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    2022年中考复习基础必刷40题专题37直线与圆的位置关系

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    这是一份2022年中考复习基础必刷40题专题37直线与圆的位置关系,共34页。

    1. 如图,在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60∘,CD=2,BD=4.则△DBC的面积是( )

    A.43B.23C.2D.4

    2. 如图,AB是⊙O的切线,A为切点,连接OA,OB,若∠B=20∘,则∠AOB的度数为( )

    A.40∘B.50∘C.60∘D.70∘

    3. 如图,内接于圆,,过点的切线交的延长线于点.则( )

    A.B.C.D.

    4. 如图,直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点,根据图中标示的长度与角度,求AD的长度为何?( )

    A.32B.52C.43D.53

    5. 已知⊙P的半径为2,圆心在函数y=−8x的图象上运动,当⊙P与坐标轴相切于点D时,则符合条件的点D的个数为( )
    A.0B.1C.2D.4

    6. 如图,一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等.⊙O与BC相切于点C,与AC相交于点E,则CE的长为( )

    A.4cmB.3cmC.2cm

    7. 如图,点P在⊙O外,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,∠P=50∘,则∠AOB等于( )
    A.150∘B.130∘C.155∘D.135∘

    8. 如图,AB切圆O1于B点,AC切圆O2于C点,BC分别交圆O1、圆O2于D、E两点.若∠BO1D=40∘,∠CO2E=60∘,则∠A的度数为何?( )
    A.100B.120C.130D.140

    9. 已知圆O的圆心到直线L的距离为3,若圆上有且只有2个点到L的距离为2,则半径r的取值范围是( )
    A.r=3B.1
    10. 如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D,E,F,连接OE,OF,DE,DF,乙组∠A=80∘,则∠EDF等于( )
    A.40∘B.45∘C.50∘D.80∘

    11. 如图,直线l与⊙O的位置关系为( )
    A.相交B.相切C.相离D.内含

    12. 已知PT切⊙O于T,PB为经过圆心的割线交⊙O于点A,(PB>PA),若PT=4,PA=2,则cs∠BPT=( )
    A.45B.12C.34D.23

    13. 如图,过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D,已知PA=3,AB=PC=2,则PD的长是( )
    A.3B.7.5C.5D.5.5

    14. 如图,AB是⊙O的切线,A为切点,连接OA,OB.若∠B=35∘,则∠AOB的度数为( )

    A.65∘B.55∘C.45∘D.35∘

    15. 如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,点E是⊙O上一点,且∠AEB=60∘,则∠P的度数为( )

    A.120∘B.90∘C.60∘D.75∘

    16. 如图为平面上圆O与四条直线l1、l2、l3、l4的位置关系.若圆O的半径为20公分,且O点到其中一直线的距离为14公分,则此直线为何?( )
    A.l1B.l2C.l3D.l4

    17. 等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比是( )
    A.1B.3:1C.2:1D.3:2

    18. 如图,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,如果∠P=60∘,PA=2,那么AB的长为( )
    A.1B.2C.3D.4

    19. 下列说法错误的是 ( )
    A.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
    B.三角形一定有内切圆
    C.若弧AB和弧CD的长度都是10cm,则弧AB和弧CD是等弧
    D.90∘的圆周角所对的弦是直径

    20. 如图,PA与⊙O切于点A,PBC是⊙O的割线,如果PB=BC=2,那么PA的长为( )
    A.2B.22C.4D.8

    21. 如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C.连接BC,若∠P=36∘,则∠B=________.


    22. 如图,点A,B,D在⊙O上,∠A=20∘,BC是⊙O的切线,B为切点,OD的延长线交BC于点C,则∠OCB=________度.


    23. 如图,PA是⊙O的切线,A是切点,PA=4,OP=5,则⊙O的周长为________(结果保留π).

    24. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4, 0),点B为y轴正半轴上一点,点C是第一象限内一动点,且AC的长始终为2,则∠BOC度数的取值范围为________.

    25. 如图,AB切⊙O于点B,OA=23,∠BAO=60∘,弦BC // OA,则BC的长为________(结果保留π).

    26. 如图所示,直线AB是⊙O的切线,切点为A,OB=5,AB=4,则OA的长是________.

    27. 如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC=1,BD平方∠ABC,点P在BD上,⊙P切AB于点Q,则AP+PQ的最小值等于________.

    28. 已知如图,在△ABC中,点O为△ABC的内心,若∠A=54∘,则∠BOC=________.

    29. 如图,⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90∘,∠A,∠B,∠C所对的边长依次为3,4,5,则⊙O的半径是________.

    30. 如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,线段OP交AB于点C,根据题中所给出的条件及图中线段,找出图中线段的乘积关系________,(写出一个乘积等式即可).

    31. 如图,已知AB是圆O的弦,AC是圆O的切线,∠BAC的平分线交圆O于D,连BD并延长交AC于点C,若∠DAC=40∘,则∠B=________度,∠ADC=________度.

    32. 等边三角形的外接圆半径为10cm,那么它的内切圆的面积为________πcm2.

