2022年中考复习基础必刷40题专题37直线与圆的位置关系
展开1. 如图,在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60∘,CD=2,BD=4.则△DBC的面积是( )
A.43B.23C.2D.4
2. 如图,AB是⊙O的切线,A为切点,连接OA,OB,若∠B=20∘,则∠AOB的度数为( )
A.40∘B.50∘C.60∘D.70∘
3. 如图,内接于圆,,过点的切线交的延长线于点.则( )
A.B.C.D.
4. 如图,直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点,根据图中标示的长度与角度,求AD的长度为何?( )
A.32B.52C.43D.53
5. 已知⊙P的半径为2,圆心在函数y=−8x的图象上运动,当⊙P与坐标轴相切于点D时,则符合条件的点D的个数为( )
A.0B.1C.2D.4
6. 如图,一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等.⊙O与BC相切于点C,与AC相交于点E,则CE的长为( )
A.4cmB.3cmC.2cm
7. 如图,点P在⊙O外,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,∠P=50∘,则∠AOB等于( )
A.150∘B.130∘C.155∘D.135∘
8. 如图,AB切圆O1于B点,AC切圆O2于C点,BC分别交圆O1、圆O2于D、E两点.若∠BO1D=40∘,∠CO2E=60∘,则∠A的度数为何?( )
A.100B.120C.130D.140
9. 已知圆O的圆心到直线L的距离为3,若圆上有且只有2个点到L的距离为2,则半径r的取值范围是( )
A.r=3B.1
10. 如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D,E,F,连接OE,OF,DE,DF,乙组∠A=80∘,则∠EDF等于( )
A.40∘B.45∘C.50∘D.80∘
11. 如图,直线l与⊙O的位置关系为( )
A.相交B.相切C.相离D.内含
12. 已知PT切⊙O于T,PB为经过圆心的割线交⊙O于点A,(PB>PA),若PT=4,PA=2,则cs∠BPT=( )
A.45B.12C.34D.23
13. 如图,过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D,已知PA=3,AB=PC=2,则PD的长是( )
A.3B.7.5C.5D.5.5
14. 如图,AB是⊙O的切线,A为切点,连接OA,OB.若∠B=35∘,则∠AOB的度数为( )
A.65∘B.55∘C.45∘D.35∘
15. 如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,点E是⊙O上一点,且∠AEB=60∘,则∠P的度数为( )
A.120∘B.90∘C.60∘D.75∘
16. 如图为平面上圆O与四条直线l1、l2、l3、l4的位置关系.若圆O的半径为20公分,且O点到其中一直线的距离为14公分,则此直线为何?( )
A.l1B.l2C.l3D.l4
17. 等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比是( )
A.1B.3:1C.2:1D.3:2
18. 如图,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,如果∠P=60∘,PA=2,那么AB的长为( )
A.1B.2C.3D.4
19. 下列说法错误的是 ( )
A.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
B.三角形一定有内切圆
C.若弧AB和弧CD的长度都是10cm,则弧AB和弧CD是等弧
D.90∘的圆周角所对的弦是直径
20. 如图,PA与⊙O切于点A,PBC是⊙O的割线,如果PB=BC=2,那么PA的长为( )
A.2B.22C.4D.8
21. 如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C.连接BC,若∠P=36∘,则∠B=________.
22. 如图,点A,B,D在⊙O上,∠A=20∘,BC是⊙O的切线,B为切点,OD的延长线交BC于点C,则∠OCB=________度.
23. 如图,PA是⊙O的切线,A是切点,PA=4,OP=5,则⊙O的周长为________(结果保留π).
24. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4, 0),点B为y轴正半轴上一点,点C是第一象限内一动点,且AC的长始终为2,则∠BOC度数的取值范围为________.
25. 如图,AB切⊙O于点B,OA=23,∠BAO=60∘,弦BC // OA,则BC的长为________(结果保留π).
26. 如图所示,直线AB是⊙O的切线,切点为A,OB=5,AB=4,则OA的长是________.
27. 如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC=1,BD平方∠ABC,点P在BD上,⊙P切AB于点Q,则AP+PQ的最小值等于________.
28. 已知如图,在△ABC中,点O为△ABC的内心,若∠A=54∘,则∠BOC=________.
29. 如图,⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90∘,∠A,∠B,∠C所对的边长依次为3,4,5,则⊙O的半径是________.
30. 如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,线段OP交AB于点C,根据题中所给出的条件及图中线段,找出图中线段的乘积关系________,(写出一个乘积等式即可).
31. 如图,已知AB是圆O的弦,AC是圆O的切线,∠BAC的平分线交圆O于D,连BD并延长交AC于点C,若∠DAC=40∘,则∠B=________度,∠ADC=________度.
