2022年中考复习基础必刷40题专题30勾股定理

这是一份2022年中考复习基础必刷40题专题30勾股定理，共34页。

1. 下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）
A.1，1，1B.1，1，8C.1，2，2D.2，2，2

2. 如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC=3，BD=2，且∠BCD=∠A，则线段AD的长为（ ）

A.2B.52C.3D.92

3. 如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70∘，那么∠A的度数为（ ）

A.70∘B.30∘C.35∘D.20∘

4. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB=（ ）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

5. 如图，在Rt△ACB中，∠C=90∘，sinB=0.5，若AC=6，则BC的长为( )

A.8B.12C.63D.123

6. 如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45∘，则点O所经过的最短路径的长是( )

A.2π+2B.3πC.D.+2

7. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）

A.B.C.4D.

8. 如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（）

A.B.C.2D.

9. 如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是( )

A.a2+b2＝5c2B.a2+b2＝4c2C.a2+b2＝3c2D.a2+b2＝2c2

10. 如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为( )

A.1.7B.1.8C.2.2D.2.4

11. 已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（ ）
A.10+7或5+27B.15
C.10+7D.15+37

12. 已知等腰三角形有两条边的长分别是3, 7,则这个等腰三角形的周长为（ ）
A.17B.13C.17或13D.10

13. 将弧长为2πcm，圆心角为120∘的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高及侧面积分别是( )
A.2cm，3πcm2B.22cm，3πcm2
C.22cm，6πcm2D.10cm，6πcm2

14. 如图，梯形ABCD中，AD // BC，E点在BC上，且AE⊥BC．若AB=10，BE=8，DE=63，则AD的长度为（ ）
A.8B.9C.62D.63

15. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）
A.黄金分割B.垂径定理C.勾股定理D.正弦定理

16. 如图，在半径为5的圆中，AB、CD互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A.42B.32C.4D.3

17. 在⊙O内有一点P，已知OP=3，且圆内过点P的最短弦长为6，则⊙O的面积是（ ）
A.6πB.8πC.10πD.12π

18. 如图，在直角梯形ABCD中，已知AD // BC，AB＝BC，∠ABC＝90∘，DE＝3cm，EC＝4cm，DC＝5cm，那么这个梯形ABCD的面积是（ ）

A.15217cm2B.19520cm2C.12cm2D.13cm2

19. 如图，圆内两条弦互相垂直，其中一条被分成2和6两段，另一条被分成3和4两段，此圆的直径为（ ）

A.46B.65C.9D.10

20. AB是一圆的直径，C，D是圆周上的两点．已知AC=7，BC=24，AD=15，求BD=( )
A.16B.20C.358D.565

21. 为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A.12cmB.8cmC.6cmD.10cm

22. 若△ABC为直角三角形，AC=BC=4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为_______．


23. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是________.


24. 如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝________cm．

25. 如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是________．

26. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝________．

27. 如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝________．


28. ⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是________．

29. 已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为________cm2．

30. 太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF // HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是________cm．


31. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=4，分别以AC，BC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于________．

32. 如图，半圆的直径AB长为2，C，D是半圆上的两点，若AC的度数为96∘，BD的度数为36∘，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值为________．


33. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是________．


34. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为________．


35. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为________．


36. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC=60∘,∠C=45∘．

(1)求证： AB=BD；

(2)若AE=3，求△ABC的面积；

37. 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45∘，再从C点出发沿斜坡走210米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30∘，若斜坡CF的坡比为i=1:3 （点E，C，H在同一水平线上）．

(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；

(2)求大树AB的高度（结果保留根号）

38. 如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图．

(1)如图1，画出一条线段AC，使AC=AB，C在格点上，

(2)如图2，画出一条线段EF，使EF，AB互相平分，E，F均在格点上，

(3)如图3，以A，B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．

39. 汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡的坡度；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡的坡度，问工程完工后，共需土石多少立方米？