    33. 若三角形的面积是24cm2,周长是24cm,则这个三角形内切圆的半径=________cm.

    34. 如图,PD切⊙O于A,AB=2BC,∠CAP=120∘,则∠DAB=________度.

    35. 已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c−3|+a2−8a=4b−1−19,则△ABC的内切圆半径=________.

    36. 如图,AB是⊙O的直径,点E、F在⊙O上,且BF⌢=2BE⌢,连接OE、AF,过点B作⊙O的切线,分别与OE、AF的延长线交于点C、D.

    (1)求证: ∠COB=∠A;

    (2)若AB=6,CB=4,求线段FD的长.

    37. 如图1,四边形ABCD内接于⊙O,AD为直径,过点C作CE⊥AB于点E,连接AC.

    (1)求证:∠CAD=∠ECB;

    (2)若CE是⊙O的切线,∠CAD=30∘,连接OC,如图2.
    ①请判断四边形ABCO的形状,并说明理由;
    ②当AB=2时,求AD,AC与CD围成阴影部分的面积.

    38. 如图,已知P是⊙O外一点.用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线.要求:

    (1)用直尺和圆规作图;

    (2)保留作图的痕迹,写出必要的文字说明.

    39. 如图,在⊙O中,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,P是BC的中点,过点P作AC的垂线,交AC的延长线于点D.

    (1)求证:DP是⊙O的切线;

    (2)若AC=5,sin∠APC=513,求AP的长.

    40. 如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,CN为⊙O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC,CN于D,M两点.

    (1)求证:MD=MC;

