2022年中考复习基础必刷40题专题36点与圆的位置关系

这是一份2022年中考复习基础必刷40题专题36点与圆的位置关系，共40页。试卷主要包含了 下列命题中，错误的命题是， 有一题目， 如图，在网格等内容，欢迎下载使用。


1. 已知OP=5，⊙O的半径为5，则点P在（ ）
A.⊙O上B.⊙O内C.⊙O外D.圆心上

2. 下列命题中，错误的命题是（ ）
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.等弧所对的圆周角相等
C.经过三点一定可作圆
D.若一个梯形内接于圆，则它是等腰梯形

3. 等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比是（ ）
A.1B.3：1C.2:1D.3：2

4. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA=3，则△ABC外接圆的面积为（ ）

A.3πB.4πC.6πD.9π

5. 如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①PA=PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是（ ）

A.1B.2C.3D.4

6. 设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是（ ）

A.h=R+rB.R=2rC.r=34aD.R=33a

7. 有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC=130∘，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC=2∠A=130∘，得∠A=65∘．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）

A.淇淇说的对，且∠A的另一个值是115∘
B.淇淇说的不对，∠A就得65∘
C.嘉嘉求的结果不对，∠A应得50∘
D.两人都不对，∠A应有3个不同值

8. 10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（ ）

A.△AEDB.△ABDC.△BCDD.△ACD

9. 如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）

A.22
10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）

A.1
11. 如图的矩形ABCD中，E为AB的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与AD、BC相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲） 作∠DEC的角平分线L，作DE的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙） 连接PC、QD，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A.两人皆正确B.两人皆错误
C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确

12. 下列叙述正确的是（ ）
A.三点确定一个圆
B.对角线相等的四边形为矩形
C.顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
D.相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等

13. 下列叙述中，正确的是（ ）
A.垂直于弦的直径平分这条弦
B.三点确定一个圆
C.两点之间的线段叫两点间的距离
D.等腰三角形的高、角平分线、中线互相重合

14. 下列说法不正确的是（ ）
A.只有当x=1时，分式x2−1x+1的值才为零
B.18与218是同类二次根式
C.等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合
D.三点确定一个圆

15. 等腰三角形的外心一定在（ ）
A.腰上的高所在的直线上B.顶角的平分线上
C.腰的中线上D.底边的垂直平分线上

16. 如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60∘得到△A′B′C′，则它们重叠部分的面积是( )

A.23B.343C.323D.3

17. 如图，在中，，以点O为圆心，2为半径的圆与交于点C，过点C作交于点D，点P是边上的动点．当最小时，的长为( )

A.B.C.1D.

18. 如图，坐标平面上有A(0, a)、B(−9, 0)、C(10, 0)三点，其中a>0．若∠BAC=95∘，则△ABC的外心在第几象限？（ ）
A.一B.二C.三D.四

19. 如图所示，甲、乙、丙三个三角形，每个三角形的内角均为55∘、60∘、65∘．若AB=DE=GH，则甲、乙、丙周长的关系为（ ）
A.甲=乙=丙
B.甲<乙<丙
C.甲<丙<乙
D.丙<乙<甲

20. 若0∘A.sinα+csα2B.tanα+ctα2C.2sinαcsαD.1sinαcsα

21. 如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA=50∘，则∠ADB=________​∘．


22. 如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB=∠CDB=60∘，AC=23，则⊙O的面积是________．


23. 如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD=21∘，则∠A的度数为________．


24. △ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为________．

25. 三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．________．（判断对错）

26. 如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则BC⌢的长等于________．


27. 已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：________．（只需写一条）


28. 如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是________（结果用含π的式子表示）．


29. 如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为________．


30. 不在同一直线上的三个点确定一个圆，说法是：________的．

31. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．

(1)求证：∠CAD=∠CBA；

(2)求OE的长．

32. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘．

(1)尺规作图：作Rt△ABC的外接圆⊙O；作∠ACB的角平分线交⊙O于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）

(2)若AC=6，BC=8，求AD的长．

33. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF // BC．
(1)判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若AB=6，AE=1235，CE=475，求BD的长．

34. 如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP．
（1）求证：DP是⊙O的切线；

（2）若tan∠PDC=12，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．

35. 如图，△ACE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，交AE于点F，过点E作EG // AC，分别交CD、AB的延长线于点G、M．

（1）求证：△ECF∽△GCE；

（2）若tanG=34，AH＝33，求⊙O半径．

36. 如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，已知：∠B=∠CAD=30∘．
（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若OD⊥AB，求sin∠BAC的值．