32. 等边三角形的外接圆半径为10cm,那么它的内切圆的面积为________πcm2.
33. 若三角形的面积是24cm2,周长是24cm,则这个三角形内切圆的半径=________cm.
34. 如图,PD切⊙O于A,AB=2BC,∠CAP=120∘,则∠DAB=________度.
35. 已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c−3|+a2−8a=4b−1−19,则△ABC的内切圆半径=________.
36. 如图,AB是⊙O的直径,点E、F在⊙O上,且BF⌢=2BE⌢,连接OE、AF,过点B作⊙O的切线,分别与OE、AF的延长线交于点C、D.
(1)求证: ∠COB=∠A;
(2)若AB=6,CB=4,求线段FD的长.
37. 如图1,四边形ABCD内接于⊙O,AD为直径,过点C作CE⊥AB于点E,连接AC.
(1)求证:∠CAD=∠ECB;
(2)若CE是⊙O的切线,∠CAD=30∘,连接OC,如图2.
①请判断四边形ABCO的形状,并说明理由;
②当AB=2时,求AD,AC与CD围成阴影部分的面积.
38. 如图,已知P是⊙O外一点.用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线.要求:
(1)用直尺和圆规作图;
(2)保留作图的痕迹,写出必要的文字说明.
39. 如图,在⊙O中,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,P是BC的中点,过点P作AC的垂线,交AC的延长线于点D.
(1)求证:DP是⊙O的切线;
(2)若AC=5,sin∠APC=513,求AP的长.
40. 如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,CN为⊙O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC,CN于D,M两点.
(1)求证:MD=MC;
(2)若⊙O的半径为5,AC=45,求MC的长.
参考答案与试题解析
2022年中考复习基础必刷题40题——专题三十六_直线与圆的位置关系
一、 选择题 (本题共计 20 小题 ,每题 3 分 ,共计60分 )
1.
【答案】
B
【考点】
含30度角的直角三角形
三角形的内切圆与内心
三角形的面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:过点B作BH⊥CD于点H.
∵点D为△ABC的内心,A=60∘,
∴∠BDC=90∘+12∠A=90∘+12×60∘=120∘,
则∠BDH=60∘.
∵BD=4,BD:CD=2:1,
∴DH=2,BH=23,CD=2,
∴△DBC的面积为12CD⋅BH=12×2×23=23.
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
切线的性质
【解析】
根据切线的性质和三角形的内角和即可得到结论.
【解答】
解:∵ AB是⊙O的切线,A为切点,
∴ ∠OAB=90∘.
∵ ∠B=20∘,
∴ ∠AOB=90∘−20∘=70∘.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
切线的性质
三角形的外角性质
【解析】
连接OC,根据切线的性质得出20CP=90∘,再由ΔP=28∘得出∠COP,最后根据外角的性质得出∠CAB
【解答】
解:连接OC,
CP与圆O相切,
OC⊥CP
△ACB=90∘
.AB为直径,
ΔP=28∘
2COP=180∘−90∘−26∘=62∘
而OC=OA
∴ 20CA=∠OAC=2∠CAB=∠COP
即∠CAB=31∘
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
三角形的内切圆与内心
【解析】
设AD=x,利用切线长定理得到BD=BE=1,AB=x+1,AC=AD+CE=x+4,然后根据勾股定理得到(x+1)2+52=(x+4)2,最后解方程即可.
【解答】
设AD=x,
∵ 直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点,
∴ BD=BE=1,
∴ AB=x+1,AC=AD+CE=x+4,
在Rt△ABC中,(x+1)2+52=(x+4)2,解得x=53,
即AD的长度为53.
5.
【答案】
D
【考点】
切线的性质
反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
⊙P的半径为2,⊙P与x轴相切时,P点的纵坐标是±2,把y=±2代入函数解析式,得到x=±4,因而点D的坐标是(±4, 0),⊙P与y轴相切时,P点的横坐标是±2,把x=±2代入函数解析式,得到y=±4,因而点D的坐标是(0.±4).
【解答】
解:根据题意可知,当⊙P与y轴相切于点D时,得x=±2,
把x=±2代入y=−8x得y=±4,
∴ D(0, 4),(0, −4);
当⊙P与x轴相切于点D时,得y=±2,
把y=±2代入y=−8x得x=±4,
∴ D(4, 0),(−4, 0),
∴ 符合条件的点D的个数为4,
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
等边三角形的性质
切线的性质
【解析】
连接OC,并过点O作OF⊥CE于F,求出等边三角形的高即可得出圆的直径,继而得出OC的长度,在Rt△OFC中,可得出FC的长,利用垂径定理即可得出CE的长.
