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2021年四川省乐山市夹江县中中考数学模拟复习试卷 含解析
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这是一份2021年四川省乐山市夹江县中中考数学模拟复习试卷 含解析，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算或化简，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年四川省乐山市夹江县中中考数学模拟复习试卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a4+a2＝a6 B．2a•4a＝8a C．a5÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5
3．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
4．（3分）学校组织才艺表演比赛，前6名获奖．有13位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（ ）
A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数
5．（3分）如果关于x的一元一次不等式组的整数解为4，5，6，7．则a的取值范围是（ ）
A．7＜a≤8 B．7≤a＜8 C．a≤7 D．a≤8
6．（3分）化简+的结果是（ ）
A．x﹣2 B． C． D．
7．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线的交点到四条边的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线的交点到四个顶点的距离相等
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点D．若DE＝3，则BF＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．2π
10．（3分）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：x2﹣4x+4＝ ．
13．（3分）一个n边形的内角和等于720°，则n＝ ．
14．（3分）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝15°．则△ABC的面积为 ．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列有4个结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③b＜a+c；④4a+b＝1．请你将正确结论的番号都写出来 ．
三、计算或化简：（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）
17．（9分）计算：（﹣）﹣1﹣3tan60°+（﹣1）0+．
18．（9分）解方程：﹣＝1
19．（9分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为3，求△ABD的面积．
四、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）
20．（10分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情．
（1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ；
（2）若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
21．（10分）如图，小明想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先测量出窗口A到地面的距离AB＝16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角为α＝30°，看建筑物顶部D的仰角为β＝45°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）；
（2）求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO＝2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）利用图象求不等式：＞kx+b．
五、解答题：（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）
23．（10分）已知关于x的一元二次方程（x﹣k）2﹣x+2k＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）当实数k为何值时，代数式x12+x22﹣x1•x2+1取得最小值，并求出该最小值．
24．（10分）如图，已知等边△ABC，以AB为直径的圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）过点F作FG⊥AB，垂足为G，若AB＝12．
①求FG的长；
②求点D到FG的距离．
六、解答题：（本大题共2个小题，其中第25小题12分，第26小题13分，本大题共25分）
25．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E在BC边上（点E不和BC的端点重合），且BE＝BC，连接AE交OB于点F，过点B作AE的垂线BG交OC于点G，连接GE．
（1）求证：OF＝OG；
（2）用含n的代数式表示tan∠OBG的值；
（3）如图2，当∠GEC＝90°时，求n的值．
26．（13分）如图，已知抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），其中x1，x2为方程x2﹣2x﹣8＝0的两个根．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，设Q（x，0），△CQE的面积为y，求y关于x的函数关系式及△CQE的面积的最大值；
（3）点M的坐标为（2，0），问：在直线AC上，是否存在点F，使得△OMF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
2021年四川省乐山市夹江县中中考数学模拟复习试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a4+a2＝a6 B．2a•4a＝8a C．a5÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法与除法运算法则求出即可．