40. 如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．

(1)求证：△DOE≅△BOF；

(2)若AB=6，AD=8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
参考答案与试题解析
2022年中考复习基础必刷题40题——专题二十九_勾股定理
一、 选择题 （本题共计 21 小题 ，每题 3 分 ，共计63分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
勾股数
勾股定理的逆定理
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
B、 1+1+5<8 ，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
C、 1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
D、 2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
等腰三角形的判定与性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ ∠BCD=∠A，∠B=∠B，
∴ △BCD∼△BAC，
∴ BCBA=BDBC，
∵ BC=3，BD=2，
∴ 3BA=23，
∴ BA=92，
∴ AD=BA−BD=92−2=52．
故选B．
3.
【答案】
B
【考点】
垂径定理
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ AB为直径，CD为弦，
∴ AB垂直平分CD，
∴ BC⌢=BD⌢，
∴ ∠BAD=12∠BOC=12×70∘=35∘．
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
勾股定理的逆定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15−7=8cm，
第二个高脚杯盛液体的高度为：11−7=4cm，
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴ AB6=48，
∴ AB=3cm
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
锐角三角函数的定义
勾股定理
【解析】
根据锐角三角函数的边角间关系，先求出AB，再利用勾股定理求出BC．
【解答】
解：在Rt△ACB中，∠C=90∘，
∴ sinB=ACAB=0.5，AC=6，
∴ AB=12，
∴ BC=AB2−AC2=63.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
弧长的计算
勾股定理
轨迹
【解析】
阐详解】利用弧长公式计算即可．
【解答】
解：如图，
故通的运动路径的加=001的长+O
7.
【答案】
D
【考点】
菱形的性质
勾股定理
等边三角形的判定方法
【解析】
利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高DE即可．
【解答】
解：记AC与BD的交点为O，
：菱形ABCDAC=6
AC⊥BD,OA=OC=3,OB=OD
．AB=5
OB=52−32=4,BD=8.
菱形的面积=12×6×8=24,
：DE⊥AB.
菱形的面积=AB⋅DE,
5DE=24,
DE=245
故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
勾股定理
轴对称图形
三角形的角平分线、中线和高
【解析】
如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；
【解答】
如图，取格点E，连接BE，
由题意得：∠AEB=90∘BE=2,AE=22+22=22
．tanA=BFAE=222=12
故答案选A．
9.
【答案】
A
【考点】
勾股定理
等腰三角形的判定与性质
全等三角形的性质与判定
【解析】
【详解】设EF=x,DF=y，根据三角形重心的性质得AF=2y,BF=2EF=2x，利用勾股定理得到42+4y2=c2 4x2+y2=14b2,x2+4y2=
14a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
【解答】解：设EF=x,DF=y
AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
…点F为△ABC的重心，AF=12AC=12b,BD=12a
小AF=2DF=2y,BF=2EF=2x
AD⊥BE ∴AFB=∠AFE=∠BFD=90∘
在R△AFB中，4x2+4y2=c2，①
在RtΔAEF中，4x2+y2=14b2，②
在:8t△BFD中，x2+4y2=14a2，③
②+③得15x2+5y2=14a2+b2&，④
①∼④得kc2−15a2+b2=0，即a2+b2=5c2
故选：A．
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
A
【考点】
三角形的重心
三角形中位线定理
勾股定理
【解析】
由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．
【解答】
解：点G为△ABC的重心，
AE=BE,BF=CF
∴EF=12AC=1.7
故选：A．
11.
【答案】
A
【考点】
相似三角形的性质
勾股定理
【解析】
直接利用相似三角形的性质结合勾股定理分别得出符合题意的答案．
【解答】
当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；
当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：82−62=27，