【解答】
连接OC,并过点O作OF⊥CE于F,
∵ △ABC为等边三角形,边长为4cm,
∴ △ABC的高为23cm,
∴ OC=3cm,
又∵ ∠ACB=60∘,
∴ ∠OCF=30∘,
在Rt△OFC中,可得FC=32cm,
即CE=2FC=3cm.
7.
【答案】
B
【考点】
切线的性质
【解析】
由PA与PB为圆的两条切线,利用切线性质得到PA与OA垂直,PB与OB垂直,在四边形APBO中,利用四边形的内角和定理即可求出∠AOB的度数.
【解答】
解:∵ PA、PB是⊙O的切线,
∴ PA⊥OA,PB⊥OB,
∴ ∠PAO=∠PBO=90∘,
∵ ∠P=50∘,
∴ ∠AOB=130∘.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
切线的性质
【解析】
由AB切圆O1于B点,AC切圆O2于C点,得到∠ABO1=∠ACO2=90∘,由等腰三角形的性质得到∴ ∠O1BD=70∘,∠O2CE=60∘,根据三角形的内角和求得.
【解答】
解:∵ AB切圆O1于B点,AC切圆O2于C点,
∴ ∠ABO1=∠ACO2=90∘,
∵ O1D=O1B,O2E=O2C,
∴ ∠O1BD=∠O1DB=180∘−40∘2=70∘,∠O2CE=∠O2EC=12(180∘−60∘)=60∘,
∴ ∠ABC=20∘,∠ACB=30∘,
∴ ∠A=130∘,
故选C.
9.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为2,则两个交点在到直线l的距离是2的直线m上,圆与直线m的位置关系是相交,据此即可判断.
【解答】
以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为2,则两个交点在到直线l的距离是2的直线m上.
则直线m到圆心O的距离是:2+3=5或3−2=1.
圆O与直线m相交,因而该圆的半径r的取值范围是1
【答案】
C
【考点】
三角形的内切圆与内心
【解析】
根据切线的性质得到∠OEA=∠OFA=90∘,再利用四边形内角和可计算出∠EOF=180∘−∠A=100∘,然后根据圆周角定理可得到∠EDF的度数.
【解答】
解:∵ ⊙O内切于△ABC,
∴ OE⊥AB,OF⊥AC,
∴ ∠OEA=∠OFA=90∘,
∴ ∠EOF=180∘−∠A=180∘−80∘=100∘,
∴ ∠EDF=12∠EOF=50∘.
故选C.
11.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
根据直线与圆的交点个数判断直线与圆的位置关系即可.
【解答】
解:观察图形知,直线与圆没有交点,故直线与圆相离,故选C.
12.
【答案】
A
【考点】
切线的性质
锐角三角函数的定义
【解析】
先画图,设⊙O的半径是x,再利用切割线定理可得PT2=PA⋅PB,即42=2×(2+2x),易求x,进而可求OP,从而可求
cs∠BPT.
【解答】
如右图所示,连接OT,设⊙O的半径是x,
∵ PT是切线,PB是割线,
∴ PT2=PA⋅PB,
∴ 42=2×(2+2x),
∴ x=3,
∴ OP=5,
∴ cs∠BPT=PTOP=45.
13.
【答案】
B
【考点】
切割线定理
【解析】
由已知可得PB的长,再根据割线定理得PA⋅PB=PC⋅PD即可求得PD的长.
【解答】
解:∵ PA=3,AB=PC=2,
∴ PB=5,
∵ PA⋅PB=PC⋅PD,
∴ PD=7.5,
故选B.
14.
【答案】
B
【考点】
切线的性质
【解析】
根据切线的性质得到∠OAB=90∘,根据直角三角形的两锐角互余计算即可.
【解答】
解:∵ AB是⊙O的切线,
∴ OA⊥AB,
∴ ∠OAB=90∘,
∴ ∠AOB=90∘−∠B=55∘.
故选B.
15.
【答案】
C
【考点】
切线的性质
圆周角定理
【解析】
连接OA、OB,在四边形PAOB中,∠OAP=∠OBP=90∘,∠AOB=2∠E=120∘,由内角和求得∠P的大小.
【解答】
解:连接OA、OB.
在四边形PAOB中,由于PA、PB分别切⊙O于点A、B,
则∠OAP=∠OBP=90∘,
又∠AOB=2∠E=120∘,
∠P=60∘.
故选C.
16.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系:当d=r,则直线和圆相切;当d
【解答】
解:因为所求直线到圆心O点的距离为14公分<半径20公分,
所以此直线为圆O的割线,即为直线l2.
故选B.
17.
