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    2022年中考复习基础必刷40题专题39正多边形与圆
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    2022年中考复习基础必刷40题专题39正多边形与圆

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    这是一份2022年中考复习基础必刷40题专题39正多边形与圆,共32页。试卷主要包含了 已知, 下列说法错误的是等内容,欢迎下载使用。


    1. 如果一个多边形的每一个外角都是60∘,则这个多边形的边数是()
    A.3B.4C.5D.6

    2. 如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,已知弦心距OM=3,则此正六边形的边长为( )
    A.3B.4C.5D.6

    3. 如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,连接BD,则∠CBD的度数是( )

    A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘

    4. 如图,取两根等宽的纸条折叠穿插,拉紧,可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为( )

    A.1B.2C.3D.2

    5. 如图,正方形ABCD内接于圆O,AB=4,则图中阴影部分的面积是( )

    A.4π−16B.8π−16C.16π−32D.32π−16

    6. 如图平面上有两个全等的正十边形ABCDEFGHIJ、A′B′C′D′E′F′G′H′I′J′,其中A点与A′点重合,C点与C′点重合.求∠BAJ′的度数为何?( )
    A.96B.108C.118D.126

    7. 已知:如图,在正五边形ABCDE中,BE分别与AC、AD相交于F、G,下列说法不正确的是( )

    A.BG=DEB.∠CAD=36∘
    C.图中有8个等腰三角形D.F是BG的黄金分割点

    8. 如果正四边形的边心距为2,那么这个正四边形的外接圆的半径等于( )
    A.2B.4C.2D.22

    9. 下列说法错误的是 ( )
    A.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
    B.三角形一定有内切圆
    C.若弧AB和弧CD的长度都是10cm,则弧AB和弧CD是等弧
    D.90∘的圆周角所对的弦是直径

    10. 正六边形的半径为R,则它的边心距为( )
    A.33RB.32RC.RD.3R

    11. 半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系是( )
    A.a
    12. 下列说法正确的是( )
    ①的值大于;
    ②正六边形的内角和是720∘,它的边长等于半径;
    ③从一副扑克牌中随机抽取一张,它是黑桃的概率是;
    ④甲、乙两人各进行了10次射击测试,他们的平均成绩相同,方差分别是s甲2=1.3,s乙2=1.1,则乙的射击成绩比甲稳定.
    A.①②③④B.①②④C.①④D.②③

    13. 如图,正六边形的边长为2,分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆,与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和(阴影部分面积)是( )

    A.63−πB.63−2πC.63+πD.63+2π

    14. 如图,正六边形ABCDEF的边长为2,分别以点A,D为圆心,以AB,DC为半径作扇形ABF,扇形DCE.则图中阴影部分的面积是( )

    A.63−43πB.63−83πC.123−43πD.123−83π

    15. 如图,在正六边形ABCDEF中,AC=23,则它的边长是( )

    A.1B.2C.3D.2

    16. 下列说法正确的是( )
    A.圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
    B.在平面直角坐标系中,不同的坐标可以表示同一点
    C.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一定有实数根
    D.将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60∘得△ADE,则△ABC与△ADE不全等

    17. 若正六边形的半径为4,则它的边长等于( )
    A.4B.2C.23D.43

    18. 如图,正六边形ABCDEF的边长为1,连接AC、BE、DF,求图中灰色四边形的周长为何?( )
    A.3B.4C.2+2D.2+3

    19. 如图,正六边形ABCDEF的边长为2,以A为圆心,AC的长为半径画弧,得EC⌢,连接AC,AE,则图中阴影部分的面积为( )

    A.2πB.4πC.33πD.233π

    20. 如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O,则AD:AB=( )

    A.22:3B.2:3C.3:2D.3:22

    21. 六个带30∘角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为1,求中间正六边形的面积________.


    22. 若一个正多边形的每一个外角都是40∘,则这个正多边形的内角和等于________.

    23. 如图,在正六边形ABCDEF中,连接对角线AC,CE,DF,EA,FB,可以得到一个六角星.记这些对角线的交点分别为H,I,J,K,L、M,则图中等边三角形共有________个.

    24. 边长为a的正六边形的面积等于________.

    25. 在圆上均匀地分布着n个点,且这些点两两之间的距离刚好有三种,则n=________.

    26. 正六边形的半径为2cm,那么这个正六边形的周长为________cm.

    27. 已知圆的半径为R,它的内接正三角形的周长是________.

    28. 一个圆的内接正六边形与外切正六边形的面积之比为________.