    (2)若⊙O的半径为5,AC=45,求MC的长.
    参考答案与试题解析
    2022年中考复习基础必刷题40题——专题三十六_直线与圆的位置关系
    一、 选择题 (本题共计 20 小题 ,每题 3 分 ,共计60分 )
    1.
    【答案】
    B
    【考点】
    含30度角的直角三角形
    三角形的内切圆与内心
    三角形的面积
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:过点B作BH⊥CD于点H.
    ∵点D为△ABC的内心,A=60∘,
    ∴∠BDC=90∘+12∠A=90∘+12×60∘=120∘,
    则∠BDH=60∘.
    ∵BD=4,BD:CD=2:1,
    ∴DH=2,BH=23,CD=2,
    ∴△DBC的面积为12CD⋅BH=12×2×23=23.
    故选B.
    2.
    【答案】
    D
    【考点】
    切线的性质
    【解析】
    根据切线的性质和三角形的内角和即可得到结论.
    【解答】
    解:∵ AB是⊙O的切线,A为切点,
    ∴ ∠OAB=90∘.
    ∵ ∠B=20∘,
    ∴ ∠AOB=90∘−20∘=70∘.
    故选D.
    3.
    【答案】
    B
    【考点】
    切线的性质
    三角形的外角性质
    【解析】
    连接OC,根据切线的性质得出20CP=90∘,再由ΔP=28∘得出∠COP,最后根据外角的性质得出∠CAB
    【解答】
    解:连接OC,
    CP与圆O相切,
    OC⊥CP
    △ACB=90∘
    .AB为直径,
    ΔP=28∘
    2COP=180∘−90∘−26∘=62∘
    而OC=OA
    ∴ 20CA=∠OAC=2∠CAB=∠COP
    即∠CAB=31∘
    故选B.
    4.
    【答案】
    D
    【考点】
    三角形的内切圆与内心
    【解析】
    设AD=x,利用切线长定理得到BD=BE=1,AB=x+1,AC=AD+CE=x+4,然后根据勾股定理得到(x+1)2+52=(x+4)2,最后解方程即可.
    【解答】
    设AD=x,
    ∵ 直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点,
    ∴ BD=BE=1,
    ∴ AB=x+1,AC=AD+CE=x+4,
    在Rt△ABC中,(x+1)2+52=(x+4)2,解得x=53,
    即AD的长度为53.
    5.
    【答案】
    D
    【考点】
    切线的性质
    反比例函数图象上点的坐标特征
    【解析】
    ⊙P的半径为2,⊙P与x轴相切时,P点的纵坐标是±2,把y=±2代入函数解析式,得到x=±4,因而点D的坐标是(±4, 0),⊙P与y轴相切时,P点的横坐标是±2,把x=±2代入函数解析式,得到y=±4,因而点D的坐标是(0.±4).
    【解答】
    解:根据题意可知,当⊙P与y轴相切于点D时,得x=±2,
    把x=±2代入y=−8x得y=±4,
    ∴ D(0, 4),(0, −4);
    当⊙P与x轴相切于点D时,得y=±2,
    把y=±2代入y=−8x得x=±4,
    ∴ D(4, 0),(−4, 0),
    ∴ 符合条件的点D的个数为4,
    故选D.
    6.
    【答案】
    B
    【考点】
    等边三角形的性质
    切线的性质
    【解析】
    连接OC,并过点O作OF⊥CE于F,求出等边三角形的高即可得出圆的直径,继而得出OC的长度,在Rt△OFC中,可得出FC的长,利用垂径定理即可得出CE的长.
    【解答】
    连接OC,并过点O作OF⊥CE于F,
    ∵ △ABC为等边三角形,边长为4cm,
    ∴ △ABC的高为23cm,
    ∴ OC=3cm,
    又∵ ∠ACB=60∘,
    ∴ ∠OCF=30∘,
    在Rt△OFC中,可得FC=32cm,
    即CE=2FC=3cm.
    7.
    【答案】
    B
    【考点】
    切线的性质
    【解析】
    由PA与PB为圆的两条切线,利用切线性质得到PA与OA垂直,PB与OB垂直,在四边形APBO中,利用四边形的内角和定理即可求出∠AOB的度数.
    【解答】
    解:∵ PA、PB是⊙O的切线,
    ∴ PA⊥OA,PB⊥OB,
    ∴ ∠PAO=∠PBO=90∘,
    ∵ ∠P=50∘,
    ∴ ∠AOB=130∘.
    故选B.
    8.
    【答案】
    C
    【考点】
    切线的性质
    【解析】
    由AB切圆O1于B点,AC切圆O2于C点,得到∠ABO1=∠ACO2=90∘,由等腰三角形的性质得到∴ ∠O1BD=70∘,∠O2CE=60∘,根据三角形的内角和求得.
    【解答】
    解:∵ AB切圆O1于B点,AC切圆O2于C点,
    ∴ ∠ABO1=∠ACO2=90∘,
    ∵ O1D=O1B,O2E=O2C,
    ∴ ∠O1BD=∠O1DB=180∘−40∘2=70∘,∠O2CE=∠O2EC=12(180∘−60∘)=60∘,
    ∴ ∠ABC=20∘,∠ACB=30∘,
    ∴ ∠A=130∘,
    故选C.
    9.
    【答案】
    C
    【考点】
    直线与圆的位置关系
    【解析】
    以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为2,则两个交点在到直线l的距离是2的直线m上,圆与直线m的位置关系是相交,据此即可判断.
    【解答】
    以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为2,则两个交点在到直线l的距离是2的直线m上.
    则直线m到圆心O的距离是:2+3=5或3−2=1.
    圆O与直线m相交,因而该圆的半径r的取值范围是110.
    【答案】
    C
    【考点】
    三角形的内切圆与内心
    【解析】
    根据切线的性质得到∠OEA=∠OFA=90∘,再利用四边形内角和可计算出∠EOF=180∘−∠A=100∘,然后根据圆周角定理可得到∠EDF的度数.
    【解答】
    解:∵ ⊙O内切于△ABC,
    ∴ OE⊥AB,OF⊥AC,
    ∴ ∠OEA=∠OFA=90∘,
    ∴ ∠EOF=180∘−∠A=180∘−80∘=100∘,
    ∴ ∠EDF=12∠EOF=50∘.
    故选C.
    11.