【解答】解：A、a4+a2，无法计算，故此选项错误；
B、2a•4a＝8a2，
C、a5÷a2＝a3，正确；
D、（a2）3＝a6，故此选项错误；
故选：C．
3．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
4．（3分）学校组织才艺表演比赛，前6名获奖．有13位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（ ）
A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数
【分析】由于比赛设置了6个获奖名额，共有13名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
【解答】解：因为6位获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，
而且13个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故选：C．
5．（3分）如果关于x的一元一次不等式组的整数解为4，5，6，7．则a的取值范围是（ ）
A．7＜a≤8 B．7≤a＜8 C．a≤7 D．a≤8
【分析】根据不等式组整数解的情况可直接得出答案．
【解答】解：∵不等式组的整数解为4，5，6，7，
∴7＜a≤8，
故选：A．
6．（3分）化简+的结果是（ ）
A．x﹣2 B． C． D．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝+＝＝，
故选：B．
7．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线的交点到四条边的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线的交点到四个顶点的距离相等
【分析】根据矩形的性质进行判断即可．
【解答】解：A、矩形的对角线相等，是真命题；
B、矩形对角线的交点到四条边的距离不一定相等，原命题是假命题；
C、矩形的对角线互相平分，是真命题；
D、矩形对角线的交点到四个顶点的距离相等，是真命题；
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点D．若DE＝3，则BF＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质与判定以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：连接CD，
∵DF垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠DAC＝60°，
∴△DAC＝60°，
∵DE＝3，
∴CD＝2，CE＝，
在Rt△BDC中，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△CEF中，
∴CF＝2，
∴BF＝BC﹣CF＝4，
故选：A．
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．2π
【分析】连接OB，OC．首先证明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题．
【解答】解：连接OB，OC．
∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BC＝2，
∴OB＝OC＝2，
∴的长为＝π，
故选：A．
10．（3分）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【解答】解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．
a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是 x≥﹣2且x≠1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
12．（3分）分解因式：x2﹣4x+4＝ （x﹣2）2 ．
【分析】直接用完全平方公式分解即可．
【解答】解：x2﹣4x+4＝（x﹣2）2．
13．（3分）一个n边形的内角和等于720°，则n＝ 6 ．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．
【解答】解：依题意有：
（n﹣2）•180°＝720°，
解得n＝6．
故答案为：6．
14．（3分）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则＝ ．
【分析】直接利用圆的面积求法结合正方形的性质得出P1，P2的值即可得出答案．
【解答】解：设⊙O的半径为1，则AD＝，
故S圆O＝π，
阴影部分面积为：π×2+×﹣π＝2，
则P1＝，P2＝，
故＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝15°．则△ABC的面积为 4 ．
【分析】据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD的度数，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB交BA的延长线于D，
∵∠B＝∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝∠B+∠ACB＝15°+15°＝30°，
∵AC＝4cm，CD是AB边上的高，
∴CD＝AC＝×4＝2，
∴S△ABC＝×4×2＝4，
故答案为：4．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列有4个结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③b＜a+c；④4a+b＝1．请你将正确结论的番号都写出来 ①②③ ．
【分析】①根据抛物线与x轴有2个交点，可得△＝b2﹣4ac＞0，据此判断即可．
②首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，可得b＜0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得c＞0，所以abc＜0，据此判断即可．
③根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，可得当x＝﹣1时，y＞0，所以b＜a+c，据此判断即可．