    29. 如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,点P为DE上一点(点P与点D,点E不重合),连接PC、PD,DG⊥PC,垂足为G,∠PDG等于________度.


    30. 一个蜘蛛网如图所示,若多边形ABCDEFGHI为正九边形,其中心点为点O,点M、N分别在射线OA、OC上,则∠MON=________度.


    31. 如图,A、B、C、D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=18∘,则这个正多边形的边数为________.


    32. 若正四边形的半径是1,则它的边长是________.

    33. 若正六边形的边长为3,则其较长的一条对角线长为________.

    34. 如图,平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心,顶点A,B的坐标分别为(1, 1),(−1, 1),把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45∘得正方形A′B′C′D′,则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为________.

    35. 半径为1的正六边形的周长是________.

    36. 中心为O的正六边形ABCDEF的半轻为6cm,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t(s).

    (1)求证:四边形PBQE为平行四边形;

    (2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比.

    37. 如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,BE是⊙O的直径,连接BF,延长BA,过F作FG⊥BA,垂足为G.
    (1)求证:FG是⊙O的切线;

    (2)已知FG=23,求图中阴影部分的面积.

    38. 图①是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形-正八边形.

    (1)如图②,AE是⊙O的直径,用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹);

    (2)在(1)的前提下,连接OD,已知OA=5,若扇形OAD(∠AOD<180∘)是一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径等于________.

    39. 如图,已知正五边形ABCDE,AF // CD交DB的延长线于点F,交DE的延长线于点G.
    (1)写出图中所有的等腰三角形;

    (2)求证:∠G=2∠F.

    40. 课题:探究能拼成正多边形的三角形的面积计算公式.
    实验:
    (1)如图1,三角形的三边长分别为a、b、c,∠A=60∘,现将六个这样的三角形(设面积为S6)拼成一个六边形,由于大六边形三个角都是∠B+∠C=120∘,所以由a边围成了一个大的正六边形,其面积可计算出为________;由于所围成的小六边形的边长都是________,其面积为________,由此可得S6=________.

    (2)如图2,三角形的三边长分别为a、b、c,∠A=120∘,试用这样的三角形拼成一个正三角形(设面积为S3),先画出这个正三角形,再推出S3的计算公式;
    推广:

    (3)对于三角形的三边长分别为a、b、c,当∠A取什么值时,能拼成一个任意正n边形吗?如果能,试写出∠A和三角形的面积Sn的表达式;如果不能,请简要说明理由.
    参考答案与试题解析
    2022年中考复习基础必刷题40题——专题三十八_正多边形与圆
    一、 选择题 (本题共计 20 小题 ,每题 3 分 ,共计60分 )
    1.
    【答案】
    D
    【考点】
    多边形内角与外角
    多边形的内角和
    正多边形和圆
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:由一个多边形的每一个外角都等于60∘,且多边形的外角和等于360∘,即求得这个多边形的边数为360+60=6.故答案选D.
    2.
    【答案】
    D
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    连接OC,求出∠AOM的度数,然后求出AO的长,即为正六边形的边长.
    【解答】
    解:如图,连接OC,
    则∠AOC=120∘,
    ∴ ∠AOM=60∘,
    ∵ OM⊥AC,
    ∴ AM=CM,
    ∴ OMAO=cs60∘,
    ∴ 3AO=12,
    ∴ AO=6,
    ∴ 正六边形的边长为6,
    故选D.
    3.
    【答案】
    A
    【考点】
    多边形内角与外角
    正多边形和圆
    【解析】
    根据正六边形的内角和求得∠BCD,然后根据等腰三角形的性质即可得到结论.
    【解答】
    解:∵ 在正六边形ABCDEF中,
    ∠BCD=(6−2)×180∘6=120∘,BC=CD,
    ∴ ∠CBD=12(180∘−120∘)=30∘.
    故选A.
    4.
    【答案】
    C
    【考点】
    多边形
    正多边形和圆
    【解析】
    根据正六边的性质,正六边形由6个边长为2的等边三角形组成,其中等边三角形的高为原来的纸带宽度,然后求出等边三角形的高即可.
    【解答】
    解:边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成,其中等边三角形的高为原来的纸带宽度,
    所以原来的纸带宽度=32×2=3.
    故选C.
    5.
    【答案】
    B
    【考点】
    正方形的性质
    正多边形和圆
    锐角三角函数的定义
    求阴影部分的面积
    【解析】
    连接OA、OB,利用正方形的性质得出OA=ABcs45∘=22,根据阴影部分的面积=S⊙O−S正方形ABCD列式计算可得.
    【解答】
    解:连接OA,OB,
    ∵ 四边形ABCD是正方形,
    ∴ ∠AOB=90∘,∠OAB=45∘,
    ∴ OA=ABcs45∘=4×22=22,
    所以阴影部分的面积=S⊙O−S正方形ABCD
    =π×(22)2−4×4=8π−16.
    故选B.
    6.
    【答案】
    B
    【考点】
    正多边形和圆
    多边形内角与外角
    菱形的性质
    【解析】
    利用正多边形的性质可以得到四边形ABCB′为菱形,计算其内角后,用多边形的内角减去即可得到答案.
    【解答】
    解题技巧:(1)正n边形每一个内角度数=180∘×(n−2)n,(2)菱形的邻角互补
    [解析]∵ 两个图形为全等的正十边形,
    ∴ ABCB′为菱形,
    又∠ABC=∠AB′C=180∘×(10−2)10=144∘
    ∴ ∠BAB′=180∘−144∘=36∘,
    ⇒∠BAJ′=∠B′AJ′−∠BAB′
    =144∘−36∘
    =108∘.
    故选B.
    7.
    【答案】
    C
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE,BE // CD,AD // BC,AC // DE,AC=AD=BE.
    【解答】
    ∵ 在正五边形ABCDE中,
    ∴ AB=BC=CD=DE=AE,BE // CD,AD // BC,AC // DE,
    ∴ 四边形EDCF是平行四边形,
    ∴ ▱EDCF是菱形;
    同理:四边形BCDG是菱形,
    ∴ CF=DE,DG=BC,
    ∴ CF=DG,
    ∴ 四边形GFCD是等腰梯形;
    ∴ EF=ED=DG=AE=CF=BG=CD,
    ∵ AF=AC−CF,EG=BE−BG,
    ∵ BE=AC,
    ∴ 图中有9个等腰三角形,即△ABE、△ABF、△AFG、△AGE、△ADE、△DEG、△ACD、△ABC、△BCF.
    8.
    【答案】
    D
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    利用正四边形的外接圆的半径是边心距的2倍计算.
    【解答】
    解:如图,
    ∵ 正四边形的边心距为2,
    ∴ OB=2,
    ∵ ∠OAB=45∘,
    ∴ OA=2OB=22,
    故选D.
    9.
    【答案】
    C
    【考点】
    三角形的内切圆与内心
    圆的有关概念
    圆周角定理
    正多边形和圆
    【解析】
    根据正多边形与圆的关系、三角形的内切圆、圆心角定理以及圆周角定理逐项分析即可.
    【解答】
    解:A、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆,是关于正多边形与圆的关系的一个定理,故该选项不符合题目的要求;