故m+n＝5+27；
当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：42−32=7，
故m+n＝10+7；
12.
【答案】
A
【考点】
勾股定理的逆定理
【解析】
分3是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】
解：①3是腰长时，三角形的三边分别为7、3、3，
3+3=6<7，不能组成三角形；
②3是底边长时，三角形的三边分别为7、7、3，
能组成三角形，周长=7+3=17
综上所述，这个等腰三角形的周长是17，
故选A．
13.
【答案】
B
【考点】
圆锥的展开图及侧面积
扇形面积的计算
勾股定理
【解析】
已知弧长为2πcm，圆心角为120∘的扇形为4 cm，就可以求出扇形的半径，即圆锥的母线长，根据扇形的面积公式可求这个圆锥的侧面积，根据勾股定理可求出圆锥的高．
【解答】
解：(2π×180)÷120π=3(cm)，
2π÷π÷2=1(cm)，
32−12=22(cm)，
120×π×32360=3π(cm2)．
故这个圆锥的高是22cm，侧面积是3πcm2．
故选B．
14.
【答案】
C
【考点】
梯形
勾股定理
【解析】
利用勾股定理列式求出AE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=90∘，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】
解：∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEB=90∘，
∵ AB=10，BE=8，
∴ AE=AB2−BE2=102−82=6，
∵ AD // BC，
∴ ∠DAE=∠AEB=90∘，
∴ AD=DE2−AE2=(63)2−62=62．
故选：C．
15.
【答案】
C
【考点】
勾股定理的证明
【解析】
“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明．
【解答】
解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理．
故选：C．
16.
【答案】
B
【考点】
垂径定理
勾股定理
【解析】
作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，根据垂径定理得到AE=BE=12AB=4，DF=CF=12CD=4，再利用勾股定理可计算出OE=3，OF=3，接着证明四边形OEPF为矩形，则OF=PE=3，然后在Rt△OPE中利用勾股定理即可得到OP=2OE=32．
【解答】
解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，
则AE=BE=12AB=4，DF=CF=12CD=4，
在Rt△BOE中，∵ OB=5，BE=4，
∴ OE=OB2−BE2=3，
同理可得OF=3，
∵ AB⊥CD，OF⊥CD，OE⊥AB，
∴ 四边形OEPF为矩形，
∴ OF=PE=3，
在Rt△OPE中，∵ OE=3，PE=3，
∴ OP=2OE=32．
故选B．
17.
【答案】
D
【考点】
垂径定理
勾股定理
【解析】
如图，根据题意可以判断：最短弦AB⊥OP；求出BP的长度，借助勾股定理即可解决问题．
【解答】
解：如图，由题意得：OP=3，OP⊥AB，且AB=6；
∴ BP=AP=3；由勾股定理得：
OB2=OP2+BP2=3+9=12，
∴ ⊙O的面积=π⋅OB2=12π，
故选D．
18.
【答案】
A
【考点】
勾股定理的逆定理
直角梯形
相似三角形的性质与判定
【解析】
根据勾股定理的逆定理判断△DCE是直角三角形，从而可以证明△ADE∽△BEC，设AE＝x，进而根据相似三角形对应边的比相等分别表示BE、BC、AD的长，根据勾股定理求得x的值，进而求得梯形的面积．
【解答】
∵ DE＝3cm，EC＝4cm，DC＝5cm，
∴ ∠DEC＝90∘，
又∠ABC＝90∘，
∴ ∠AED＝∠BCE，
∴ △ADE∽△BEC．
设AE＝x，则BC=43x，BE＝BC−AE=13x，AD=14x，
在直角三角形BCE中，根据勾股定理，得19x2+169x2=16，
解得x2=14417，
则这个梯形ABCD的面积是12×(14x+43x)⋅43x=15217(cm2)．
19.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
垂径定理
【解析】
首先过点O作OE⊥AB于E，过点O作DF⊥CD于F，连接OA，OC，根据勾股定理，即可求得BE，AE，DF，CF的值，又由圆内两条弦互相垂直，即可证得四边形OEMF是矩形，然后根据勾股定理，即可求得此圆的直径．
【解答】
过点O作OE⊥AB于E，过点O作OF⊥CD于F，连接OA，OC，
∴ BE＝AE=12AB=12×(3+4)=72，DF＝CF=12CD=12(2+6)＝4，
∴ MF＝DF−DM＝4−2＝2，
∵ AB⊥CD，
∴ ∠OEM＝∠OFM＝∠EMF＝90∘，
∴ 四边形OEMF是矩形，
∴ OE＝MF＝2，
在Rt△AOE中，OA=AE2+OE2=(72)2+22=652，
∴ 圆的直径为65．
20.
【答案】
B
【考点】
圆周角定理
勾股定理
【解析】
根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=∠ADB=90∘，再根据勾股定理分别求得AB，BD的长即可．
【解答】
解：∵ AB是直径
∴ ∠ACB=∠ADB=90∘
∵ AC=7，BC=24
∴ AB=25
∵ AD=15
∴ BD=20．
故选B．
21.
【答案】
D
【考点】
垂径定理的应用
勾股定理
【解析】
圆心为O，作OE⊥AB于F，连接0A，OF，用勾股定理求出OA的长，进而得出其直径的长．
【解答】
解：作OE⊥AB于F，连接OA，OF，则OA2=OF2+AF2，
∴ OA2=(OA−2)2+42，