【答案】
C
【考点】
三角形的内切圆与内心
等边三角形的判定方法
三角形的外接圆与外心
【解析】
作出辅助线OD、OE,证明△AOD为直角三角形且∠OAD为30∘,即可求出OD、OA的比.
【解答】
解:如图,连接OD、OE;
因为AB、AC切圆O与E、D,
所以OE⊥AB,OD⊥AC,
又因为AO=AO,
EO=DO,
所以△AEO≅△ADO(HL),
故∠DAO=∠EAO;
又∵ △ABC为等边三角形,
∴ ∠BAC=60∘,
∴ ∠OAC=60∘×12=30∘,
∴ OD:AO=1:2.
等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比是:2:1.
故选:C.
18.
【答案】
B
【考点】
切线长定理
等边三角形的判定方法
【解析】
由切线长定理知PA=PB,根据已知条件即可判定△PAB是等边三角形,由此可求得AB的长.
【解答】
解:∵ PA、PB分别切⊙O于A、B,
∴ PA=PB;
∵ ∠P=60∘,
∴ △PAB是等边三角形;
∴ AB=PA=2,故选B.
19.
【答案】
C
【考点】
三角形的内切圆与内心
圆的有关概念
圆周角定理
正多边形和圆
【解析】
根据正多边形与圆的关系、三角形的内切圆、圆心角定理以及圆周角定理逐项分析即可.
【解答】
解:A、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆,是关于正多边形与圆的关系的一个定理,故该选项不符合题目的要求;
B、任何三角形一定有内切圆,这一说法是正确的,故该选项不符合题目要求;
C,必须是在同圆或等圆中若弧AB和弧CD的长度都是10cm,则弧AB和弧CD是等弧,所以原说法错误,符合题目的要求;
D、90∘的圆周角所对的弦是直径,是圆周角定理的一个推论,这一说法是正确的,故该选项不符合题目要求;
故选C.
20.
【答案】
B
【考点】
切线的性质
切割线定理
相似三角形的性质与判定
【解析】
根据切割线定理得出PA2=PB⋅PC,再代入数据进行计算即可.
【解答】
解:∵ PA为⊙O的切线,A为切点,PBC是⊙O的割线,
∴ PA2=PB⋅PC,
∵ PB=BC=2,
∴ PC=4,
∴ PA2=4×2,
∴ PA=22,
故选B.
二、 填空题 (本题共计 15 小题 ,每题 3 分 ,共计45分 )
21.
【答案】
27∘
【考点】
切线的性质
圆周角定理
【解析】
直接利用切线的性质得出∠OAP=90∘,再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54∘,结合圆周角定理得出答案.
【解答】
解:∵ PA切⊙O于点A,
∴ ∠OAP=90∘.
∵ ∠P=36∘,
∴ ∠AOP=54∘,
∴ ∠B=12∠AOP=27∘.
故答案为:27∘.
22.
【答案】
50
【考点】
圆周角定理
切线的性质
【解析】
由圆周角定理易求∠BOC的度数,再根据切线的性质定理可得∠OBC=90∘,进而可求出∠OCB的度数.
【解答】
解:∵ ∠A=20∘,
∴ ∠BOC=40∘,
∵ BC是⊙O的切线,B为切点,
∴ ∠OBC=90∘,
∴ ∠OCB=90∘−40∘=50∘,
故答案为:50.
23.
【答案】
6π
【考点】
切线的性质
勾股定理
【解析】
连接OA,根据切线的性质求出∠OAP=90∘,根据勾股定理求出OA即可.
【解答】
解:
连接OA,
∵ PA是⊙O的切线,A是切点,
∴ ∠OAP=90∘,
在Rt△OAP中,∠OAP=90∘,PA=4,OP=5,由勾股定理得:OA=3,
则⊙O的周长为2π×3=6π,
故答案为:6π.
24.
【答案】
60∘≤∠BOC<90∘
【考点】
切线的性质
坐标与图形性质
【解析】
C在以A为圆心,以2为半径的圆周上,只有当OC与圆A相切(即到C点)时,∠BOC最小,根据勾股定理求出此时的OC,求出∠BOC=∠CAO,根据解直角三角形求出此时的值,根据tan∠BOC的增减性,即可求出答案.
【解答】
解:C在以A为圆心,以2为半径作圆,只有当OC与圆A相切(即到C点)时,∠BOC最小,
∵ AC=2,OA=4,
∴ OC=OA2−AC2=23,
∵ ∠BOA=∠ACO=90∘,
∴ ∠BOC+∠AOC=90∘,∠CAO+∠AOC=90∘,
∴ ∠BOC=∠OAC,
tan∠BOC=tan∠OAC=OCAC=3,
∴ ∠BOC=60∘
随着C的移动,∠BOC越来越大,
∵ C在第一象限,
∴ C不到x轴点,
即∠BOC<90∘,
∴ 60∘≤∠BOC<90∘,
故答案为:60∘≤∠BOC<90∘.