④首先根据x＝2时，y＝0，可得4a+2b+c＝0，所以（4a+b）+（b+c）＝0，然后根据无法确定b+c是否等于﹣1，也就无法确定4a+b是否等于1，据此判断即可．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∴结论①正确．
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴结论②正确．
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴b＜a+c，
∴结论③正确．
∵x＝2时，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，
∴（4a+b）+（b+c）＝0，
∵无法确定b+c是否等于﹣1，
∴无法确定4a+b是否等于1，
∴结论④不正确．
综上，可得
正确的结论有：①②③．
故答案为：①②③．
三、计算或化简：（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）
17．（9分）计算：（﹣）﹣1﹣3tan60°+（﹣1）0+．
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣3﹣3+1+2＝﹣﹣2．
18．（9分）解方程：﹣＝1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣4，
经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．
19．（9分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为3，求△ABD的面积．
【分析】首先根据已知条件判定△ACD与△BCA相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积，再用△ABC的面积减去△ACD的面积可得结论．
【解答】解：在△DAC和△ABC中，
∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△DAC∽△ABC．
又∵AC＝2，BC＝4，
∴．
又∵S△ADC＝3，
∴S△ABC＝12．
∴S△ABD＝S△ABC﹣S△ADC＝9．
四、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）
20．（10分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情．
（1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ；
（2）若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
【分析】（1）根据甲、乙两医院分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有4种等可能的情况数，其中所选的2名医护人员性别相同的有2种，
则所选的2名医护人员性别相同的概率是＝；
故答案为：；
（2）将甲、乙两所医院的医护人员分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男医护人员，2表示女医护人员），树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，满足要求的有4种．
则P（2名医生来自同一所医院的概率）＝＝．
21．（10分）如图，小明想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先测量出窗口A到地面的距离AB＝16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角为α＝30°，看建筑物顶部D的仰角为β＝45°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）；
（2）求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）作AE⊥CD于E，构建直角三角形，进而得出AE的长即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出DE，CD的长解答即可．
【解答】解：（1）作AE⊥CD于E，
则四边形ABCE为矩形，
∴CE＝AB＝16，AE＝BC，
在Rt△ACE中，
tan∠CAE＝，
∴AE＝＝＝（m），
答：AB与CD之间的距离m；
（2）在Rt△ADE中，
∵∠DAE＝45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝AB＝m，
又∵CE＝AB＝16m，
∴CD＝CE+DE＝16+（m）≈43.7m，
答：建筑物CD的高度约为43.7m．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO＝2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）利用图象求不等式：＞kx+b．
【分析】（1）利用正切函数求得A（ 1，6），然后利用待定系数法即可求得．
（2）联立方程，解方程组即可求得B的坐标；
（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．
【解答】解：（1）过A作AD垂直x轴于点D，
∵A的坐标为（n，6），
∴AD＝6，
在Rt△ACD中，tan∠ACO＝2，
∴，
解得：n＝1，
∴A的坐标为（1，6），
又∵A在上，
∴m＝6，
∵一次函数y＝kx+b过A（1，6）和C（﹣2，0）
∴
解得：
∴一次函数解析式为y＝2x+4．
∴反比例函数解析式为：，一次函数解析式为：y＝2x+4．
（2）解方程组：
解得：x1＝1（舍去），x2＝﹣3
∴B的坐标为（﹣3，﹣2）．
（3）不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜1．
五、解答题：（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）
23．（10分）已知关于x的一元二次方程（x﹣k）2﹣x+2k＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）当实数k为何值时，代数式x12+x22﹣x1•x2+1取得最小值，并求出该最小值．
【分析】（1）先把方程整理为一般式，然后计算判别式的值得到△＝4k+1≥0，于是根据判别式的意义可得k为任意实数；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，则x12+x22﹣x1•x2+1＝（x1+x2）2﹣3x1x2+1＝（2k+1）2﹣3（k2+2k）+1，然后整理后配方得到（k﹣1）2+1，再利用非负数的性质确定最小值．