    【答案】
    C
    【考点】
    直线与圆的位置关系
    【解析】
    根据直线与圆的交点个数判断直线与圆的位置关系即可.
    【解答】
    解:观察图形知,直线与圆没有交点,故直线与圆相离,故选C.
    12.
    【答案】
    A
    【考点】
    切线的性质
    锐角三角函数的定义
    【解析】
    先画图,设⊙O的半径是x,再利用切割线定理可得PT2=PA⋅PB,即42=2×(2+2x),易求x,进而可求OP,从而可求
    cs∠BPT.
    【解答】
    如右图所示,连接OT,设⊙O的半径是x,
    ∵ PT是切线,PB是割线,
    ∴ PT2=PA⋅PB,
    ∴ 42=2×(2+2x),
    ∴ x=3,
    ∴ OP=5,
    ∴ cs∠BPT=PTOP=45.
    13.
    【答案】
    B
    【考点】
    切割线定理
    【解析】
    由已知可得PB的长,再根据割线定理得PA⋅PB=PC⋅PD即可求得PD的长.
    【解答】
    解:∵ PA=3,AB=PC=2,
    ∴ PB=5,
    ∵ PA⋅PB=PC⋅PD,
    ∴ PD=7.5,
    故选B.
    14.
    【答案】
    B
    【考点】
    切线的性质
    【解析】
    根据切线的性质得到∠OAB=90∘,根据直角三角形的两锐角互余计算即可.
    【解答】
    解:∵ AB是⊙O的切线,
    ∴ OA⊥AB,
    ∴ ∠OAB=90∘,
    ∴ ∠AOB=90∘−∠B=55∘.
    故选B.
    15.
    【答案】
    C
    【考点】
    切线的性质
    圆周角定理
    【解析】
    连接OA、OB,在四边形PAOB中,∠OAP=∠OBP=90∘,∠AOB=2∠E=120∘,由内角和求得∠P的大小.
    【解答】
    解:连接OA、OB.
    在四边形PAOB中,由于PA、PB分别切⊙O于点A、B,
    则∠OAP=∠OBP=90∘,
    又∠AOB=2∠E=120∘,
    ∠P=60∘.
    故选C.
    16.
    【答案】
    B
    【考点】
    直线与圆的位置关系
    【解析】
    根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系:当d=r,则直线和圆相切;当dr,则直线和圆相离,进行分析判断.
    【解答】
    解:因为所求直线到圆心O点的距离为14公分<半径20公分,
    所以此直线为圆O的割线,即为直线l2.
    故选B.
    17.
    【答案】
    C
    【考点】
    三角形的内切圆与内心
    等边三角形的判定方法
    三角形的外接圆与外心
    【解析】
    作出辅助线OD、OE,证明△AOD为直角三角形且∠OAD为30∘,即可求出OD、OA的比.
    【解答】
    解:如图,连接OD、OE;
    因为AB、AC切圆O与E、D,
    所以OE⊥AB,OD⊥AC,
    又因为AO=AO,
    EO=DO,
    所以△AEO≅△ADO(HL),
    故∠DAO=∠EAO;
    又∵ △ABC为等边三角形,
    ∴ ∠BAC=60∘,
    ∴ ∠OAC=60∘×12=30∘,
    ∴ OD:AO=1:2.
    等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比是:2:1.
    故选:C.
    18.
    【答案】
    B
    【考点】
    切线长定理
    等边三角形的判定方法
    【解析】
    由切线长定理知PA=PB,根据已知条件即可判定△PAB是等边三角形,由此可求得AB的长.
    【解答】
    解:∵ PA、PB分别切⊙O于A、B,
    ∴ PA=PB;
    ∵ ∠P=60∘,
    ∴ △PAB是等边三角形;
    ∴ AB=PA=2,故选B.
    19.
    【答案】
    C
    【考点】
    三角形的内切圆与内心
    圆的有关概念
    圆周角定理
    正多边形和圆
    【解析】
    根据正多边形与圆的关系、三角形的内切圆、圆心角定理以及圆周角定理逐项分析即可.
    【解答】
    解:A、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆,是关于正多边形与圆的关系的一个定理,故该选项不符合题目的要求;
    B、任何三角形一定有内切圆,这一说法是正确的,故该选项不符合题目要求;
    C,必须是在同圆或等圆中若弧AB和弧CD的长度都是10cm,则弧AB和弧CD是等弧,所以原说法错误,符合题目的要求;
    D、90∘的圆周角所对的弦是直径,是圆周角定理的一个推论,这一说法是正确的,故该选项不符合题目要求;
    故选C.
    20.
    【答案】
    B
    【考点】
    切线的性质
    切割线定理
    相似三角形的性质与判定
    【解析】
    根据切割线定理得出PA2=PB⋅PC,再代入数据进行计算即可.
    【解答】
    解:∵ PA为⊙O的切线,A为切点,PBC是⊙O的割线,
    ∴ PA2=PB⋅PC,
    ∵ PB=BC=2,
    ∴ PC=4,
    ∴ PA2=4×2,
    ∴ PA=22,
    故选B.
    二、 填空题 (本题共计 15 小题 ,每题 3 分 ,共计45分 )
    21.
    【答案】
    27∘
    【考点】
    切线的性质
    圆周角定理
    【解析】
    直接利用切线的性质得出∠OAP=90∘,再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54∘,结合圆周角定理得出答案.
    【解答】
    解:∵ PA切⊙O于点A,
    ∴ ∠OAP=90∘.
    ∵ ∠P=36∘,
    ∴ ∠AOP=54∘,
    ∴ ∠B=12∠AOP=27∘.
    故答案为:27∘.
    22.
    【答案】
    50
    【考点】
    圆周角定理
    切线的性质
    【解析】
    由圆周角定理易求∠BOC的度数,再根据切线的性质定理可得∠OBC=90∘,进而可求出∠OCB的度数.
    【解答】
    解:∵ ∠A=20∘,
    ∴ ∠BOC=40∘,
    ∵ BC是⊙O的切线,B为切点,
    ∴ ∠OBC=90∘,
    ∴ ∠OCB=90∘−40∘=50∘,
    故答案为:50.
    23.
    【答案】