37. 如图，已知AD为∠BAC的平分线，且AD=2，AC=3，∠C=90∘，求BC的长及△ABC外接圆直径．

38. 如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG // CD；

（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=3DH，∠OHD=80∘，求∠BDE的大小．

39. 如图，已知一次函数y=−x+1与反比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为(2, t)．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；

（2）直线y=−x+1与x轴相交于点C，点C关于y轴的对称点为C′，求△BCC′的外接圆的周长．

40. 已知：如图，圆O′为△ABC之内切圆，圆O′为△ABC之外接圆，且∠1=∠3．
求证：AD=CD=OD．
参考答案与试题解析
2022年中考复习基础必刷题40题——专题三十五_点与圆的位置关系
一、 选择题 （本题共计 20 小题 ，每题 3 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【解答】
解：∵ 点到圆心的距离d=5=r，
∴ 该点P在⊙O上．
故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
确定圆的条件
平行四边形的判定
等腰梯形的判定
圆周角定理
【解析】
利用平行四边形的性质判定和圆的有关知识分析．
【解答】
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，此选项正确；
B、等弧所对的圆周角相等，此选项正确；
C、经过不在同一直线的三点一定可作圆，故此选项错误；
D、若一个梯形内接于圆，则它是等腰梯形，此选项正确．
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
三角形的内切圆与内心
等边三角形的判定方法
三角形的外接圆与外心
【解析】
作出辅助线OD、OE，证明△AOD为直角三角形且∠OAD为30∘，即可求出OD、OA的比．
【解答】
解：如图，连接OD、OE；
因为AB、AC切圆O与E、D，
所以OE⊥AB，OD⊥AC，
又因为AO=AO，
EO=DO，
所以△AEO≅△ADO(HL)，
故∠DAO=∠EAO；
又∵ △ABC为等边三角形，
∴ ∠BAC=60∘，
∴ ∠OAC=60∘×12=30∘，
∴ OD:AO=1:2．
等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比是：2:1．
故选：C．
4.
【答案】
D
【考点】
线段垂直平分线的性质
三角形的外接圆与外心
等腰三角形的性质：三线合一
【解析】
由等腰三角形的性质得出BD＝CD，AD⊥BC，则点O是△ABC外接圆的圆心，则由圆的面积公式πr2可得出答案．
【解答】
解：∵ AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴ BD=CD，AD⊥BC，
∵ EF是AC的垂直平分线，
∴ 点O是△ABC外接圆的圆心，
∵ OA=3，
∴ △ABC外接圆的面积=πr2=π×32=9π．
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
切线的性质
三角形的外接圆与外心
线段垂直平分线的性质
【解析】
利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30∘时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．
【解答】
解：∵ PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴ PA=PB，所以①正确；
∵ OA=OB，PA=PB，
∴ OP垂直平分AB，所以②正确；
∵ PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，
∴ ∠OAP=∠OBP=90∘，
∴ 点A、B在以OP为直径的圆上，
∴ 四边形OAPB有外接圆，所以③正确；
∵ 只有当∠APO=30∘时，OP=2OA，此时PM=OM，
∴ M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
三角形的内切圆与内心
三角形的外接圆与外心
等边三角形的性质
【解析】
根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为O，根据30∘角所对的直角边是斜边的一半得：R＝2r；等边三角形的高是R与r的和，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：依题意作图，D为BC中点，E为AC中点，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ △ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，
由题意OE=r，AO=R，AD=h，
∴ h=R+r，故A正确；
∵ AD⊥BC，
∴ ∠DAC=12∠BAC=12×60∘=30∘，
在Rt△AOE中，
∴ R=2r，故B正确；
∵ OD=OE=r，AB=AC=BC=a，
∴ AE=12AC=12a，