【解答】解：（1）一元二次方程（x﹣k）2﹣x+2k＝0可化为：x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0，
由题意得：△＝（2k+1）2﹣4×1×（k2+2k）＝﹣4k+1≥0，
解得：．
故实数k的取值范围为：；
（2）∵x1+x2＝2k+1，，
∴＝（2k+1）2﹣3（k2+2k）+1＝k2﹣2k+2＝（k﹣1）2+1，
∵，
∴当时，取得最小值，
且最小值为：．
24．（10分）如图，已知等边△ABC，以AB为直径的圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）过点F作FG⊥AB，垂足为G，若AB＝12．
①求FG的长；
②求点D到FG的距离．
【分析】（1）连接OD，证明△OBD为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠ODB＝∠C＝60°，得出OD∥AC，则可得出DF⊥OD，结论得证；
（2）①由直角三角形的性质可得出答案；
②过D作DH⊥AB于H．利用△BDH是30°的直角三角形可求得BH长，同理可求得AG，然后根据GH＝AB﹣AG﹣BH求得即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，∠OBD＝60°，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠ODB＝∠C＝60°，
∴OD∥AC，
又∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：①由（1）得：OD∥AC，
∵O为AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴CD＝BD＝AB＝6，
∴DF＝CD•sin60°＝，CF＝CD•cos60°＝3，
∴AF＝AC﹣CF＝9，
∴FG＝AF•sin60°＝；
②如图，过D作DH⊥AB于H．
∵FG⊥AB，DH⊥AB，
∴FG∥DH，
在Rt△BDH中，∠B＝60°，
∴∠BDH＝30°，
∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3．
在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，
∴AG＝AF＝，
∵GH＝AB﹣AG﹣BH＝12﹣﹣3＝，FG⊥AB，
∴点D到FG的距离是．
六、解答题：（本大题共2个小题，其中第25小题12分，第26小题13分，本大题共25分）
25．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E在BC边上（点E不和BC的端点重合），且BE＝BC，连接AE交OB于点F，过点B作AE的垂线BG交OC于点G，连接GE．
（1）求证：OF＝OG；
（2）用含n的代数式表示tan∠OBG的值；
（3）如图2，当∠GEC＝90°时，求n的值．
【分析】（1）由“ASA”可证Rt△AOF≌Rt△BOG，可得OF＝OG；
（2）连接FG，由平行线分线段成比例可求，可得AG＝nGC，即可求解；
（3）由等腰三角形的性质可得GC＝EC，由EC＝BC﹣BE＝BC，列出关于n的方程可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AO⊥BO，
∴∠AOF＝∠BOG，
∵AE⊥BG，
∴∠OAF+∠AGB＝90°，∠AGB+∠OBG＝90°，
∴∠OAF＝∠OBG，
∴Rt△AOF≌Rt△BOG（ASA），
∴OF＝OG；
（2）如图，连接FG，
∵OF＝OG，AC⊥BD，
∴∠OGF＝45°＝∠OCB，
∴FG∥BC∥AD，
∴，
∵BE＝BC＝AD，
∴AG＝nGC，
设GC＝k，则AG＝nk，AC＝（n+1）k，
∴OB＝OC＝AC＝，
OG＝OC﹣GC＝，
∴tan∠OBG＝＝；
（3）如图，当∠GEC＝90°时，
∵∠GCE＝45°，
∴△GEC是等腰直角三角形，
∴GC＝EC，
∵tan∠OBG＝＝，
∴OG＝OB＝OC，
∴GC＝OC﹣OG＝OC＝BC，
又∵BE＝BC，
∴EC＝BC﹣BE＝BC，
∴BC＝BC，
即：n2﹣n﹣1＝0，
解得：或（舍去），
∴．
26．（13分）如图，已知抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），其中x1，x2为方程x2﹣2x﹣8＝0的两个根．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，设Q（x，0），△CQE的面积为y，求y关于x的函数关系式及△CQE的面积的最大值；
（3）点M的坐标为（2，0），问：在直线AC上，是否存在点F，使得△OMF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先利用方程求出图象与x轴交点坐标，进而将C点坐标代入求出a的值即可；
（2）作EH⊥AB于点H，可得EH∥CO，根据QE∥AC，可得出比例关系，代入求出EH的长度，求出S△CQE，得出关系式，并求最大值；
（3）存在．利用待定系数法求出AC的解析式，设F（x，﹣x+4），表示出OM、MF、OF的长度，要使△OMF是等腰三角形有三种情况：①OF＝FM时，②OM＝OF＝2时，③OM＝MF时，分别求出点F的坐标．
【解答】解：（1）解方程x2﹣2x﹣8＝0得：x1＝4，x2＝﹣2，
∴A（4，0）、B（﹣2，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x+2），
将C（0，4）代入，解得：a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）由Q（x，0），可得BQ＝x+2，AQ＝4﹣x，
作EH⊥AB于点H，
∵EH∥CO，
∴＝，
又∵QE∥AC，
∴＝，
∴＝，
即＝，所以EF＝（x+2），
∵S△CQE＝S△CBQ﹣S△EBQ＝（x+2）×4﹣（x+2）×（x+2），
即y关于x的函数关系式为y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+3（﹣2＜x＜4），
∴△CQE的面积的最大值为3；
（3）存在．理由如下：
设AC的解析式为：y＝kx+b，
∵AC过A（4，0）和C（0，4），
∴，
则AC的解析式为：y＝﹣x+4，
∵F在AC上，设F（x，﹣x+4），
∴OF＝，MF＝，OM＝2，
若△OMF是等腰三角形可能有三种情况：
①OF＝FM时，F的横坐标应为1，F（1，3）．
②OM＝OF＝2时，＝2，