    【考点】
    切线的性质
    勾股定理
    【解析】
    连接OA,根据切线的性质求出∠OAP=90∘,根据勾股定理求出OA即可.
    【解答】
    解:
    连接OA,
    ∵ PA是⊙O的切线,A是切点,
    ∴ ∠OAP=90∘,
    在Rt△OAP中,∠OAP=90∘,PA=4,OP=5,由勾股定理得:OA=3,
    则⊙O的周长为2π×3=6π,
    故答案为:6π.
    24.
    【答案】
    60∘≤∠BOC<90∘
    【考点】
    切线的性质
    坐标与图形性质
    【解析】
    C在以A为圆心,以2为半径的圆周上,只有当OC与圆A相切(即到C点)时,∠BOC最小,根据勾股定理求出此时的OC,求出∠BOC=∠CAO,根据解直角三角形求出此时的值,根据tan∠BOC的增减性,即可求出答案.
    【解答】
    解:C在以A为圆心,以2为半径作圆,只有当OC与圆A相切(即到C点)时,∠BOC最小,
    ∵ AC=2,OA=4,
    ∴ OC=OA2−AC2=23,
    ∵ ∠BOA=∠ACO=90∘,
    ∴ ∠BOC+∠AOC=90∘,∠CAO+∠AOC=90∘,
    ∴ ∠BOC=∠OAC,
    tan∠BOC=tan∠OAC=OCAC=3,
    ∴ ∠BOC=60∘
    随着C的移动,∠BOC越来越大,
    ∵ C在第一象限,
    ∴ C不到x轴点,
    即∠BOC<90∘,
    ∴ 60∘≤∠BOC<90∘,
    故答案为:60∘≤∠BOC<90∘.
    25.
    【答案】