∴ (12a)2+r2=(2r)2，(12a)2+(12R)2=R2，
∴ r=3a6，R=33a，故C错误，D正确.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
三角形的外接圆与外心
圆心角与圆周角的综合计算
【解析】
直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【解答】
解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′=180∘−65∘=115∘．
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
三角形的外接圆与外心
【解析】
根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，进行判断即可．
【解答】
解：∵ 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
∴ 从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OA=OC=OD，
∴ 点O是△ACD的外心.
故选D.
9.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
点与圆的位置关系
【解析】
利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．
【解答】
解：给各点标上字母，如图所示．
AB=22+22=22，AC=AD=42+12=17，AE=32+32=32，AF=52+22=29，AG=AM=AN=42+32=5，
∴ 17故选B．
10.
【答案】
B
【考点】
圆与圆的位置关系
点与圆的位置关系
【解析】
连接AD，
根据勾股定理得到AD=5，
根据圆与圆的位置关系得到r>5−3=2，
由点B在⊙D外，
于是得到r<4，
即可得到结论．
【解答】
解：连接AD，
∵ AC=4，CD=3，∠C=90∘，
∴ AD=5，
∵ ⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，
∴ r>5−3=2，
∵ BC=7，
∴ BD=4，
∵ 点B在⊙D外，
∴ r<4，
∴ ⊙D的半径长r的取值范围是2故选B．
11.
【答案】
A
【考点】
确定圆的条件
【解析】
根据线段垂直平分线的性质判断甲，根据90∘的圆周角所对的弦是直径判断乙．
【解答】
解：甲，∵ ED=EC，
∴ △DEC为等腰三角形，
∴ L为CD之中垂线，
∴ O为两中垂线之交点，
即O为△CDE的外心，
∴ O为此圆圆心．
乙，∵ ∠ADC=90∘，∠DCB=90∘，
∴ PC、QD为此圆直径，
∴ PC与QD的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．
故选：A．
12.
【答案】
C
【考点】
确定圆的条件
平行四边形的判定
矩形的判定与性质
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
根据确定圆的条件，矩形的判定定理，圆心角定理以及三角形的中位线定理即可作出判断．
【解答】
解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故选项错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项错误；
C、E、F、G、H是四边形ABCD的中点，连接AC，
∵ E、H是AD、CD的中点，
∴ EH // AC，EH=12AC，
同理FG // AC，FG=12AC，
∴ EH // FG，EF=FG，
∴ 四边形EFGH是平行四边形．
故顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，是正确的．
故选项正确；
D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，故选项错误．
故选C．
13.
【答案】
A
【考点】
垂径定理
线段的性质：两点之间线段最短
等腰三角形的判定与性质
确定圆的条件
【解析】
根据相关知识点逐一判断．注意：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线三线合一．
【解答】
解：A、正确，符合垂径定理；
B、错误，不在同一直线上的三点确定一个圆；
C、错误，两点之间线段的长叫两点间的距离；
D、错误，等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线互相重合．
故选A．
14.
【答案】
D
【考点】
确定圆的条件
分式值为零的条件
同类二次根式
等腰三角形的判定与性质
【解析】
根据分式值是0的条件，二次根式的化简，三线合一定理，确定圆的条件即可解答．
【解答】
解：A、x2−1=0且x+1≠00，解得：x=1，故正确；
B、18=32，218=22，故正确；
C、根据三线合一定理可得．故正确；
D、因为不在同一直线的三点确定一个圆，故D错误．
故选D．
15.
【答案】
D
【考点】
三角形的外接圆与外心
等腰三角形的判定与性质
【解析】
三角形的外心是三边中垂线的交点，可据此判断出正确的选项．
【解答】
解：由于三角形的外心是三边垂直平分线的交点，因此等腰三角形的外心一定在底边的垂直平分线上；
故选D．
16.
【答案】
C
【考点】