化简得：x2﹣4x+6＝0
∵△＝﹣8＜0
∴这种情况不存在；
③OM＝MF＝2＝2，
化简得：x2﹣6x+8＝0
解得：x1＝2，x2＝4（舍去）
∴F（2，2），
综上所述，当△OMF是等腰三角形时，F（1，3）或（2，2）．
2021年四川省乐山市夹江县中中考数学模拟复习试卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a4+a2＝a6 B．2a•4a＝8a C．a5÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5
3．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
4．（3分）学校组织才艺表演比赛，前6名获奖．有13位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（ ）
A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数
5．（3分）如果关于x的一元一次不等式组的整数解为4，5，6，7．则a的取值范围是（ ）
A．7＜a≤8 B．7≤a＜8 C．a≤7 D．a≤8
6．（3分）化简+的结果是（ ）
A．x﹣2 B． C． D．
7．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线的交点到四条边的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线的交点到四个顶点的距离相等
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点D．若DE＝3，则BF＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．2π
10．（3分）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：x2﹣4x+4＝ ．
13．（3分）一个n边形的内角和等于720°，则n＝ ．
14．（3分）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝15°．则△ABC的面积为 ．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列有4个结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③b＜a+c；④4a+b＝1．请你将正确结论的番号都写出来 ．
三、计算或化简：（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）
17．（9分）计算：（﹣）﹣1﹣3tan60°+（﹣1）0+．
18．（9分）解方程：﹣＝1
19．（9分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为3，求△ABD的面积．
四、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）
20．（10分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情．
（1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ；
（2）若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
21．（10分）如图，小明想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先测量出窗口A到地面的距离AB＝16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角为α＝30°，看建筑物顶部D的仰角为β＝45°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）；
（2）求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO＝2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）利用图象求不等式：＞kx+b．
五、解答题：（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）
23．（10分）已知关于x的一元二次方程（x﹣k）2﹣x+2k＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）当实数k为何值时，代数式x12+x22﹣x1•x2+1取得最小值，并求出该最小值．
24．（10分）如图，已知等边△ABC，以AB为直径的圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）过点F作FG⊥AB，垂足为G，若AB＝12．
①求FG的长；
②求点D到FG的距离．
六、解答题：（本大题共2个小题，其中第25小题12分，第26小题13分，本大题共25分）
25．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E在BC边上（点E不和BC的端点重合），且BE＝BC，连接AE交OB于点F，过点B作AE的垂线BG交OC于点G，连接GE．
（1）求证：OF＝OG；
（2）用含n的代数式表示tan∠OBG的值；
（3）如图2，当∠GEC＝90°时，求n的值．
26．（13分）如图，已知抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），其中x1，x2为方程x2﹣2x﹣8＝0的两个根．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，设Q（x，0），△CQE的面积为y，求y关于x的函数关系式及△CQE的面积的最大值；
（3）点M的坐标为（2，0），问：在直线AC上，是否存在点F，使得△OMF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
2021年四川省乐山市夹江县中中考数学模拟复习试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a4+a2＝a6 B．2a•4a＝8a C．a5÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法与除法运算法则求出即可．
【解答】解：A、a4+a2，无法计算，故此选项错误；
B、2a•4a＝8a2，
C、a5÷a2＝a3，正确；
D、（a2）3＝a6，故此选项错误；
故选：C．