25.
【答案】
2π
【考点】
切线的性质
弧长的计算
【解析】
连接OB,OC,由AB为圆的切线,利用切线的性质得到AB与OB垂直,在直角三角形AOB中,利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长,利用勾股定理求出OB的长,即为圆的半径,由BC与OA平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,再由OB=OC,利用等边对等角得到一对角相等,进而求出∠BOC度数,利用弧长公式即可求出弧BC的长.
【解答】
解:连接OB,OC,
∵ AB为圆O的切线,
∴ OB⊥AB,
在△AOB中,OA=23,∠BAO=60∘,
∴ ∠AOB=30∘,即AB=3,
根据勾股定理得:OB=3,
∵ BC // OA,
∴ ∠OBC=∠AOB=30∘,
∵ OB=OC,
∴ ∠OBC=∠OCB=30∘,
∴ ∠BOC=120∘,
则BC的长l=120π×3180=2π,
故答案为:2π
26.
【答案】
3
【考点】
切线的性质
勾股定理
【解析】
根据切线的性质推知△OAB是直角三角形,然后在直角三角形OAB中由勾股定理来求OA的长度.
【解答】
解:∵ 直线AB是⊙O的切线,
∴ OA⊥AB,
∴ ∠OAB=90∘.
又OB=5,AB=4,
∴ OA=OB2−AB2=52−42=3.
故答案是:3.
27.
【答案】
22
【考点】
轴对称——最短路线问题
切线的性质
【解析】
过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点P′,过点P′作P′Q′⊥AB于点Q′,因为BD平分∠ABC,所以P′Q′=P′M,这时AP′+P′Q′有最小值,即AM的长度,当P和P′重合时,AP+PQ的最小值就是AM的长,运用勾股定理求出BC,再根据直角三角形斜边中线的性质得出AM的值,即AP+PQ的最小值.
【解答】
解:如图,过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点P′,过点P′作P′Q′⊥AB于点Q′,
∵ BD平分∠ABC.
∴ P′Q′=P′M,这时AP′+P′Q′有最小值,即AM的长度,
∴ 当P和P′重合时,AP+PQ的最小值就是AM的长,
∵ AB=AC=1,∠BAC=90∘,
∴ BC=AB2+AC2=2.
∵ △ABC是等腰直角三角形,
∴ AM是直角三角形斜边的中线,
∴ AM=12BC=22
即PC+PQ的最小值为22,
故答案为22.
28.
【答案】
117∘
【考点】
三角形的内切圆与内心
【解析】
根据内心的性质设∠ABO=∠CBO=x,∠ACO=∠BCO=y,由三角形内角和定理得2x+2y+∠A=180∘,x+y+∠BOC=180∘,两式消去x+y,得∠BOC=90∘+12∠A,由此求解.
【解答】
解:∵ 点O为△ABC的内心,
∴ BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴ ∠BOC=90∘+12∠A=90∘+12×54∘=117∘.
故答案为:117∘.
29.
【答案】
2
【考点】
切线长定理
【解析】
先连接OD、OE根据⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切,得出AF=AD,BE=BF,CE=CD,再根据OD⊥AD,OE⊥BC,∠ACB=90∘,得出四边形ODCE是正方形,
最后设OD=r,列出5+3−r=4+r,求出r=2即可.
【解答】
解:连接OD、OE,
∵ ⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切,
∴ AF=AD,BE=BF,CE=CD,
OD⊥AD,OE⊥BC,
∵ ∠ACB=90∘,
∴ 四边形ODCE是正方形,
设OD=r,则CD=CE=r,
∵ BC=3,
∴ BE=BF=3−r,
∵ AB=5,AC=4,
∴ AF=AB+BF=5+3−r,
AD=AC+CD=4+r,
∴ 5+3−r=4+r,
r=2,
则⊙O的半径是2.
故答案为:2.
30.
【答案】
PA2=PC⋅OP
【考点】
切线的性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
根据切线的性质和切线长定理以及等腰三角形的性质可判定△PAO∽△PCA,根据相似的性质得到比例式,进而得到线段的乘积关系.
【解答】
解:PA2=PC⋅OP,
理由如下:
∵ PA,PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,
∴ PA=PB,∠APC=∠BPC,
∴ PC⊥AB,
∴ ∠ACP=90∘,
∵ PA,⊙O的切线,
∴ ∠OAP=90∘,
∵ ∠APO=∠APO,
∴ △PAO∽△PCA,
∴ PAPC=POPA,
∴ PA2=PC⋅OP,
故答案为:PA2=PC⋅OP.