    B、任何三角形一定有内切圆,这一说法是正确的,故该选项不符合题目要求;
    C,必须是在同圆或等圆中若弧AB和弧CD的长度都是10cm,则弧AB和弧CD是等弧,所以原说法错误,符合题目的要求;
    D、90∘的圆周角所对的弦是直径,是圆周角定理的一个推论,这一说法是正确的,故该选项不符合题目要求;
    故选C.
    10.
    【答案】
    B
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    据题意画出图形,再由正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数,再根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可.
    【解答】
    解:如图所示,∵ 正六边形的半径是OA=OB=R,
    ∴ ∠AOB=(3606)∘=60∘,∠AOD=12∠AOB=30∘,
    ∴ OD=OA⋅cs30∘=32R.
    故选:B.
    11.
    【答案】
    A
    【考点】
    等边三角形的性质
    正多边形和圆
    【解析】
    根据三角函数即可求解.
    【解答】
    解:设圆的半径为R,
    则正三角形的边心距为a=R×cs60∘=12R;
    正方形的边心距为b=R×cs45∘=22R;
    正六边形的边心距为c=R×cs30∘=32R.
    ∵ 12R<22R<32R,
    ∴ a故选A.
    12.
    【答案】
    B
    【考点】
    方差
    正多边形和圆
    多边形内角与外角
    概率公式
    【解析】
    分别根据黄金数的近似值、多边形的内角和与半径的定义与性质、概率公式、方差的意义分别判断可得.
    【解答】
    ①的值约为0.618,大于,此说法正确;
    ②正六边形的内角和是720∘,它的边长等于半径,此说法正确;
    ③从一副扑克牌中随机抽取一张,它是黑桃的概率是,此说法错误;
    ④∵ s甲2=1.3,s乙2=1.1,∴ s甲2>s乙2,故乙的射击成绩比甲稳定,此说法正确;
    13.
    【答案】
    A
    【考点】
    圆周角定理
    正多边形和圆
    扇形面积的计算
    【解析】
    图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和-(大圆的面积-正六边形的面积)即可得到结果.
    【解答】
    6个月牙形的面积之和=3π−(22π−6×12×2×3)=63−π,
    14.
    【答案】
    B
    【考点】
    扇形面积的计算
    正多边形和圆
    【解析】
    根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积,从而可以解答本题.
    【解答】
    ∵ 正六边形ABCDEF的边长为2,
    ∴ 正六边形ABCDEF的面积是:2×(2sin60)2×6=6×2×32=63,∠FAB=∠EDC=120∘,
    ∴ 图中阴影部分的面积是:63−120×π×22360×2=63−8π3,
    15.
    【答案】
    D
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    过点B作BG⊥AC于点G.,正六边形ABCDEF中,每个内角为(6−2)×180∘÷6=120∘,即∠ABC=120∘,∠BAC=∠BCA=30∘,于是AG=12AC=3,AB=2,
    【解答】
    如图,过点B作BG⊥AC于点G.
    正六边形ABCDEF中,每个内角为(6−2)×180∘÷6=120∘,
    ∴ ∠ABC=120∘,∠BAC=∠BCA=30∘,
    ∴ AG=12AC=3,
    ∴ GB=1,AB=2,
    即边长为2.
    16.
    【答案】
    A
    【考点】
    根的判别式
    点的坐标
    正多边形和圆
    旋转的性质
    【解析】
    根据正多边形和圆的关系、一元二次方程根的判别式、点的坐标以及旋转变换的性质进行判断即可.
    【解答】
    如图∠AOB=360∘6=60∘,OA=OB,
    ∴ △AOB是等边三角形,
    ∴ AB=OA,
    ∴ 圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等,A正确;
    在平面直角坐标系中,不同的坐标可以表示不同一点,B错误;
    一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)不一定有实数根,C错误;
    根据旋转变换的性质可知,将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60∘得△ADE,则△ABC与△ADE全等,D错误;
    17.
    【答案】
    A
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形,即可求解.
    【解答】
    解:正六边形的中心角为360∘÷6=60∘,
    那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形,
    故正六边形的外接圆半径等于4,
    则正六边形的边长是4.
    故选A.
    18.
    【答案】
    D
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    根据正六边形的性质得出BC=1=CD=GH,CG=32=HD,进而得出四边形CDHG的周长.
    【解答】