3．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
4．（3分）学校组织才艺表演比赛，前6名获奖．有13位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（ ）
A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数
【分析】由于比赛设置了6个获奖名额，共有13名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
【解答】解：因为6位获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，
而且13个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故选：C．
5．（3分）如果关于x的一元一次不等式组的整数解为4，5，6，7．则a的取值范围是（ ）
A．7＜a≤8 B．7≤a＜8 C．a≤7 D．a≤8
【分析】根据不等式组整数解的情况可直接得出答案．
【解答】解：∵不等式组的整数解为4，5，6，7，
∴7＜a≤8，
故选：A．
6．（3分）化简+的结果是（ ）
A．x﹣2 B． C． D．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝+＝＝，
故选：B．
7．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线的交点到四条边的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线的交点到四个顶点的距离相等
【分析】根据矩形的性质进行判断即可．
【解答】解：A、矩形的对角线相等，是真命题；
B、矩形对角线的交点到四条边的距离不一定相等，原命题是假命题；
C、矩形的对角线互相平分，是真命题；
D、矩形对角线的交点到四个顶点的距离相等，是真命题；
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点D．若DE＝3，则BF＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质与判定以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：连接CD，
∵DF垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠DAC＝60°，
∴△DAC＝60°，
∵DE＝3，
∴CD＝2，CE＝，
在Rt△BDC中，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△CEF中，
∴CF＝2，
∴BF＝BC﹣CF＝4，
故选：A．
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．2π
【分析】连接OB，OC．首先证明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题．
【解答】解：连接OB，OC．
∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BC＝2，
∴OB＝OC＝2，
∴的长为＝π，
故选：A．
10．（3分）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【解答】解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．
a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是 x≥﹣2且x≠1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
12．（3分）分解因式：x2﹣4x+4＝ （x﹣2）2 ．
【分析】直接用完全平方公式分解即可．
【解答】解：x2﹣4x+4＝（x﹣2）2．
13．（3分）一个n边形的内角和等于720°，则n＝ 6 ．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．
【解答】解：依题意有：
（n﹣2）•180°＝720°，
解得n＝6．
故答案为：6．
14．（3分）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则＝ ．
【分析】直接利用圆的面积求法结合正方形的性质得出P1，P2的值即可得出答案．
【解答】解：设⊙O的半径为1，则AD＝，
故S圆O＝π，
阴影部分面积为：π×2+×﹣π＝2，
则P1＝，P2＝，
故＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝15°．则△ABC的面积为 4 ．
【分析】据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD的度数，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB交BA的延长线于D，
∵∠B＝∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝∠B+∠ACB＝15°+15°＝30°，
∵AC＝4cm，CD是AB边上的高，
∴CD＝AC＝×4＝2，
∴S△ABC＝×4×2＝4，
故答案为：4．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列有4个结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③b＜a+c；④4a+b＝1．请你将正确结论的番号都写出来 ①②③ ．
【分析】①根据抛物线与x轴有2个交点，可得△＝b2﹣4ac＞0，据此判断即可．
②首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，可得b＜0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得c＞0，所以abc＜0，据此判断即可．
③根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，可得当x＝﹣1时，y＞0，所以b＜a+c，据此判断即可．
④首先根据x＝2时，y＝0，可得4a+2b+c＝0，所以（4a+b）+（b+c）＝0，然后根据无法确定b+c是否等于﹣1，也就无法确定4a+b是否等于1，据此判断即可．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∴结论①正确．