三角形的外接圆与外心
旋转的性质
等边三角形的性质
【解析】
根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解．
【解答】
解：作AM⊥BC于M，如图：
重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．
∵ △ABC是等边三角形，AM⊥BC，
∴ AB=BC=3，BM=CM=12BC=32，∠BAM=30∘，
∴ AM=3BM=332，
∴ △ABC的面积=12BC×AM=12×3×332=934，
∴ 重叠部分的面积=69△ABC的面积=69×934=332.
故选C.
17.
【答案】
B
【考点】
点与圆的位置关系
勾股定理
切线的性质
【解析】
延长CO交]○于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出CD，PO的长即可．
【解答】
延长CO交−O于点E，连接ED，交AO于点P，如图，
CD⊥OB
∠DCB=90∘
又∠AOB=90∘
∠DCB=∠AOB
CD/AO
BCBO=CDAO
OC=2OB=4
BC=2
∴ 24=CD3，解得，CD=32
CD/AO
EOEC=PODC，即24=PO3，解得，PO=34
故选：B．
18.
【答案】
D
【考点】
三角形的外接圆与外心
坐标与图形性质
【解析】
根据钝角三角形的外心在三角形的外部和外心在边的垂直平分线上进行解答即可．
【解答】
解：∵ ∠BAC=95∘，
∴ △ABC的外心在△ABC的外部，
即在x轴的下方，
∵ 外心在线段BC的垂直平分线上，即在直线x=12上，
∴ △ABC的外心在第四象限，
故选：D．
19.
【答案】
B
【考点】
三角形的外接圆与外心
【解析】
根据在三角形中，大角对大边，知甲图中，AB最大；乙图中，DE是中间；丙图中，GH最小．再进一步结合已知条件即可判断三个图形的周长的大小．
【解答】
解：根据大角对大边和已知条件，得
甲图中的最大边=乙图中的中间边=丙图中的最小边．
所以它们的周长大小是甲<乙<丙．
故选B．
20.
【答案】
A
【考点】
三角形的内切圆与内心
三角形的外接圆与外心
【解析】
先根据三角形的三边关系判断出△ABC的形状，再根据切线长定理即可求出其内切圆的半径，由圆周角定理即可求出外接圆的半径．
【解答】
解：∵ tanα⋅ctα=1=sinα2+csα2，
∴ △ABC是直角三角形，
如图所示，
∵ AD=AE，CE=CF，BD=BF，
∴ 内切圆的半径r=sinα+csα−12，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ △ABC外接圆的半径R=tanα⋅ctα2=12，
∴ r+R=sinα+csα−12+12=sinα+csα2．
故选A．
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
21.
【答案】
50
【考点】
三角形的外接圆与外心
圆周角定理
【解析】
根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】
解：∵ AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴ 点A，B，C，D在⊙O上，
∵ ∠BCA=50∘，
∴ ∠ADB=∠BCA=50∘.
故答案为：50.
22.
【答案】
4π
【考点】
等边三角形的性质与判定
圆周角定理
三角形的外接圆与外心
【解析】
由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60∘，所以∠A＝∠ACB＝60∘，得到△ACB为等边三角形，又AC＝23，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．
【解答】
解：∵ ∠A=∠BDC，
而∠ACB=∠CDB=60∘，
∴ ∠A=∠ACB＝60∘，
∴ △ACB为等边三角形，
∵ AC=23，
∴ 圆的半径为2，
∴ ⊙O的面积是4π.
故答案为：4π.
23.
【答案】
69∘
【考点】
圆周角定理
三角形的外接圆与外心
【解析】
直接利用圆周角定理得出∠BCD＝90∘，进而得出答案．
【解答】
解：∵ △ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，
∴ ∠BCD=90∘，
∵ ∠CBD=21∘，
∴ ∠A=∠D=90∘−21∘=69∘．
故答案为：69∘.
24.
【答案】
1
【考点】
三角形的外接圆与外心
【解析】
这个直角三角形的外接圆直径是斜边长，把斜边长除以2可求这个三角形的外接圆半径．
【解答】
解：∵ △ABC中，∠C为直角，AB=2，
∴ AB即为这个三角形的直径，
∴外接圆半径为2÷2=1．
故答案为：1.
25.
【答案】
对
【考点】
三角形的外接圆与外心
【解析】
根据三角形外心定义：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心可直接得到答案．
【解答】
解：根据三角形外心定义可得此题正确；
故答案为：正确．
26.
【答案】
52π
【考点】
三角形的外接圆与外心
弧长的计算
【解析】
由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC＝90∘，计算出OB的长就能利用弧长公式求出BC的长了．
【解答】
解：∵ 每个小方格都是边长为1的正方形，
∴ AB=25，AC=10，BC=10，
∴ AC2+BC2=AB2，