    解:如图:
    ∵ ABCDEF为正六边形
    ∴ ∠ABC=120∘,∠CBG=60∘
    又BC=1=CD=GH,
    ∴ CG=32=HD,
    四边形CDHG的周长=(1+32)×2=2+3.
    故选:D.
    19.
    【答案】
    A
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:过B点作AC垂线,垂直为G,
    根据正六边形性质可知,∠CAB=∠BCA=30∘,
    ∴ AC=2AG=2×AB2−GH2=2×22−12=23,
    ∴ S扇形=60×232×π360=2π,
    故选A.
    20.
    【答案】
    B
    【考点】
    圆周角定理
    正多边形和圆
    正方形的性质
    等边三角形的性质
    【解析】
    连接OA、OB、OD,过O作OH⊥AB于H,由垂径定理得出AH=BH=12AB,证出△AOD是等腰直角三角形,∠AOH=∠BOH=60∘,AH=BH=12AB,得出AD=2OA,AH=32OA,则AB=2AH=3OA,进而得出答案.
    【解答】
    解:连接OA,OB,OD,过O作OH⊥AB于H,如图所示:
    则AH=BH=12AB,
    ∵ 等边三角形ABC和正方形ADEF,都内接于⊙O,
    ∴ ∠AOB=120∘,∠AOD=90∘,
    ∵ OA=OD=OB,
    ∴ △AOD是等腰直角三角形,∠AOH=∠BOH=12×120∘=60∘,
    ∴ AD=2OA,AH=OA⋅sin60∘=32OA,
    ∴ AB=2AH=2×32OA=3OA,
    ∴ ADAB=2OA3OA=23.
    故选B.
    二、 填空题 (本题共计 15 小题 ,每题 3 分 ,共计45分 )
    21.
    【答案】
    332
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:如图所示,连接AC、AE、CE,作 BG⊥AC,Dl⊥CE、FH⊥AE,Al⊥CE,
    在正六边形ABCDEF中,
    ∵ 直角三角板的最短边为1,
    ∴ 正六边形ABCDEF为1,
    ∴ △ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形,△ACE为等边三角形,
    ∵ ∠ABC=∠CDE=∠EFA=120∘,AB=BC=CD=DE=FA=1
    ∴ ∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE=∠FEA=30∘,
    ∴ BG=Dl=FH=12,
    ∴ 由勾股定理得:AG=CG=Cl=EE=EH=AH=32,
    ∴AC=AE=CE=3,
    ∴ 由勾股定理得:Al=32,
    ∴ S=3×12×3×12+12×3×32=332,
    故答案为:332.
    22.
    【答案】
    1260∘
    【考点】
    多边形内角与外角
    多边形的内角和
    正多边形和圆
    【解析】
    一个多边形的每个外角都等于=40∘
    ∴ 多边形的边数为360∘+40∘=9
    …这个多边形的内角和=180∘×9−2=1260∘
    【解答】
    此题暂无解答
    23.
    【答案】
    8
    【考点】
    正多边形和圆
    等边三角形的判定
    【解析】
    在正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点,即可求得图中每个角的度数,即可判断等边三角形的个数.
    【解答】
    解:等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个.
    故答案是:8.
    24.
    【答案】
    332a2
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍,据此即可求解.
    【解答】
    解:边长为a的等边三角形的面积是:34a2,
    则边长为a的正六边形的面积等于6×34a2=332a2.
    故答案是:332a2.
    25.
    【答案】
    6
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    此题可以用排除法.当n=3时,这些点两两之间的距离只有1种;当n=4或5时,这些点两两之间的距离刚好有2种;当n=6时,这些点两两之间的距离刚好有3种.
    【解答】
    当n=3时,这些点两两之间的距离只有1种;
    当n=4或5时,这些点两两之间的距离刚好有2种;
    当n=6时,这些点两两之间的距离刚好有3种.
    26.
    【答案】
    12
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    根据正六边形的半径可求出其边长为2cm,进而可求出它的周长.
    【解答】
    解:正六边形的半径为2cm,则边长是2cm,因而周长是12cm.
    故答案为:12.
    27.
    【答案】
    33R
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    作出正三角形的边心距,连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形.解直角三角形即可.
    【解答】
    解:在中心的直角三角形的角为360∘÷3÷2=60∘,
    ∴ 正三角形的边长的一半为:R×sin60∘,
    ∴ 正三角形的边长=3R,
    ∴ 正三角形的周长为33R,