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴结论②正确．
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴b＜a+c，
∴结论③正确．
∵x＝2时，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，
∴（4a+b）+（b+c）＝0，
∵无法确定b+c是否等于﹣1，
∴无法确定4a+b是否等于1，
∴结论④不正确．
综上，可得
正确的结论有：①②③．
故答案为：①②③．
三、计算或化简：（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）
17．（9分）计算：（﹣）﹣1﹣3tan60°+（﹣1）0+．
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣3﹣3+1+2＝﹣﹣2．
18．（9分）解方程：﹣＝1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣4，
经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．
19．（9分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为3，求△ABD的面积．
【分析】首先根据已知条件判定△ACD与△BCA相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积，再用△ABC的面积减去△ACD的面积可得结论．
【解答】解：在△DAC和△ABC中，
∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△DAC∽△ABC．
又∵AC＝2，BC＝4，
∴．
又∵S△ADC＝3，
∴S△ABC＝12．
∴S△ABD＝S△ABC﹣S△ADC＝9．
四、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）
20．（10分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情．
（1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ；
（2）若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
【分析】（1）根据甲、乙两医院分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有4种等可能的情况数，其中所选的2名医护人员性别相同的有2种，
则所选的2名医护人员性别相同的概率是＝；
故答案为：；
（2）将甲、乙两所医院的医护人员分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男医护人员，2表示女医护人员），树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，满足要求的有4种．
则P（2名医生来自同一所医院的概率）＝＝．
21．（10分）如图，小明想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先测量出窗口A到地面的距离AB＝16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角为α＝30°，看建筑物顶部D的仰角为β＝45°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）；
（2）求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）作AE⊥CD于E，构建直角三角形，进而得出AE的长即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出DE，CD的长解答即可．
【解答】解：（1）作AE⊥CD于E，
则四边形ABCE为矩形，
∴CE＝AB＝16，AE＝BC，
在Rt△ACE中，
tan∠CAE＝，
∴AE＝＝＝（m），
答：AB与CD之间的距离m；
（2）在Rt△ADE中，
∵∠DAE＝45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝AB＝m，
又∵CE＝AB＝16m，
∴CD＝CE+DE＝16+（m）≈43.7m，
答：建筑物CD的高度约为43.7m．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO＝2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）利用图象求不等式：＞kx+b．
【分析】（1）利用正切函数求得A（ 1，6），然后利用待定系数法即可求得．
（2）联立方程，解方程组即可求得B的坐标；
（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．
【解答】解：（1）过A作AD垂直x轴于点D，
∵A的坐标为（n，6），
∴AD＝6，
在Rt△ACD中，tan∠ACO＝2，
∴，
解得：n＝1，
∴A的坐标为（1，6），
又∵A在上，
∴m＝6，
∵一次函数y＝kx+b过A（1，6）和C（﹣2，0）
∴
解得：
∴一次函数解析式为y＝2x+4．
∴反比例函数解析式为：，一次函数解析式为：y＝2x+4．
（2）解方程组：
解得：x1＝1（舍去），x2＝﹣3
∴B的坐标为（﹣3，﹣2）．
（3）不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜1．
五、解答题：（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）
23．（10分）已知关于x的一元二次方程（x﹣k）2﹣x+2k＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）当实数k为何值时，代数式x12+x22﹣x1•x2+1取得最小值，并求出该最小值．
【分析】（1）先把方程整理为一般式，然后计算判别式的值得到△＝4k+1≥0，于是根据判别式的意义可得k为任意实数；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，则x12+x22﹣x1•x2+1＝（x1+x2）2﹣3x1x2+1＝（2k+1）2﹣3（k2+2k）+1，然后整理后配方得到（k﹣1）2+1，再利用非负数的性质确定最小值．
【解答】解：（1）一元二次方程（x﹣k）2﹣x+2k＝0可化为：x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0，