∴ △ACB为等腰直角三角形，
∴ ∠A=∠B=45∘，
∴ 连接OC，则∠COB=90∘，
∵ OB=5，
∴ BC的长为：90⋅π×5180=52π.
故答案为：52π.
27.
【答案】
线段的垂直平分线的性质
【考点】
三角形的外接圆与外心
线段垂直平分线的性质
【解析】
利用线段垂直平分线的性质得到OA＝OC＝OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．
【解答】
解：∵ 点O为AC和BC的垂直平分线的交点，
∴ OA=OC=OB，
∴ ⊙O为△ABC的外接圆．
故答案为：线段的垂直平分线的性质.
28.
【答案】
4π−33
【考点】
三角形的外接圆与外心
【解析】
利用正三角形的性质，由它的内接圆半径可求出它的高和边，再用圆的面积减去三角形的面积即可．
【解答】
解：如图，点O既是它的外心也是其内心，
∴ OB=2，∠OBD=30∘，
∴ OD=12OB=1，BD=3，
∴ AD=3，BC=23，
∴ S△ABC=12×23×3=33；
而圆的面积=π×22=4π，
所以阴影部分的面积=4π−33，
故答案为：4π−33.
29.
【答案】
233
【考点】
等边三角形的判定方法
圆周角定理
点与圆的位置关系
【解析】
由等边三角形的性质得出∠ABC=∠BAC=60∘，AC=AB=2，求出∠APC=120∘，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，此时PA=PC，由等边三角形的性质得出AD=CD=12AC=1，∠PAC=∠ACP=30∘，∠ABD=12∠ABC=30∘，求出PD=AD⋅tan30∘=33AD=33，BD=3AD=3，即可得出答案．
【解答】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠BAC=60∘，AC=AB=2，
∵ ∠PAB=∠ACP，
∴ ∠PAC+∠ACP=60∘，
∴ ∠APC=120∘，
∴ 点P的运动轨迹是AC，
当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时PA=PC，OB⊥AC，
则AD=CD=12AC=1，∠PAC=∠ACP=30∘，∠ABD=12∠ABC=30∘，
∴ PD=AD⋅tan30∘=33AD=33，BD=3AD=3，
∴ PB=BD−PD=3−33=233．
故答案为：233．
30.
【答案】
正确
【考点】
确定圆的条件
【解析】
根据不在同一直线上的三个点确定一个圆判断．
【解答】
解：不在同一直线上的三个点确定一个圆．正确．
三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 10 分 ，共计100分 ）
31.
【答案】
(1)证明：∵ AE=DE，OC是半径，
∴ AC=CD，
∴ ∠CAD=∠CBA．
(2)解：∵ AB是直径，
∴ ∠ACB=90∘.
∵ AE=DE，
∴ OC⊥AD，
∴ ∠AEC=90∘，
∴ ∠AEC=∠ACB，
∴ △AEC∽△BCA，
∴ CEAC=ACAB，
∴ CE6=610，
∴ CE=3.6，
∵ OC=12AB=5，
∴ OE=OC−EC=5−3.6=1.4．
【考点】
圆周角定理
垂径定理
三角形的外接圆与外心
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．
（2）证明△AEC∽△BCA，推出＝，求出EC即可解决问题．
【解答】
(1)证明：∵ AE=DE，OC是半径，
∴ AC=CD，
∴ ∠CAD=∠CBA．
(2)解：∵ AB是直径，
∴ ∠ACB=90∘.
∵ AE=DE，
∴ OC⊥AD，
∴ ∠AEC=90∘，
∴ ∠AEC=∠ACB，
∴ △AEC∽△BCA，
∴ CEAC=ACAB，
∴ CE6=610，
∴ CE=3.6，
∵ OC=12AB=5，
∴ OE=OC−EC=5−3.6=1.4．
32.
【答案】
解：(1)如图，Rt△ABC的外接圆⊙O即为所求；
(2)连接BD，
∵ ∠ACB=90∘．
∴ AB是⊙O的直径，
∴ ∠BDA=90∘，
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD=∠BCD=45∘，
∴ ∠DBA=∠ACD=45∘，
∵ AC=6，BC=8，
∴ AB=AC2+BC2=62+82=10，
∴ AD=BD=AB⋅sin45∘=10×22=52．
答：AD的长为52．
【考点】
三角形的外接圆与外心
作角的平分线
勾股定理
角平分线的性质
【解析】
（1）作AB的垂直平分线，即可作Rt△ABC的外接圆⊙O；再作∠ACB的角平分线交⊙O于点D，连接AD即可；
（2）根据AC＝6，BC＝8可得AB＝10，再根据CD是∠ACB的平分线即可求AD的长．
【解答】
解：(1)如图，Rt△ABC的外接圆⊙O即为所求；
(2)连接BD，
∵ ∠ACB=90∘．
∴ AB是⊙O的直径，
∴ ∠BDA=90∘，
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD=∠BCD=45∘，
∴ ∠DBA=∠ACD=45∘，
∵ AC=6，BC=8，
∴ AB=AC2+BC2=62+82=10，
∴ AD=BD=AB⋅sin45∘=10×22=52．
答：AD的长为52．
33.
【答案】
解：(1)DF与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵ ∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴ ∠BAD=∠CAD，