    故答案为:33R.
    28.
    【答案】
    3:4
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC,垂足是C.连接OA,则在直角△OAC中,∠AOC=12×180∘n=30∘.OC是边心距a,OA即半径233a,进而得出面积之比.
    【解答】
    解:设圆的半径为a.
    经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC,垂足是C.连接OA,
    ∵ 在直角△OAC中,∠AOC=12×180∘n=30∘,
    ∴ 外切正6边形的边心距OC等于a,边长=2OCtan30∘=233a,
    内接正六边形的边长=a,边心距等于32a,
    ∴ 外切正六边形与内接正六边形的面积之比为:6×32a2:6×233a2=3:4.
    故答案为:3:4.
    29.
    【答案】
    54
    【考点】
    正多边形和圆
    圆周角定理
    【解析】
    连接OC,OD.求出∠COD的度数,再根据圆周角定理得出∠CPD的度数,由三角形内角和定理即可得出结果.
    【解答】
    解:连接OC、OD,如图所示:
    ∵ ABCDE是正五边形,
    ∴ ∠COD=360∘5=72∘,
    ∴ ∠CPD=12∠COD=36∘,
    ∵ DG⊥PC,
    ∴ ∠PGD=90∘,
    ∴ ∠PDG=90∘−∠CPD=90∘−36∘=54∘.
    故答案为:54.
    30.
    【答案】
    80
    【考点】
    正多边形和圆
    多边形内角与外角
    【解析】
    根据正多边形性质求出中心角,即可求出∠MON的度数.
    【解答】
    解:根据正多边形性质得,中心角为:
    ∠AOB=360∘÷9=40∘,
    ∴ ∠MON=2∠AOB=80∘.
    故答案为:80.
    31.
    【答案】
    10
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    连接OA,OB,根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=36∘,于是得到结论.
    【解答】
    解:连接OA,OB,
    ∵ A、B、C、D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,
    ∴ 点A、B、C、D在以点O为圆心,OA为半径的同一个圆上,
    ∵ ∠ADB=18∘,
    ∴ ∠AOB=2∠ADB=36∘,
    ∴ 这个正多边形的边数360∘36∘=10.
    故答案为:10.
    32.
    【答案】
    2
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    首先根据题意画出图形,由四边形ABCD是正四边形,可得∠AOB=90∘,然后由勾股定理求得它的边长.
    【解答】
    如图:根据题意得:OA=OB=1,
    ∵ 四边形ABCD是正四边形,
    ∴ ∠AOB=90∘,
    ∴ AB=OA2+OB2=2.
    即它的边长是:2.
    33.
    【答案】
    6
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    根据正六边形的性质即可得到结论.
    【解答】
    如图所示为正六边形最长的三条对角线,
    由正六边形性质可知,△AOB,△COD为两个边长相等的等边三角形,
    ∴ AD=2AB=6,
    34.
    【答案】
    22−2
    【考点】
    旋转的性质
    坐标与图形性质
    正方形的性质
    正多边形和圆
    【解析】
    如图,首先求出正方形的边长、对角线长;进而求出OA′的长;证明△A′MN为等腰直角三角形,求出A′N的长度;同理求出D′M′的长度,即可解决问题.
    【解答】
    解:如图,由题意得:
    正方形ABCD的边长为2,
    ∴ 该正方形的对角线长为22,
    ∴ OA′=2;而OM=1,
    ∴ A′M=2−1;
    由题意得:∠MA′N=45∘,∠A′MN=90∘,
    ∴ ∠MNA′=45∘,
    ∴ MN=A′M=2−1;
    由勾股定理得:A′N=2−2;
    同理可求D′M′=2−2,
    ∴ MN=2−(4−22)=22−2,
    ∴ 正八边形的边长为22−2.
    35.
    【答案】
    6
    【考点】
    正多边形和圆
    【解析】
    由正六边形的中心角等于60∘,即可得△OAB为等边三角形,又由半径为1,即可求得正六边形的边长,则问题得解.
    【解答】
    解:∵ ∠AOB=3606=60∘,OA=OB,
    ∴ OA=OB=AB,
    ∵ 半径为1,
    ∴ AB=1,
    ∴ 半径为1的正六边形的周长是6.
    故答案为:6.
    三、 解答题 (本题共计 5 小题 ,每题 10 分 ,共计50分 )
    36.
    【答案】
    (1)证明:∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O,
    ∴ AB=BC=CD=DE=EF=FA,
    ∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F,
    ∵ 点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s速度沿AF,DC向终点F,C运动,