31.
【答案】
40,80
【考点】
弦切角定理
【解析】
根据弦切角定理得出∠B=∠DAC,再利用三角形的外角求出∠ADC=∠B+∠BAD即可得出答案.
【解答】
解:∵ AC是圆O的切线,∠DAC=40∘,
∴ ∠B=40∘,
∵ ∠BAC的平分线交圆O于D,
∴ ∠BAD=∠DAC=40∘,
∴ ∠ADC=∠B+∠BAD=40∘+40∘=80∘,
故答案为:40,80.
32.
【答案】
25
【考点】
三角形的内切圆与内心
等边三角形的判定方法
【解析】
首先根据题意画出图形,设圆心为O,内切圆与三角形相切于E、F、M点,连接OF、OA,由题意可知外接圆与内切圆属同心圆,故OA为外接圆的半径,OF为内切圆的半径,由∠OAF=30∘,OF⊥AC,即可得出两圆半径之比,进而得出内切圆半径,即可得出圆的面积.
【解答】
解:如图,连接OF、OA,
∵ 等边三角形ABC,
∴ 外接圆与内切圆属同心圆,
∴ ∠OAF=30∘,OF⊥AC,
∴ OA:OF=2:1,
∴ R:r=2,
∵ 等边三角形的外接圆半径为10cm,
∴ 等边三角形的内切圆的半径为5cm,
∴ 它的内切圆的面积为:25πcm2.
故答案为:25.
33.
【答案】
2
【考点】
三角形的内切圆与内心
【解析】
根据三角形的面积=12×三角形的周长×内切圆的半径,即可求解.
【解答】
解:设这个三角形的内切圆的半径是r,则12×24r=24,
解得:r=2.
故答案是:2.
34.
【答案】
40
【考点】
切线的性质
【解析】
连接OC,根据切线的性质和圆心角定理计算即可.
【解答】
解:连接OC,
∵ ∠CAP=120∘,
∴ ∠CAD=60∘,
∴ ∠COA=120∘,
弧AC=120∘
又∵ AB弧=2BC,
∴ AB弧=120×23=80∘
∴ ∠BOA=80∘,
∵ OA=OB,
∴ ∠OAB=∠OBA=180∘−80∘2=50∘,
∵ PD是⊙O切线,
∴ ∠OAD=90∘,
∴ ∠DAB=90∘−50∘=40∘,
故答案为:40.
35.
【答案】
1
【考点】
三角形的内切圆与内心
非负数的性质:绝对值
非负数的性质:偶次方
勾股定理的逆定理
【解析】
由非负性可求a,b,c的值,由勾股定理的逆定理可证△ABC是直角三角形,∠ABC=90∘,由面积法可求△ABC的内切圆半径.
【解答】
解:∵ b+|c−3|+a2−8a=4b−1−19,
∴ |c−3|+(a−4)2+(b−1−2)2=0,
∴ c=3,a=4,b=5,
∵ 32+42=25=52,
∴ c2+a2=b2,
∴ △ABC是直角三角形,∠ABC=90∘,
设内切圆的半径为r,
根据题意,得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5,
∴ r=1.
故答案为:1.
三、 解答题 (本题共计 5 小题 ,每题 10 分 ,共计50分 )
36.
【答案】
(1)证明:如图,取BF⌢的中点M,连接OM、OF,
BF⌢=2BE⌢,
∴ BM⌢=MF⌢=BE⌢,
∴ ∠COB=12∠BOF,
∵ ∠A=12∠BOF,
∴ ∠COB=∠A;
(2)解:连接BF,
∵ CD是⊙O的切线,
∴ AB⊥CD,
由(1)知∠COB=∠A,
∴ △OBC∼△ABD,
∴ OBBC=ABBD,
∵ AB=6,CB=4,
∴ BD=BC⋅ABOB=4×63=8,
∴ AD=62+82=10,
∵ AB是⊙O的直径,
∴ BF⊥AD,
∵ ∠D=∠D,
∴ △BFD∽ABD,
∴ FDBD=BDAD,
∴ FD=BD2AD=8210=325.
【考点】
直线与圆的位置关系
圆周角定理
扇形面积的计算
切线的判定与性质
垂径定理
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明:如图,取BF⌢的中点M,连接OM、OF,
BF⌢=2BE⌢,
∴ BM⌢=MF⌢=BE⌢,
∴ ∠COB=12∠BOF,
∵ ∠A=12∠BOF,
∴ ∠COB=∠A;
(2)解:连接BF,
∵ CD是⊙O的切线,
∴ AB⊥CD,
由(1)知∠COB=∠A,
∴ △OBC∼△ABD,
∴ OBBC=ABBD,
∵ AB=6,CB=4,
∴ BD=BC⋅ABOB=4×63=8,
∴ AD=62+82=10,
∵ AB是⊙O的直径,
∴ BF⊥AD,
∵ ∠D=∠D,
∴ △BFD∽ABD,
∴ FDBD=BDAD,
∴ FD=BD2AD=8210=325.