    【考点】
    切线的性质
    弧长的计算
    【解析】
    连接OB,OC,由AB为圆的切线,利用切线的性质得到AB与OB垂直,在直角三角形AOB中,利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长,利用勾股定理求出OB的长,即为圆的半径,由BC与OA平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,再由OB=OC,利用等边对等角得到一对角相等,进而求出∠BOC度数,利用弧长公式即可求出弧BC的长.
    【解答】
    解:连接OB,OC,
    ∵ AB为圆O的切线,
    ∴ OB⊥AB,
    在△AOB中,OA=23,∠BAO=60∘,
    ∴ ∠AOB=30∘,即AB=3,
    根据勾股定理得:OB=3,
    ∵ BC // OA,
    ∴ ∠OBC=∠AOB=30∘,
    ∵ OB=OC,
    ∴ ∠OBC=∠OCB=30∘,
    ∴ ∠BOC=120∘,
    则BC的长l=120π×3180=2π,
    故答案为:2π
    26.
    【答案】
    3
    【考点】
    切线的性质
    勾股定理
    【解析】
    根据切线的性质推知△OAB是直角三角形,然后在直角三角形OAB中由勾股定理来求OA的长度.
    【解答】
    解:∵ 直线AB是⊙O的切线,
    ∴ OA⊥AB,
    ∴ ∠OAB=90∘.
    又OB=5,AB=4,
    ∴ OA=OB2−AB2=52−42=3.
    故答案是:3.
    27.
    【答案】
    22
    【考点】
    轴对称——最短路线问题
    切线的性质
    【解析】
    过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点P′,过点P′作P′Q′⊥AB于点Q′,因为BD平分∠ABC,所以P′Q′=P′M,这时AP′+P′Q′有最小值,即AM的长度,当P和P′重合时,AP+PQ的最小值就是AM的长,运用勾股定理求出BC,再根据直角三角形斜边中线的性质得出AM的值,即AP+PQ的最小值.
    【解答】
    解:如图,过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点P′,过点P′作P′Q′⊥AB于点Q′,
    ∵ BD平分∠ABC.
    ∴ P′Q′=P′M,这时AP′+P′Q′有最小值,即AM的长度,
    ∴ 当P和P′重合时,AP+PQ的最小值就是AM的长,
    ∵ AB=AC=1,∠BAC=90∘,
    ∴ BC=AB2+AC2=2.
    ∵ △ABC是等腰直角三角形,
    ∴ AM是直角三角形斜边的中线,
    ∴ AM=12BC=22
    即PC+PQ的最小值为22,
    故答案为22.
    28.
    【答案】
    117∘
    【考点】
    三角形的内切圆与内心
    【解析】
    根据内心的性质设∠ABO=∠CBO=x,∠ACO=∠BCO=y,由三角形内角和定理得2x+2y+∠A=180∘,x+y+∠BOC=180∘,两式消去x+y,得∠BOC=90∘+12∠A,由此求解.
    【解答】
    解:∵ 点O为△ABC的内心,
    ∴ BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
    ∴ ∠BOC=90∘+12∠A=90∘+12×54∘=117∘.
    故答案为:117∘.
    29.
    【答案】
    2
    【考点】
    切线长定理
    【解析】
    先连接OD、OE根据⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切,得出AF=AD,BE=BF,CE=CD,再根据OD⊥AD,OE⊥BC,∠ACB=90∘,得出四边形ODCE是正方形,
    最后设OD=r,列出5+3−r=4+r,求出r=2即可.
    【解答】
    解:连接OD、OE,
    ∵ ⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切,
    ∴ AF=AD,BE=BF,CE=CD,
    OD⊥AD,OE⊥BC,
    ∵ ∠ACB=90∘,
    ∴ 四边形ODCE是正方形,
    设OD=r,则CD=CE=r,
    ∵ BC=3,
    ∴ BE=BF=3−r,
    ∵ AB=5,AC=4,
    ∴ AF=AB+BF=5+3−r,
    AD=AC+CD=4+r,
    ∴ 5+3−r=4+r,
    r=2,
    则⊙O的半径是2.
    故答案为:2.
    30.
    【答案】
    PA2=PC⋅OP
    【考点】
    切线的性质
    相似三角形的性质与判定
    【解析】
    根据切线的性质和切线长定理以及等腰三角形的性质可判定△PAO∽△PCA,根据相似的性质得到比例式,进而得到线段的乘积关系.
    【解答】
    解:PA2=PC⋅OP,
    理由如下:
    ∵ PA,PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,
    ∴ PA=PB,∠APC=∠BPC,
    ∴ PC⊥AB,
    ∴ ∠ACP=90∘,
    ∵ PA,⊙O的切线,
    ∴ ∠OAP=90∘,
    ∵ ∠APO=∠APO,
    ∴ △PAO∽△PCA,
    ∴ PAPC=POPA,
    ∴ PA2=PC⋅OP,
    故答案为:PA2=PC⋅OP.
    31.
    【答案】
    40,80
    【考点】
    弦切角定理
    【解析】
    根据弦切角定理得出∠B=∠DAC,再利用三角形的外角求出∠ADC=∠B+∠BAD即可得出答案.
    【解答】
    解:∵ AC是圆O的切线,∠DAC=40∘,
    ∴ ∠B=40∘,
    ∵ ∠BAC的平分线交圆O于D,
    ∴ ∠BAD=∠DAC=40∘,
    ∴ ∠ADC=∠B+∠BAD=40∘+40∘=80∘,
    故答案为:40,80.
    32.
    【答案】
    25
    【考点】
    三角形的内切圆与内心
    等边三角形的判定方法
    【解析】
    首先根据题意画出图形,设圆心为O,内切圆与三角形相切于E、F、M点,连接OF、OA,由题意可知外接圆与内切圆属同心圆,故OA为外接圆的半径,OF为内切圆的半径,由∠OAF=30∘,OF⊥AC,即可得出两圆半径之比,进而得出内切圆半径,即可得出圆的面积.
    【解答】
    解:如图,连接OF、OA,
    ∵ 等边三角形ABC,
    ∴ 外接圆与内切圆属同心圆,