∴ BD=CD，
∴ OD⊥BC，
∵ DF // BC，
∴ OD⊥DF，
∴ DF与⊙O相切.
(2)∵ ∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠C，
∴ △ABD∼△AEC，
∴ ABAE=BDCE，
∴ 61235=BD475，
∴ BD=2213．
【考点】
相似三角形的性质与判定
直线与圆的位置关系
三角形的外接圆与外心
【解析】
（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，求得BD=CD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，于是得到DF与⊙O相切；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】
解：(1)DF与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵ ∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴ ∠BAD=∠CAD，
∴ BD=CD，
∴ OD⊥BC，
∵ DF // BC，
∴ OD⊥DF，
∴ DF与⊙O相切.
(2)∵ ∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠C，
∴ △ABD∼△AEC，
∴ ABAE=BDCE，
∴ 61235=BD475，
∴ BD=2213．
34.
【答案】
连接OD，
∵ 正方形ABCD中，CD＝BC，CP＝CP，∠DCP＝∠BCP＝45∘，
∴ △CDP≅△CBP(SAS)，
∴ ∠CDP＝∠CBP，
∵ ∠BCD＝90∘，
∴ ∠CBP+∠BEC＝90∘，
∵ OD＝OE，
∴ ∠ODE＝∠OED，
∠OED＝∠BEC，
∴ ∠BEC＝∠OED＝∠ODE，
∴ ∠CDP+∠ODE＝90∘，
∴ ∠ODP＝90∘，
∴ DP是⊙O的切线；
∵ ∠CDP＝∠CBE，
∴ tan∠CBE=tan∠CDP=CEBC=12，
∴ CE=12×4=2，
∴ DE＝2，
∵ ∠EDF＝90∘，
∴ EF是⊙O的直径，
∴ ∠F+∠DEF＝90∘，
∴ ∠F＝∠CDP，
在Rt△DEF中，DEDF=12，
∴ DF＝4，
∴ EF=DE2+DF2=42+22=25，
∴ OE=5，
∵ ∠F＝∠PDE，∠DPE＝∠FPD，
∴ △DPE∽△FPD，
∴ PEPD=PDPF=DEDF，
设PE＝x，则PD＝2x，
∴ x(x+25)=(2x)2，
解得x=235，
∴ OP＝OE+EP=5+253=553．
【考点】
全等三角形的性质与判定
正方形的性质
圆周角定理
三角形的外接圆与外心
切线的判定与性质
解直角三角形
【解析】
（1）连接OD，可证△CDP≅△CBP，可得∠CDP＝∠CBP，由∠CBP+∠BEC＝90∘，∠BEC＝∠OED＝∠ODE，可证出∠ODP＝90∘，则DP是⊙O的切线；
（2）先求出CE长，在Rt△DEF中可求出EF长，证明△DPE∽△FPD，由比例线段可求出EP长，则OP可求出．
【解答】
连接OD，
∵ 正方形ABCD中，CD＝BC，CP＝CP，∠DCP＝∠BCP＝45∘，
∴ △CDP≅△CBP(SAS)，
∴ ∠CDP＝∠CBP，
∵ ∠BCD＝90∘，
∴ ∠CBP+∠BEC＝90∘，
∵ OD＝OE，
∴ ∠ODE＝∠OED，
∠OED＝∠BEC，
∴ ∠BEC＝∠OED＝∠ODE，
∴ ∠CDP+∠ODE＝90∘，
∴ ∠ODP＝90∘，
∴ DP是⊙O的切线；
∵ ∠CDP＝∠CBE，
∴ tan∠CBE=tan∠CDP=CEBC=12，
∴ CE=12×4=2，
∴ DE＝2，
∵ ∠EDF＝90∘，
∴ EF是⊙O的直径，
∴ ∠F+∠DEF＝90∘，
∴ ∠F＝∠CDP，
在Rt△DEF中，DEDF=12，
∴ DF＝4，
∴ EF=DE2+DF2=42+22=25，
∴ OE=5，
∵ ∠F＝∠PDE，∠DPE＝∠FPD，
∴ △DPE∽△FPD，
∴ PEPD=PDPF=DEDF，
设PE＝x，则PD＝2x，
∴ x(x+25)=(2x)2，
解得x=235，
∴ OP＝OE+EP=5+253=553．
35.
【答案】
∵ AB为⊙O直径，CD⊥AB
∴ AD=AC，
∴ ∠ACD＝∠AEC，
∵ EG // AC，
∴ ∠G＝∠ACD，
∴ ∠AEC＝∠G，
又∵ ∠ECF＝∠GCE
∴ △ECF∽△GCE，
连接OC，设OC＝r，
∵ ∠G＝∠ACH，
∴ tan∠ACH=tanG=34，
在Rt△AHC中，
∴ HC=43AH=43，
在Rt△HOC中，OH2+HC2＝OC2
∴ (r−33)2+(43)2=r2，
∴ r=2536
【考点】
垂径定理
解直角三角形
三角形的外接圆与外心
圆周角定理
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）根据题意易证∠ACD＝∠AEC，∠AEC＝∠G，然后根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
（2）连接OC，设OC＝r，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义即可列出方程求出r的值．
【解答】
∵ AB为⊙O直径，CD⊥AB
∴ AD=AC，
∴ ∠ACD＝∠AEC，