37.
【答案】
(1)证明:∵ 四边形ABCD内接于⊙O,
∴ ∠D+∠ABC=180∘,
∵ ∠EBC+∠ABC=180∘,
∴ ∠D=∠EBC,
∵ AD为⊙O直径,
∴ ∠ACD=90∘,
∴ ∠D+∠CAD=90∘,
∵ CE⊥AB,
∴ ∠ECB+∠EBC=90∘,
∴ ∠CAD=∠ECB;
(2)①四边形ABCO是菱形,理由如下:
∵ CE是⊙O的切线,
∴ OC⊥EC,
∵ AB⊥EC,
∴ ∠OCE=∠E=90∘,
∴ ∠OCE+∠E=180∘,
∴ OC//AE,
∴ ∠ACO=∠BAC,
∵ OA=OC,
∴ ∠ACO=∠CAD,
∴ ∠BAC=∠CAD,
∵ ∠CAD=∠ECB,∠CAD=30∘,
∴ ∠EBC=90∘−30∘=60∘,
∴ ∠BAO=∠EBC=60∘,
∴ BC//AO,
∴ 四边形ABCO是平行四边形,
∵ OA=OC,
∴ 四边形ABCO是菱形;
②∵ 四边形ABCO是菱形,
∴ AO=AB=2,AD=4,
∵ ∠CAD=30∘,
∴ CD=12AD=2,AC=23,
过点C作CF⊥AD于点F,
∴ CF=3,
∴ S△AOC=12×2×3=3,
∵ OC//AE,
∴ ∠DOC=∠BAO=60∘,
∴ S扇形OCD=60π×22360=23π,
∴ 阴影部分的面积为3+23π.
【考点】
圆周角定理
三角形内角和定理
切线的判定
平行四边形的性质
角平分线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明:∵ 四边形ABCD内接于⊙O,
∴ ∠D+∠ABC=180∘,
∵ ∠EBC+∠ABC=180∘,
∴ ∠D=∠EBC,
∵ AD为⊙O直径,
∴ ∠ACD=90∘,
∴ ∠D+∠CAD=90∘,
∵ CE⊥AB,
∴ ∠ECB+∠EBC=90∘,
∴ ∠CAD=∠ECB;
(2)①四边形ABCO是菱形,理由如下:
∵ CE是⊙O的切线,
∴ OC⊥EC,
∵ AB⊥EC,
∴ ∠OCE=∠E=90∘,
∴ ∠OCE+∠E=180∘,
∴ OC//AE,
∴ ∠ACO=∠BAC,
∵ OA=OC,
∴ ∠ACO=∠CAD,
∴ ∠BAC=∠CAD,
∵ ∠CAD=∠ECB,∠CAD=30∘,
∴ ∠EBC=90∘−30∘=60∘,
∴ ∠BAO=∠EBC=60∘,
∴ BC//AO,
∴ 四边形ABCO是平行四边形,
∵ OA=OC,
∴ 四边形ABCO是菱形;
②∵ 四边形ABCO是菱形,
∴ AO=AB=2,AD=4,
∵ ∠CAD=30∘,
∴ CD=12AD=2,AC=23,
过点C作CF⊥AD于点F,
∴ CF=3,
∴ S△AOC=12×2×3=3,
∵ OC//AE,
∴ ∠DOC=∠BAO=60∘,
∴ S扇形OCD=60π×22360=23π,
∴ 阴影部分的面积为3+23π.
38.
【答案】
解:方法一:如图1中,连接OP,以OP为直径作圆交⊙O于D,作直线PD,直线PD即为所求.
方法二:如图,作射线PE,作OE⊥PE于E,作△PDE的外接圆交⊙O于D,作直线PD,直线PD即为所求.
【考点】
作图—复杂作图
切线的判定
切线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:方法一:如图1中,连接OP,以OP为直径作圆交⊙O于D,作直线PD,直线PD即为所求.
方法二:如图,作射线PE,作OE⊥PE于E,作△PDE的外接圆交⊙O于D,作直线PD,直线PD即为所求.
39.
【答案】
(1)证明:∵ P是BC的中点,
∴ PC=PB,
∴ ∠PAD=∠PAB,
∵ OA=OP,
∴ ∠APO=∠PAO,
∴ ∠DAP=∠APO,
∴ AD // OP,
∵ PD⊥AD,
∴ PD⊥OP,
∴ DP是⊙O的切线.