    ∴ ∠OAF=30∘,OF⊥AC,
    ∴ OA:OF=2:1,
    ∴ R:r=2,
    ∵ 等边三角形的外接圆半径为10cm,
    ∴ 等边三角形的内切圆的半径为5cm,
    ∴ 它的内切圆的面积为:25πcm2.
    故答案为:25.
    33.
    【答案】
    2
    【考点】
    三角形的内切圆与内心
    【解析】
    根据三角形的面积=12×三角形的周长×内切圆的半径,即可求解.
    【解答】
    解:设这个三角形的内切圆的半径是r,则12×24r=24,
    解得:r=2.
    故答案是:2.
    34.
    【答案】
    40
    【考点】
    切线的性质
    【解析】
    连接OC,根据切线的性质和圆心角定理计算即可.
    【解答】
    解:连接OC,
    ∵ ∠CAP=120∘,
    ∴ ∠CAD=60∘,
    ∴ ∠COA=120∘,
    弧AC=120∘
    又∵ AB弧=2BC,
    ∴ AB弧=120×23=80∘
    ∴ ∠BOA=80∘,
    ∵ OA=OB,
    ∴ ∠OAB=∠OBA=180∘−80∘2=50∘,
    ∵ PD是⊙O切线,
    ∴ ∠OAD=90∘,
    ∴ ∠DAB=90∘−50∘=40∘,
    故答案为:40.
    35.
    【答案】
    1
    【考点】
    三角形的内切圆与内心
    非负数的性质:绝对值
    非负数的性质:偶次方
    勾股定理的逆定理
    【解析】
    由非负性可求a,b,c的值,由勾股定理的逆定理可证△ABC是直角三角形,∠ABC=90∘,由面积法可求△ABC的内切圆半径.
    【解答】
    解:∵ b+|c−3|+a2−8a=4b−1−19,
    ∴ |c−3|+(a−4)2+(b−1−2)2=0,
    ∴ c=3,a=4,b=5,
    ∵ 32+42=25=52,
    ∴ c2+a2=b2,
    ∴ △ABC是直角三角形,∠ABC=90∘,
    设内切圆的半径为r,
    根据题意,得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5,
    ∴ r=1.
    故答案为:1.
    三、 解答题 (本题共计 5 小题 ,每题 10 分 ,共计50分 )
    36.
    【答案】
    (1)证明:如图,取BF⌢的中点M,连接OM、OF,
    BF⌢=2BE⌢,
    ∴ BM⌢=MF⌢=BE⌢,
    ∴ ∠COB=12∠BOF,
    ∵ ∠A=12∠BOF,
    ∴ ∠COB=∠A;
    (2)解:连接BF,
    ∵ CD是⊙O的切线,
    ∴ AB⊥CD,
    由(1)知∠COB=∠A,
    ∴ △OBC∼△ABD,
    ∴ OBBC=ABBD,
    ∵ AB=6,CB=4,
    ∴ BD=BC⋅ABOB=4×63=8,
    ∴ AD=62+82=10,
    ∵ AB是⊙O的直径,
    ∴ BF⊥AD,
    ∵ ∠D=∠D,
    ∴ △BFD∽ABD,
    ∴ FDBD=BDAD,
    ∴ FD=BD2AD=8210=325.
    【考点】
    直线与圆的位置关系
    圆周角定理
    扇形面积的计算
    切线的判定与性质
    垂径定理
    勾股定理
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    (1)证明:如图,取BF⌢的中点M,连接OM、OF,
    BF⌢=2BE⌢,
    ∴ BM⌢=MF⌢=BE⌢,
    ∴ ∠COB=12∠BOF,
    ∵ ∠A=12∠BOF,
    ∴ ∠COB=∠A;
    (2)解:连接BF,
    ∵ CD是⊙O的切线,
    ∴ AB⊥CD,
    由(1)知∠COB=∠A,
    ∴ △OBC∼△ABD,
    ∴ OBBC=ABBD,
    ∵ AB=6,CB=4,
    ∴ BD=BC⋅ABOB=4×63=8,
    ∴ AD=62+82=10,
    ∵ AB是⊙O的直径,
    ∴ BF⊥AD,
    ∵ ∠D=∠D,
    ∴ △BFD∽ABD,
    ∴ FDBD=BDAD,
    ∴ FD=BD2AD=8210=325.
    37.
    【答案】
    (1)证明:∵ 四边形ABCD内接于⊙O,
    ∴ ∠D+∠ABC=180∘,
    ∵ ∠EBC+∠ABC=180∘,
    ∴ ∠D=∠EBC,
    ∵ AD为⊙O直径,
    ∴ ∠ACD=90∘,
    ∴ ∠D+∠CAD=90∘,
    ∵ CE⊥AB,
    ∴ ∠ECB+∠EBC=90∘,
    ∴ ∠CAD=∠ECB;
    (2)①四边形ABCO是菱形,理由如下:
    ∵ CE是⊙O的切线,
    ∴ OC⊥EC,
    ∵ AB⊥EC,
    ∴ ∠OCE=∠E=90∘,
    ∴ ∠OCE+∠E=180∘,
    ∴ OC//AE,
    ∴ ∠ACO=∠BAC,
    ∵ OA=OC,
    ∴ ∠ACO=∠CAD,
    ∴ ∠BAC=∠CAD,
    ∵ ∠CAD=∠ECB,∠CAD=30∘,
    ∴ ∠EBC=90∘−30∘=60∘,
    ∴ ∠BAO=∠EBC=60∘,
    ∴ BC//AO,
    ∴ 四边形ABCO是平行四边形,
    ∵ OA=OC,
    ∴ 四边形ABCO是菱形;
    ②∵ 四边形ABCO是菱形,
    ∴ AO=AB=2,AD=4,
    ∵ ∠CAD=30∘,
    ∴ CD=12AD=2,AC=23,
    过点C作CF⊥AD于点F,
    ∴ CF=3,
    ∴ S△AOC=12×2×3=3,
    ∵ OC//AE,
    ∴ ∠DOC=∠BAO=60∘,
    ∴ S扇形OCD=60π×22360=23π,
    ∴ 阴影部分的面积为3+23π.
    【考点】
    圆周角定理
    三角形内角和定理
    切线的判定
    平行四边形的性质
    角平分线的定义
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    (1)证明:∵ 四边形ABCD内接于⊙O,
    ∴ ∠D+∠ABC=180∘,
    ∵ ∠EBC+∠ABC=180∘,
    ∴ ∠D=∠EBC,
    ∵ AD为⊙O直径,
    ∴ ∠ACD=90∘,
    ∴ ∠D+∠CAD=90∘,
    ∵ CE⊥AB,
    ∴ ∠ECB+∠EBC=90∘,
    ∴ ∠CAD=∠ECB;
    (2)①四边形ABCO是菱形,理由如下:
    ∵ CE是⊙O的切线,
    ∴ OC⊥EC,
    ∵ AB⊥EC,
    ∴ ∠OCE=∠E=90∘,