∵ EG // AC，
∴ ∠G＝∠ACD，
∴ ∠AEC＝∠G，
又∵ ∠ECF＝∠GCE
∴ △ECF∽△GCE，
连接OC，设OC＝r，
∵ ∠G＝∠ACH，
∴ tan∠ACH=tanG=34，
在Rt△AHC中，
∴ HC=43AH=43，
在Rt△HOC中，OH2+HC2＝OC2
∴ (r−33)2+(43)2=r2，
∴ r=2536
36.
【答案】
（1）证明：连接OA，
∵ ∠B=30∘，
∴ ∠AOC=60∘，
可得∠OAC=60∘，
又∠CAD=30∘，
∴ ∠OAD=90∘，
所以AD是⊙O的切线；
（2）∵ OC⊥AB，OC是半径，
弧AC=弧BC，
∴ AC=BC，
∴ ∠BAC=∠B=30∘，
∴ sin∠BAC=12．
【考点】
切线的判定与性质
含30度角的直角三角形
垂径定理
三角形的外接圆与外心
锐角三角函数的定义
【解析】
（1）连接OA，由已知∠B=∠CAD=30∘，所以得∠AOC=60∘，继而可得∠OAC=60∘，又∠CAD=30∘，所以∠OAD=90∘，问题得证；
（2）由于OD⊥AB，OC是半径，利用垂径定理可知OC是AB的垂直平分线，那么CA=CB，而∠B=30∘，则∠BAC=30∘，进而求出其正弦值．
【解答】
（1）证明：连接OA，
∵ ∠B=30∘，
∴ ∠AOC=60∘，
可得∠OAC=60∘，
又∠CAD=30∘，
∴ ∠OAD=90∘，
所以AD是⊙O的切线；
（2）∵ OC⊥AB，OC是半径，
弧AC=弧BC，
∴ AC=BC，
∴ ∠BAC=∠B=30∘，
∴ sin∠BAC=12．
37.
【答案】
解：∵ AD=2，AC=3，∠C=90∘
∴ cs∠1=ACAD=32，故∠1=30∘
∵ AD为∠BAC的平分线
∴ ∠BAC=∠1+∠2=30∘+30∘=60∘
∴ BC=AC⋅tan∠BAC=3⋅tan60∘=3×3=3
∵ △ABC是直角三角形
∴ 其外接圆的直径为直角三角形的斜边长，
∵ AB=ACcs∠BAC=3cs60∘=312=23，
∴ △ABC外接圆直径为23．
【考点】
解直角三角形
三角形的外接圆与外心
【解析】
根据锐角三角函数的定义可求出∠BAC的度数，再利用特殊角的三角函数值可求出AB，BC的长．
【解答】
解：∵ AD=2，AC=3，∠C=90∘
∴ cs∠1=ACAD=32，故∠1=30∘
∵ AD为∠BAC的平分线
∴ ∠BAC=∠1+∠2=30∘+30∘=60∘
∴ BC=AC⋅tan∠BAC=3⋅tan60∘=3×3=3
∵ △ABC是直角三角形
∴ 其外接圆的直径为直角三角形的斜边长，
∵ AB=ACcs∠BAC=3cs60∘=312=23，
∴ △ABC外接圆直径为23．
38.
【答案】
证明：如图1，∵ PC=PB，
∴ ∠PCB=∠PBC，
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠BAD+∠BCD=180∘，
∵ ∠BCD+∠PCB=180∘，
∴ ∠BAD=∠PCB，
∵ ∠BAD=∠BFD，
∴ ∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴ BC // DF，
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEB=90∘，
∴ ∠ABC=90∘，
∴ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ADC=90∘，
∵ BG⊥AD，
∴ ∠AGB=90∘，
∴ ∠ADC=∠AGB，
∴ BG // CD；
由（1）得：BC // DF，BG // CD，
∴ 四边形BCDH是平行四边形，
∴ BC=DH，
在Rt△ABC中，∵ AB=3DH，
∴ tan∠ACB=ABBC=3DHDH=3，
∴ ∠ACB=60∘，∠BAC=30∘，
∴ ∠ADB=60∘，BC=12AC，
∴ DH=12AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90∘，
∴ ∠AMD+∠ADM=90∘
∵ DE⊥AB，
∴ ∠BED=90∘，
∴ ∠BDE+∠ABD=90∘，
∵ ∠AMD=∠ABD，
∴ ∠ADM=∠BDE，
∵ DH=12AC，
∴ DH=OD，
∴ ∠DOH=∠OHD=80∘，
∴ ∠ODH=20∘
∵ ∠ADB=60∘，
∴ ∠ADM+∠BDE=40∘，
∴ ∠BDE=∠ADM=20∘，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE=∠BDN=20∘，∠ODH=20∘，
∴ ∠BDE=∠BDN+∠ODH=40∘，
综上所述，∠BDE的度数为20∘或40∘．
【考点】
平行线的判定与性质
勾股定理
垂径定理
三角形的外接圆与外心
【解析】
（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180∘，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC // DF，可得∠ABC=90∘，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90∘，根据同位角相等可得结论；
（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60∘，∠BAC=30∘，所以DH=12AC，分两种情况：
①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；