(2)解:连结BC交OP于E,
∵ AB为⊙O的直径,
∴ ∠ACB=90∘,
∵ P是BC的中点,
∴ OP⊥BC,CE=BE,
∴ 四边形CDPE是矩形,
∴ CD=PE,PD=CE,
∵ ∠APC=∠B,
∴ sin∠APC=sinB=ACAB=513,
∵ AC=5,
∴ AB=13,
∴ BC=12,
∴ PD=CE=BE=6,
∵ OE=12AC=52,OP=132,
∴ CD=PE=132−52=4,
∴ AD=AC+CD=9,
∴ AP=AD2+PD2=92+62=313.
【考点】
锐角三角函数的定义--与圆有关
解直角三角形
切线的判定
圆心角、弧、弦的关系
垂径定理
矩形的判定与性质
勾股定理
【解析】
(1)根据已知条件得到∠PAD=∠PAB,推出AD // OP,根据平行线的性质得到PD⊥OP,于是得到DP是⊙O的切线;
(2)连接BC交OP于E,根据圆周角定理得到∠ACB=90∘,推出四边形CDPE是矩形,得到CD=PE,PD=CE,解直角三角形即可得到结论.
【解答】
(1)证明:∵ P是BC的中点,
∴ PC=PB,
∴ ∠PAD=∠PAB,
∵ OA=OP,
∴ ∠APO=∠PAO,
∴ ∠DAP=∠APO,
∴ AD // OP,
∵ PD⊥AD,
∴ PD⊥OP,
∴ DP是⊙O的切线.
(2)解:连结BC交OP于E,
∵ AB为⊙O的直径,
∴ ∠ACB=90∘,
∵ P是BC的中点,
∴ OP⊥BC,CE=BE,
∴ 四边形CDPE是矩形,
∴ CD=PE,PD=CE,
∵ ∠APC=∠B,
∴ sin∠APC=sinB=ACAB=513,
∵ AC=5,
∴ AB=13,
∴ BC=12,
∴ PD=CE=BE=6,
∵ OE=12AC=52,OP=132,
∴ CD=PE=132−52=4,
∴ AD=AC+CD=9,
∴ AP=AD2+PD2=92+62=313.
40.
【答案】
解:(1)连接OC.
∵ CN为⊙O的切线,
∴ OC⊥CM,∠OCA+∠ACM=90∘.
∵ OM⊥AB,
∴ ∠OAC+∠ODA=90∘.
∵ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠OCA,
∴ ∠ACM=∠ODA=∠CDM,
∴ MD=MC;
(2)由题意可知AB=5×2=10,AC=45.
∵ AB是⊙O的直径,
∴ ∠ACB=90∘,
∴ BC=102−(45)2=25.
∵ ∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,
∴ △AOD∼△ACB,
∴ ODCB=AOAC,即OD25=545,
可得:OD=2.5.
设MC=MD=x.
在Rt△OCM中,由勾股定理得:(x+2.5)2=x2+52,
解得:x=154,即MC=154.
【考点】
等腰三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定
切线的性质
勾股定理
【解析】
(1)连接OC,利用切线的性质证明即可;
(2)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可.
【解答】
解:(1)连接OC.
∵ CN为⊙O的切线,
∴ OC⊥CM,∠OCA+∠ACM=90∘.
∵ OM⊥AB,
∴ ∠OAC+∠ODA=90∘.
∵ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠OCA,
∴ ∠ACM=∠ODA=∠CDM,
∴ MD=MC;
(2)由题意可知AB=5×2=10,AC=45.
∵ AB是⊙O的直径,
∴ ∠ACB=90∘,
∴ BC=102−(45)2=25.
∵ ∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,
∴ △AOD∼△ACB,
∴ ODCB=AOAC,即OD25=545,
可得:OD=2.5.
设MC=MD=x.
在Rt△OCM中,由勾股定理得:(x+2.5)2=x2+52,
解得:x=154,即MC=154.
2022年中考复习基础必刷40题专题30勾股定理: 这是一份2022年中考复习基础必刷40题专题30勾股定理,共34页。
2022年中考复习基础必刷40题专题40圆的有关计算: 这是一份2022年中考复习基础必刷40题专题40圆的有关计算,共34页。试卷主要包含了 圆柱形水桶的底面周长为3等内容,欢迎下载使用。
2022年中考复习基础必刷40题专题4 实数与数轴: 这是一份2022年中考复习基础必刷40题专题4 实数与数轴,共20页。试卷主要包含了 选择题, 填空题, 解答题等内容,欢迎下载使用。