    ∴ ∠OCE+∠E=180∘,
    ∴ OC//AE,
    ∴ ∠ACO=∠BAC,
    ∵ OA=OC,
    ∴ ∠ACO=∠CAD,
    ∴ ∠BAC=∠CAD,
    ∵ ∠CAD=∠ECB,∠CAD=30∘,
    ∴ ∠EBC=90∘−30∘=60∘,
    ∴ ∠BAO=∠EBC=60∘,
    ∴ BC//AO,
    ∴ 四边形ABCO是平行四边形,
    ∵ OA=OC,
    ∴ 四边形ABCO是菱形;
    ②∵ 四边形ABCO是菱形,
    ∴ AO=AB=2,AD=4,
    ∵ ∠CAD=30∘,
    ∴ CD=12AD=2,AC=23,
    过点C作CF⊥AD于点F,
    ∴ CF=3,
    ∴ S△AOC=12×2×3=3,
    ∵ OC//AE,
    ∴ ∠DOC=∠BAO=60∘,
    ∴ S扇形OCD=60π×22360=23π,
    ∴ 阴影部分的面积为3+23π.
    38.
    【答案】
    解:方法一:如图1中,连接OP,以OP为直径作圆交⊙O于D,作直线PD,直线PD即为所求.
    方法二:如图,作射线PE,作OE⊥PE于E,作△PDE的外接圆交⊙O于D,作直线PD,直线PD即为所求.
    【考点】
    作图—复杂作图
    切线的判定
    切线的性质
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:方法一:如图1中,连接OP,以OP为直径作圆交⊙O于D,作直线PD,直线PD即为所求.
    方法二:如图,作射线PE,作OE⊥PE于E,作△PDE的外接圆交⊙O于D,作直线PD,直线PD即为所求.
    39.
    【答案】
    (1)证明:∵ P是BC的中点,
    ∴ PC=PB,
    ∴ ∠PAD=∠PAB,
    ∵ OA=OP,
    ∴ ∠APO=∠PAO,
    ∴ ∠DAP=∠APO,
    ∴ AD // OP,
    ∵ PD⊥AD,
    ∴ PD⊥OP,
    ∴ DP是⊙O的切线.
    (2)解:连结BC交OP于E,
    ∵ AB为⊙O的直径,
    ∴ ∠ACB=90∘,
    ∵ P是BC的中点,
    ∴ OP⊥BC,CE=BE,
    ∴ 四边形CDPE是矩形,
    ∴ CD=PE,PD=CE,
    ∵ ∠APC=∠B,
    ∴ sin∠APC=sinB=ACAB=513,
    ∵ AC=5,
    ∴ AB=13,
    ∴ BC=12,
    ∴ PD=CE=BE=6,
    ∵ OE=12AC=52,OP=132,
    ∴ CD=PE=132−52=4,
    ∴ AD=AC+CD=9,
    ∴ AP=AD2+PD2=92+62=313.
    【考点】
    锐角三角函数的定义--与圆有关
    解直角三角形
    切线的判定
    圆心角、弧、弦的关系
    垂径定理
    矩形的判定与性质
    勾股定理
    【解析】
    (1)根据已知条件得到∠PAD=∠PAB,推出AD // OP,根据平行线的性质得到PD⊥OP,于是得到DP是⊙O的切线;
    (2)连接BC交OP于E,根据圆周角定理得到∠ACB=90∘,推出四边形CDPE是矩形,得到CD=PE,PD=CE,解直角三角形即可得到结论.
    【解答】
    (1)证明:∵ P是BC的中点,
    ∴ PC=PB,
    ∴ ∠PAD=∠PAB,
    ∵ OA=OP,
    ∴ ∠APO=∠PAO,
    ∴ ∠DAP=∠APO,
    ∴ AD // OP,
    ∵ PD⊥AD,
    ∴ PD⊥OP,
    ∴ DP是⊙O的切线.
    (2)解:连结BC交OP于E,
    ∵ AB为⊙O的直径,
    ∴ ∠ACB=90∘,
    ∵ P是BC的中点,
    ∴ OP⊥BC,CE=BE,
    ∴ 四边形CDPE是矩形,
    ∴ CD=PE,PD=CE,
    ∵ ∠APC=∠B,
    ∴ sin∠APC=sinB=ACAB=513,
    ∵ AC=5,
    ∴ AB=13,
    ∴ BC=12,
    ∴ PD=CE=BE=6,
    ∵ OE=12AC=52,OP=132,
    ∴ CD=PE=132−52=4,
    ∴ AD=AC+CD=9,
    ∴ AP=AD2+PD2=92+62=313.
    40.
    【答案】
    解:(1)连接OC.
    ∵ CN为⊙O的切线,
    ∴ OC⊥CM,∠OCA+∠ACM=90∘.
    ∵ OM⊥AB,
    ∴ ∠OAC+∠ODA=90∘.
    ∵ OA=OC,
    ∴ ∠OAC=∠OCA,
    ∴ ∠ACM=∠ODA=∠CDM,
    ∴ MD=MC;
    (2)由题意可知AB=5×2=10,AC=45.
    ∵ AB是⊙O的直径,
    ∴ ∠ACB=90∘,
    ∴ BC=102−(45)2=25.
    ∵ ∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,
    ∴ △AOD∼△ACB,
    ∴ ODCB=AOAC,即OD25=545,
    可得:OD=2.5.
    设MC=MD=x.
    在Rt△OCM中,由勾股定理得:(x+2.5)2=x2+52,
    解得:x=154,即MC=154.
    【考点】
    等腰三角形的性质与判定
    相似三角形的性质与判定
    切线的性质
    勾股定理
    【解析】
    (1)连接OC,利用切线的性质证明即可;
    (2)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可.
    【解答】
    解:(1)连接OC.
    ∵ CN为⊙O的切线,
    ∴ OC⊥CM,∠OCA+∠ACM=90∘.
    ∵ OM⊥AB,
    ∴ ∠OAC+∠ODA=90∘.
    ∵ OA=OC,
    ∴ ∠OAC=∠OCA,
    ∴ ∠ACM=∠ODA=∠CDM,
    ∴ MD=MC;
    (2)由题意可知AB=5×2=10,AC=45.
    ∵ AB是⊙O的直径,
    ∴ ∠ACB=90∘,
    ∴ BC=102−(45)2=25.
    ∵ ∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,
    ∴ △AOD∼△ACB,
    ∴ ODCB=AOAC,即OD25=545,
    可得:OD=2.5.
    设MC=MD=x.
    在Rt△OCM中,由勾股定理得:(x+2.5)2=x2+52,
    解得:x=154,即MC=154.
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