由题意得：△＝（2k+1）2﹣4×1×（k2+2k）＝﹣4k+1≥0，
解得：．
故实数k的取值范围为：；
（2）∵x1+x2＝2k+1，，
∴＝（2k+1）2﹣3（k2+2k）+1＝k2﹣2k+2＝（k﹣1）2+1，
∵，
∴当时，取得最小值，
且最小值为：．
24．（10分）如图，已知等边△ABC，以AB为直径的圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）过点F作FG⊥AB，垂足为G，若AB＝12．
①求FG的长；
②求点D到FG的距离．
【分析】（1）连接OD，证明△OBD为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠ODB＝∠C＝60°，得出OD∥AC，则可得出DF⊥OD，结论得证；
（2）①由直角三角形的性质可得出答案；
②过D作DH⊥AB于H．利用△BDH是30°的直角三角形可求得BH长，同理可求得AG，然后根据GH＝AB﹣AG﹣BH求得即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，∠OBD＝60°，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠ODB＝∠C＝60°，
∴OD∥AC，
又∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：①由（1）得：OD∥AC，
∵O为AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴CD＝BD＝AB＝6，
∴DF＝CD•sin60°＝，CF＝CD•cos60°＝3，
∴AF＝AC﹣CF＝9，
∴FG＝AF•sin60°＝；
②如图，过D作DH⊥AB于H．
∵FG⊥AB，DH⊥AB，
∴FG∥DH，
在Rt△BDH中，∠B＝60°，
∴∠BDH＝30°，
∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3．
在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，
∴AG＝AF＝，
∵GH＝AB﹣AG﹣BH＝12﹣﹣3＝，FG⊥AB，
∴点D到FG的距离是．
六、解答题：（本大题共2个小题，其中第25小题12分，第26小题13分，本大题共25分）
25．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E在BC边上（点E不和BC的端点重合），且BE＝BC，连接AE交OB于点F，过点B作AE的垂线BG交OC于点G，连接GE．
（1）求证：OF＝OG；
（2）用含n的代数式表示tan∠OBG的值；
（3）如图2，当∠GEC＝90°时，求n的值．
【分析】（1）由“ASA”可证Rt△AOF≌Rt△BOG，可得OF＝OG；
（2）连接FG，由平行线分线段成比例可求，可得AG＝nGC，即可求解；
（3）由等腰三角形的性质可得GC＝EC，由EC＝BC﹣BE＝BC，列出关于n的方程可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AO⊥BO，
∴∠AOF＝∠BOG，
∵AE⊥BG，
∴∠OAF+∠AGB＝90°，∠AGB+∠OBG＝90°，
∴∠OAF＝∠OBG，
∴Rt△AOF≌Rt△BOG（ASA），
∴OF＝OG；
（2）如图，连接FG，
∵OF＝OG，AC⊥BD，
∴∠OGF＝45°＝∠OCB，
∴FG∥BC∥AD，
∴，
∵BE＝BC＝AD，
∴AG＝nGC，
设GC＝k，则AG＝nk，AC＝（n+1）k，
∴OB＝OC＝AC＝，
OG＝OC﹣GC＝，
∴tan∠OBG＝＝；
（3）如图，当∠GEC＝90°时，
∵∠GCE＝45°，
∴△GEC是等腰直角三角形，
∴GC＝EC，
∵tan∠OBG＝＝，
∴OG＝OB＝OC，
∴GC＝OC﹣OG＝OC＝BC，
又∵BE＝BC，
∴EC＝BC﹣BE＝BC，
∴BC＝BC，
即：n2﹣n﹣1＝0，
解得：或（舍去），
∴．
26．（13分）如图，已知抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），其中x1，x2为方程x2﹣2x﹣8＝0的两个根．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，设Q（x，0），△CQE的面积为y，求y关于x的函数关系式及△CQE的面积的最大值；
（3）点M的坐标为（2，0），问：在直线AC上，是否存在点F，使得△OMF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先利用方程求出图象与x轴交点坐标，进而将C点坐标代入求出a的值即可；
（2）作EH⊥AB于点H，可得EH∥CO，根据QE∥AC，可得出比例关系，代入求出EH的长度，求出S△CQE，得出关系式，并求最大值；
（3）存在．利用待定系数法求出AC的解析式，设F（x，﹣x+4），表示出OM、MF、OF的长度，要使△OMF是等腰三角形有三种情况：①OF＝FM时，②OM＝OF＝2时，③OM＝MF时，分别求出点F的坐标．
【解答】解：（1）解方程x2﹣2x﹣8＝0得：x1＝4，x2＝﹣2，
∴A（4，0）、B（﹣2，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x+2），
将C（0，4）代入，解得：a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）由Q（x，0），可得BQ＝x+2，AQ＝4﹣x，
作EH⊥AB于点H，
∵EH∥CO，
∴＝，
又∵QE∥AC，
∴＝，
∴＝，
即＝，所以EF＝（x+2），
∵S△CQE＝S△CBQ﹣S△EBQ＝（x+2）×4﹣（x+2）×（x+2），
即y关于x的函数关系式为y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+3（﹣2＜x＜4），
∴△CQE的面积的最大值为3；
（3）存在．理由如下：
设AC的解析式为：y＝kx+b，
∵AC过A（4，0）和C（0，4），
∴，
则AC的解析式为：y＝﹣x+4，
∵F在AC上，设F（x，﹣x+4），
∴OF＝，MF＝，OM＝2，
若△OMF是等腰三角形可能有三种情况：
①OF＝FM时，F的横坐标应为1，F（1，3）．
②OM＝OF＝2时，＝2，
化简得：x2﹣4x+6＝0
∵△＝﹣8＜0
∴这种情况不存在；
③OM＝MF＝2＝2，
化简得：x2﹣6x+8＝0
解得：x1＝2，x2＝4（舍去）
∴F（2，2），
综上所述，当△OMF是等腰三角形时，F（1，3）或（2，2）．
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