    ∴ AP=DQ=t,PF=QC=6−t,
    在△ABP和△DEQ中,
    AB=DE,∠A=∠D,AP=DQ,
    ∴ △ABP≅△DEQ(SAS),
    ∴ BP=EQ,
    同理可证PE=QB,
    ∴ 四边形PEQB为平行四边形.
    (2)解:连接BE、OA,则∠AOB=360∘6=60∘,
    ∵ OA=OB,∴ △AOB是等边三角形,
    ∴ AB=OA=6,BE=2OB=12,
    当t=0时,点P与A重合,Q与D重合,四边形PBQE即为四边形ABDE,如图1所示:
    则∠EAF=∠AEF=30∘,
    ∴ ∠BAE=120∘−30∘=90∘,
    ∴ 此时四边形ABDE是矩形,即四边形PBQE是矩形.
    当t=6时,点P与F重合,Q与C重合,四边形PBQE即为四边形FBCE,如图2所示:
    同法可知∠BPE=90∘,此时四边形PBQE是矩形.
    综上所述,t=0s或6s时,四边形PBQE是矩形,
    ∴ AE=122−62=63,
    ∴ 矩形PBQE的面积=矩形ABDE的面积=AB×AE=6×63=363;
    ∵ 正六边形ABCDEF的面积=6△AOB的面积=6×14矩形ABDE的面积=6×14×363=543,
    ∴ 矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比=23.
    【考点】
    平行四边形的性质与判定
    正多边形和圆
    矩形的性质
    矩形的判定与性质
    等边三角形的性质与判定
    【解析】
    (1)证明△ABP≅△DEQ(SAS),可得BP=EQ,同理PE=BQ,由此即可证明;
    (2)求出t=0s或6s时,四边形PBQE是矩形,求出矩形面积和正六边形面积,即可得出结论.
    【解答】
    (1)证明:∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O,
    ∴ AB=BC=CD=DE=EF=FA,
    ∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F,
    ∵ 点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s速度沿AF,DC向终点F,C运动,
    ∴ AP=DQ=t,PF=QC=6−t,
    在△ABP和△DEQ中,
    AB=DE,∠A=∠D,AP=DQ,
    ∴ △ABP≅△DEQ(SAS),
    ∴ BP=EQ,
    同理可证PE=QB,
    ∴ 四边形PEQB为平行四边形.
    (2)解:连接BE、OA,则∠AOB=360∘6=60∘,
    ∵ OA=OB,∴ △AOB是等边三角形,
    ∴ AB=OA=6,BE=2OB=12,
    当t=0时,点P与A重合,Q与D重合,四边形PBQE即为四边形ABDE,如图1所示:
    则∠EAF=∠AEF=30∘,
    ∴ ∠BAE=120∘−30∘=90∘,
    ∴ 此时四边形ABDE是矩形,即四边形PBQE是矩形.
    当t=6时,点P与F重合,Q与C重合,四边形PBQE即为四边形FBCE,如图2所示:
    同法可知∠BPE=90∘,此时四边形PBQE是矩形.
    综上所述,t=0s或6s时,四边形PBQE是矩形,
    ∴ AE=122−62=63,
    ∴ 矩形PBQE的面积=矩形ABDE的面积=AB×AE=6×63=363;
    ∵ 正六边形ABCDEF的面积=6△AOB的面积=6×14矩形ABDE的面积=6×14×363=543,
    ∴ 矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比=23.
    37.
    【答案】
    证明:(1)连接OF,AO,
    ∵ AB=AF=EF,
    ∴ AB=AF=EF,
    ∴ ∠ABF=∠AFB=∠EBF=30∘.
    ∵ OB=OF,
    ∴ ∠OBF=∠BFO=30∘,
    ∴ ∠ABF=∠OFB,
    ∴ AB // OF.
    ∵ FG⊥BA,
    ∴ OF⊥FG,
    ∴ FG是⊙O的切线;
    (2)解:∵ AB=AF=EF,
    ∴ ∠AOF=60∘.
    ∵ OA=OF,
    ∴ △AOF是等边三角形,
    ∴ ∠AFO=60∘,
    ∴ ∠AFG=30∘.
    ∵ FG=23,
    ∴ AF=4,
    ∴ AO=4.
    ∵ AF // BE,
    ∴ S△ABF=S△AOF,
    ∴ 图中阴影部分的面积=60⋅π×42360=8π3.
    【考点】
    扇形面积的计算
    正多边形和圆
    切线的判定
    【解析】
    (1)连接OF,AO,由AB=AF=EF,得到AB=AF=EF,求得∠ABF=∠AFB=∠EBF=30∘,得到AB // OF,求得OF⊥FG,于是得到结论;
    (2)由AB=AF=EF,得到∠AOF=60∘,得到△AOF是等边三角形,求得∠AFO=60∘,得到AO=4,根据扇形的面积公式即可得到结论.
    【解答】
    证明:(1)连接OF,AO,
    ∵ AB=AF=EF,
    ∴ AB=AF=EF,
    ∴ ∠ABF=∠AFB=∠EBF=30∘.
    ∵ OB=OF,
    ∴ ∠OBF=∠BFO=30∘,
    ∴ ∠ABF=∠OFB,
    ∴ AB // OF.
    ∵ FG⊥BA,
    ∴ OF⊥FG,
    ∴ FG是⊙O的切线;
    (2)解:∵ AB=AF=EF,
    ∴ ∠AOF=60∘.
    ∵ OA=OF,
    ∴ △AOF是等边三角形,
    ∴ ∠AFO=60∘,
    ∴ ∠AFG=30∘.
