴∠NDQ＝60°，
而∠DQN＝30°，
∴∠DNQ＝90°，
∴QD＞NQ，
∵QD＝QC，
∴QC＞NQ，所以④错误．
故答案为①②③．
25．（4分）如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动．若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动（点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为 14﹣2 （计算结果不取近似值）．
【分析】首先确定AT取得最大及最小时，点M、N的位置，然后分别求出每种情况下AT的值，继而可得线段AT长度的最大值与最小值的和．
【解答】解：当点M与点A重合时，AT取得最大值，
由轴对称可知，AT＝AB＝6；
当点N与点C重合时，AT取得最小值，
过点C作CD⊥l于点D，连接CT，则四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝6，
由轴对称可知，CT＝BC＝8，
在Rt△CDT中，CD＝6，CT＝8，
则DT＝＝＝2，
∴AT＝AD﹣DT＝8﹣2，
综上可得：线段AT长度的最大值与最小值的和为14﹣2．
故答案为：14﹣2．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系y＝﹣50x+2600，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：
月份
1月
5月
销售量
3.9万台
4.3万台
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
（2）由于受国际金融危机的影响，今年1，2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m的值（保留一位小数）．（参考数据：≈5.831，≈5.916，≈6.083，≈6.164）
【分析】（1）先根据表中的信息，用待定系数法确定出p，x的一次函数关系式，然后根据月度的总销售额＝月销售量×销售的单价，可列出关于销售金额和x的函数关系式，然后根据函数的性质即可得出最大销售金额以及相应的x的值即月份；
（2）由于3至5月份的销售量和售价都是同2月份进行比较，因此要先表示出2月份的销售数量和单价，根据（1）中销售量与月份，售价与月份的函数关系式先求出12月份的售价和销售量，进而可根据“今年1，2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%”来表示出2月份的销售量和售价，那么可根据3至5月份的销售总额为936÷13%（万元）来列出关于m%的方程，即可求出m的值．
【解答】解：（1）设p与x的函数关系为p＝kx+b（k≠0），
根据题意，得
解得，所以，p＝0.1x+3.8．
设月销售金额为w万元，
则w＝py＝（0.1x+3.8）（﹣50x+2600）．
化简，得W＝﹣5x2+70x+9880，
所以，W＝﹣5（x﹣7）2+10125．
当x＝7时，w取得最大值，最大值为10125．
答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元．
（2）去年12月份每台的售价为﹣50×12+2600＝2000（元），
去年12月份的销售量为0.1×12+3.8＝5（万台）．
根据题意，得2000（1﹣m%）×[5（1﹣1.5m%）+1.5]×13%×3＝936，
令m%＝t，原方程可化为7.5t2﹣14t+5.3＝0，
∴．
∴t1≈0.528，t2≈1.339（舍去）．
答：m的值约为52.8．
27．（10分）已知：如图，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于O，Q为线段DB上的一点，∠MQN＝90°，点M、N分别在直线BC、DC上，
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：DN+BM＝BC；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若MB：MC＝3：1，NQ＝，求EF的长．
【分析】（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论；
（2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论；
（3）由条件设CM＝x，MB＝3x，就用CB＝4x，得出BH＝2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论．
【解答】解：（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB＝90°．
∵∠MQN＝90°，
∴∠NQP＝∠MQB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠BDC＝∠DBC＝45°．DO＝BO
∴∠DPQ＝45°，DQ＝PQ．
∴∠DPQ＝∠DBC，
∴△QPN∽△QBM，
∴．
∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，
∴DO＝2DQ，DP＝DC
∴BQ＝3DQ．DN+NP＝BC，
∴BQ＝3PQ，
∴，
∴NP＝BM．
∴DN+BM＝BC．
（2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH＝∠DQH＝90°，
∴∠BHQ＝45°．
∵∠COB＝45°，
∴QH∥OC．
∵Q是OB的中点，
∴BH＝CH＝BC．
∵∠NQM＝90°，
∴∠NQD＝∠MQH，
∵∠QND+∠NQD＝45°，∠MQH+∠QMH＝45°
∴∠QND＝∠QMH，
∴△QHM∽△QDN，
∴，
∴HM＝ND，
∵BM﹣HM＝HB，
∴．
故答案为：
（3）∵MB：MC＝3：1，设CM＝x，
∴MB＝3x，
∴CB＝CD＝4x，
∴HB＝2x，
∴HM＝x．
∵HM＝ND，
∴ND＝3x，
∴CN＝7x
∵四边形ABCD是正方形，
∴ED∥BC，
∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴，，
∴，
∴DE＝，
∴
∵NQ＝，
∴QM＝3，
在Rt△MNQ中，由勾股定理得：
MN＝＝15．
∴，
∴NE＝
∴EM＝
设EF＝a，则FM＝7a，
∴a+7a＝
∴a＝
28．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x＝m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为﹣2，即b＝0，c＝﹣2，再将A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y＝0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标；
（2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB＝∠BOC＝90°，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标；
（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．过点Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出BD＝PE，DP＝EQ．再分两种情况讨论：①P（m，）；②P（m，2（m﹣1））．都根据BD＝PE，DP＝EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且m＞1即可判断不存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2），
∴b＝0，c＝﹣2；
∵y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），
∴0＝a+0﹣2，a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣2．
当y＝0时，2x2﹣2＝0，
解得x＝±1，
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）设P（m，n）．
∵∠PDB＝∠BOC＝90°，
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①若△OCB∽△DBP，则＝，
即＝，
解得n＝．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，）或（m，），
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（m，）
②若△OCB∽△DPB，则＝，
即＝，
解得n＝2m﹣2．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m），
∵P在第一象限，m＞1，
∴点P的坐标为（m，2m﹣2）
综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，2m﹣2）．
（3）
方法一：
假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
如图，过点Q作QE⊥l于点E．
∵∠DBP+∠BPD＝90°，∠QPE+∠BPD＝90°，
∴∠DBP＝∠QPE．
在△DBP与△EPQ中，
，
∴△DBP≌△EPQ，
∴BD＝PE，DP＝EQ．
分两种情况：
①当P（m，）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，
解得，（均不合题意舍去）；
②当P（m，2（m﹣1））时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，
解得，（均不合题意舍去）；
综上所述，不存在满足条件的点Q．
方法二：
若在第一象限内存在点Q，
①∵B（1，0），P（m，），
点Q可视为点B绕点P顺时针旋转90°而成，
将点P平移至原点，得P′（0，0），则点B′（1﹣m，），
将点B′顺时针旋转90°，则点Q′（，m﹣1），
将点P′平移回P（m，），则点Q′平移后即为点Q，
∴Q（，），
将点Q代入抛物线得：m2﹣m＝0，
∴m1＝1，m2＝0，
∴Q1（1，0），Q2（0，﹣）（均不合题意舍去），
②∵B（1，0），P（m，2m﹣2），
同理可得Q（2﹣m，3m﹣3），
将点Q代入抛物线得：3m﹣3＝2（2﹣m）2﹣2，
∴2m2﹣11m+9＝0，
∴m1＝1，m2＝，
∴Q1（1，0），Q2（﹣，）（均不合题意舍去）
综上所述，不存在满足条件的点Q．
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