②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20∘，∠ODH=20∘，得结论．
【解答】
证明：如图1，∵ PC=PB，
∴ ∠PCB=∠PBC，
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠BAD+∠BCD=180∘，
∵ ∠BCD+∠PCB=180∘，
∴ ∠BAD=∠PCB，
∵ ∠BAD=∠BFD，
∴ ∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴ BC // DF，
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEB=90∘，
∴ ∠ABC=90∘，
∴ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ADC=90∘，
∵ BG⊥AD，
∴ ∠AGB=90∘，
∴ ∠ADC=∠AGB，
∴ BG // CD；
由（1）得：BC // DF，BG // CD，
∴ 四边形BCDH是平行四边形，
∴ BC=DH，
在Rt△ABC中，∵ AB=3DH，
∴ tan∠ACB=ABBC=3DHDH=3，
∴ ∠ACB=60∘，∠BAC=30∘，
∴ ∠ADB=60∘，BC=12AC，
∴ DH=12AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90∘，
∴ ∠AMD+∠ADM=90∘
∵ DE⊥AB，
∴ ∠BED=90∘，
∴ ∠BDE+∠ABD=90∘，
∵ ∠AMD=∠ABD，
∴ ∠ADM=∠BDE，
∵ DH=12AC，
∴ DH=OD，
∴ ∠DOH=∠OHD=80∘，
∴ ∠ODH=20∘
∵ ∠ADB=60∘，
∴ ∠ADM+∠BDE=40∘，
∴ ∠BDE=∠ADM=20∘，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE=∠BDN=20∘，∠ODH=20∘，
∴ ∠BDE=∠BDN+∠ODH=40∘，
综上所述，∠BDE的度数为20∘或40∘．
39.
【答案】
解：（1）∵ 点A(2, t)在直线y=−x+1上，
∴ t=−2+1=−1，
∴ 点A(2, −1)．
又∵ 点A(2, −1)在函数y=kx的图象上，
∴ k=2×(−1)=−2，
∴ 反比例函数的解析式为y=−2x．
解方程组y=−x+1y=−2x，得x1=2y1=−1，x2=−1y2=2，
∴ 点B的坐标为(−1, 2)．
（2）∵ 直线y=−x+1与x轴的交点C的坐标为(1, 0)，
∴ 点C关于y轴的对称点C′的坐标为(−1, 0)，
∵ B(−1, 2)，C′(−1, 0)，C(1, 0)，
∴ BC′⊥x轴于C′，且BC′=2，CC′=2，
∴ △BCC′是直角三角形，
∴ BC=22+22=22，
∴ △BCC′的外接圆的半径为BC2=2，
∴ △BCC′的外接圆的周长=22π．
【考点】
反比例函数综合题
待定系数法求反比例函数解析式
函数的综合性问题
三角形的外接圆与外心
【解析】
（1）点A在一次函数的图象上，可得出A点的坐标，然后代入反比例函数的解析式即可求出答案；
（2）先求出点C和C′的坐标，继而可证明△BCC′是直角三角形，△BCC′的外接圆的直径即为BC，继而即可求出周长．
【解答】
解：（1）∵ 点A(2, t)在直线y=−x+1上，
∴ t=−2+1=−1，
∴ 点A(2, −1)．
又∵ 点A(2, −1)在函数y=kx的图象上，
∴ k=2×(−1)=−2，
∴ 反比例函数的解析式为y=−2x．
解方程组y=−x+1y=−2x，得x1=2y1=−1，x2=−1y2=2，
∴ 点B的坐标为(−1, 2)．
（2）∵ 直线y=−x+1与x轴的交点C的坐标为(1, 0)，
∴ 点C关于y轴的对称点C′的坐标为(−1, 0)，
∵ B(−1, 2)，C′(−1, 0)，C(1, 0)，
∴ BC′⊥x轴于C′，且BC′=2，CC′=2，
∴ △BCC′是直角三角形，
∴ BC=22+22=22，
∴ △BCC′的外接圆的半径为BC2=2，
∴ △BCC′的外接圆的周长=22π．
40.
【答案】
证明：∵ 圆O′为△ABC之内切圆，
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵ ∠2=∠5，
∴ ∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，
∴ AD=CD，
∴ AD=CD，
∵ ∠AOD=∠3+∠1，
∴ ∠AOD=∠OAD，
∴ AD=OD，
∴ AD=CD=OD．
【考点】
三角形的内切圆与内心
三角形的外接圆与外心
【解析】
根据内心的定义以及圆周角定理可以证得∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，根据弧、弦、圆心角的关系可以证得AD=CD，然后根据等角对等边可以证得AD=OD，即可证得结论．
【解答】
证明：∵ 圆O′为△ABC之内切圆，
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵ ∠2=∠5，
∴ ∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，
∴ AD=CD，
∴ AD=CD，
∵ ∠AOD=∠3+∠1，
∴ ∠AOD=∠OAD，
∴ AD=OD，
∴ AD=CD=OD．