    ∵ FG=23,
    ∴ AF=4,
    ∴ AO=4.
    ∵ AF // BE,
    ∴ S△ABF=S△AOF,
    ∴ 图中阴影部分的面积=60⋅π×42360=8π3.
    38.
    【答案】
    158.
    【考点】
    正多边形和圆
    圆锥的计算
    作图—复杂作图
    【解析】
    (1)作AE的垂直平分线交⊙O于C,G,作∠AOG,∠EOG的角平分线,分别交⊙O于H,F,反向延长FO,HO,分别交⊙O于D,B顺次连接A,B,C,D,E,F,G,H,八边形ABCDEFGH即为所求;
    (2)由八边形ABCDEFGH是正八边形,求得∠AOD=3608×3=135∘得到AD的长=135π×5180=154π,设这个圆锥底面圆的半径为R,根据圆的周长的公式即可求得结论.
    【解答】
    (1)如图所示,八边形ABCDEFGH即为所求,
    (2)∵ 八边形ABCDEFGH是正八边形,
    ∴ ∠AOD=3608×3=135∘,
    ∵ OA=5,
    ∴ AD的长=135π×5180=154π,
    设这个圆锥底面圆的半径为R,
    ∴ 2πR=154π,
    ∴ R=158,即这个圆锥底面圆的半径为158.
    39.
    【答案】
    (1)解:∵ DC=BC,
    ∴ △CDB是等腰三角形,
    ∵ ∠C=108∘,
    ∴ ∠1=∠CBD=36∘,
    ∵ AF // CD,
    ∴ ∠F=∠1=36∘,
    可得四边形DEAB是等腰梯形,
    ∴ ∠DBA=∠2=72∘,
    ∴ ∠F=∠BAF=36∘,
    ∴ △BAF是等腰三角形,
    进而可得:∠GEA=∠G=∠2=72∘,
    ∴ △FDG,△AEG是等腰三角形,
    故等腰三角形有:△BCD,△ABF,△FDG,△AEG.
    (2)证明:∵ 五边形ABCDE是正五边形,
    ∴ ∠C=∠CDE=108∘,CD=CB.
    得∠1=36∘,
    ∴ ∠2=108∘−36∘=72∘.
    又∵ AF // CD,
    ∴ ∠F=∠1=36∘,
    故∠G=180∘−∠2−∠F=180∘−72∘−36∘=72∘=2∠F.
    【考点】
    正多边形和圆
    等腰三角形的判定与性质
    【解析】
    (1)利用等腰三角形的性质以及正五边形的性质得出各角度进而得出答案;
    (2)分别得出:∠G与∠F的度数进而得出它们之间的关系.
    【解答】
    (1)解:∵ DC=BC,
    ∴ △CDB是等腰三角形,
    ∵ ∠C=108∘,
    ∴ ∠1=∠CBD=36∘,
    ∵ AF // CD,
    ∴ ∠F=∠1=36∘,
    可得四边形DEAB是等腰梯形,
    ∴ ∠DBA=∠2=72∘,
    ∴ ∠F=∠BAF=36∘,
    ∴ △BAF是等腰三角形,
    进而可得:∠GEA=∠G=∠2=72∘,
    ∴ △FDG,△AEG是等腰三角形,
    故等腰三角形有:△BCD,△ABF,△FDG,△AEG.
    (2)证明:∵ 五边形ABCDE是正五边形,
    ∴ ∠C=∠CDE=108∘,CD=CB.
    得∠1=36∘,
    ∴ ∠2=108∘−36∘=72∘.
    又∵ AF // CD,
    ∴ ∠F=∠1=36∘,
    故∠G=180∘−∠2−∠F=180∘−72∘−36∘=72∘=2∠F.
    40.
    【答案】
    332a2,b−c,332(b−c)2,34[a2−(b−c)2]
    (2)如图画出正三角形花环,
    ∵ 大三角形的边长都是a,小三角形的边长都是b−c,
    ∴ 两个三角形都是正三角形,
    可求得大三角形面积为34a2,小三角形的面积为34(b−c)2,
    ∴ S3=13[34a2−34(b−c)2]=312[a2−(b−c)2];
    (3)当∠A=360∘n时,能拼成一个任意正n边形花环,
    此时大正n边形的面积为na24tan180​∘n,
    花环内小正n边形的面积为n(b−c)24tan180​∘n,
    故Sn=a2−(b−c)24tan180​∘n.
    【考点】
    正多边形和圆
    解直角三角形
    【解析】
    (1)根据大六边形的边长是a可直接计算出其面积;再根据直角三角形ABC的边长可求出小正六边形的边长,由六边形的面积公式可求出小六边形的面积,再把两个六边形的面积相减即可求出六个三角形的面积;
    (2)根据题意画出图形,再根据正三角形的面积公式即可求解;
    (3)根据(1)(2)可总结出规律.
    【解答】
    解:(1)∵ 大正六边形的边长是a,
    ∴ 大正六边形的面积是:332a2;
    ∵ Rt△ABC的三边长分别为a、b、c,
    ∴ 小六边形的边长是b−c;
    ∴ 小六边形的面积是:332(b−c)2;
    ∴ 这六个三角形的面积=332a2−332(b−c)2=332[a2−(b−c)2];
    (2)如图画出正三角形花环,
    ∵ 大三角形的边长都是a,小三角形的边长都是b−c,
    ∴ 两个三角形都是正三角形,
    可求得大三角形面积为34a2,小三角形的面积为34(b−c)2,
    ∴ S3=13[34a2−34(b−c)2]=312[a2−(b−c)2];
    (3)当∠A=360∘n时,能拼成一个任意正n边形花环,
    此时大正n边形的面积为na24tan180​∘n,
    花环内小正n边形的面积为n(b−c)24tan180​∘n,
    故Sn=a2−(b−c)24tan180​∘n.
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