解之得OA=5，
∴ 直径=5×2=10cm．
故选D．
二、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 3 分 ，共计42分 ）
22.
【答案】
4
【考点】
扇形面积的计算
勾股定理
等边三角形的判定方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
23.
【答案】
2−1
【考点】
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，设DE=x，
由题意3DE2=1，
∴ DE=33，
在Rt△CDE中， ∠CED=90∘， CD=1，
∴ EC=CD2−DE2=12−332=63，
∴ tan∠ECD=DTCD=DEEC，
∴ AT=1−22，
∵ ∠ABT=∠TCD，
∴ tan∠ABT=tan∠TCD，
∴ ATAB=DTCD，
∴ 1−22AB=22，
∴AB=2−1，
故答案为： 2−1．
24.
【答案】
5
【考点】
翻折变换（折叠问题）
勾股定理
矩形的性质
【解析】
【详解】连接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可．
【解答】解：连接AC，FC．
A—
由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF
FM⊥BE，∴ F．M，C共线，FM=MC
AN=FN∵MN=12AC
四边形ABCD是矩形，∴ ∴ABC=90∘
AC=AB2+BC2=62+82=10cm，MN=12AC=5cm
故答案为5．
【解答】
此题暂无解答
25.
【答案】
2、5
【考点】
正方形的性质
勾股定理
三角形中位线定理
【解析】
动点问题，找到对称轴作对称点相连即可算出答案连接CE即为AP+PE的最小值．
【解答】
c
连接CE．
因为A、C关于BD对称．
CE即为AP+PE的最小值．
…正方形边长为4，E是AB中点
BC=4,BE=2
CE=BE2+BC2=22+42=25
故答案为：25
26.
【答案】
3
【考点】
矩形的性质
勾股定理
全等三角形的性质与判定
【解析】
根据矩形的性质得到ABIICD，AB=CD,AD=BC∠BAD=90∘，根据线段中点的定义得到DE=12CD=12AB，根据相似三角
形的判定证明△ABP−△EDP，再利用相识三角形的性质和判定即可得到结论．
【解答】
解：四边形ABCD是矩形，
．ABIICD，AB=CD,AD=BC∠BAD=90∘
E为CD的中点，
DE=12CD=12AB
△ABP−△EDP
ABDE=PBPD
21=PBPD
PBBD=23
PQ⊥BC
．．PQICD，
△BPQ−△OBC
PQCD=BPBD=23
CD=2
PQ=43
故答案为：43
27.
【答案】
1
【考点】
勾股定理
【解析】
设AE＝ED＝x，CD＝y，根据勾股定理即可求出答案．
【解答】
设AE＝ED＝x，CD＝y，
∴ BD＝2y，
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB＝∠ADC＝90∘，
在Rt△ABD中，
∴ AB2＝4x2+4y2，
∴ x2+y2＝1，
在Rt△CDE中，
∴ EC2＝x2+y2＝1
∵ EC>0
∴ EC＝1．
另依据AD⊥BC，BD＝2CD，E是AD的中点，
即可得判定△CDE∽△BDA，
且相似比为1:2，
∴ ＝，
即CE＝1．
28.
【答案】
4≤OP≤5
【考点】
勾股定理
垂径定理
【解析】
因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=4，即OP的最小值为4，所以4≤OP≤5．
【解答】
如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵ ⊙O的直径为10，
∴ 半径为5，
∴ OP的最大值为5，
∵ OM⊥AB与M，
∴ AM=BM，
∵ AB=6，
∴ AM=3，
在Rt△AOM中，OM=52−32=4，
OM的长即为OP的最小值，
∴ 4≤OP≤5．
29.
【答案】
24.
【考点】
菱形的性质
菱形的面积
勾股定理
【解析】
考点析菱联题性质．
【解答】
此题暂无解答
30.
【答案】
4045
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
分别过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，利用勾股定理得出BN的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．
【解答】
解：过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，
∵ AD=24cm，则BC=24cm，
∴ BN=BC2−NC2=252−242=7(cm)，
∵ ∠AMB=∠CNB=90∘，∠ABM=∠CBN，
∴ △BNC∽△BMA，
∴ ABBF=CNAM，
∴ 8025=AM24，
则：AM=16×245=3845，
故点A到地面的距离是：3845+4=4045(m)．
故答案为：4045．
31.
【答案】
16
【考点】
勾股定理
【解析】
在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC2+BC2的值，根据S1，S2分别表示正方形面积，求出S1+S2的值即可．
【解答】
解：∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=4，
∴ 由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=16，
则S1+S2=AC2+BC2=16，
故答案为：16．
32.
【答案】
3
【考点】
勾股定理
垂径定理
圆心角、弧、弦的关系
轴对称——最短路线问题
【解析】
首先将圆补成整圆．再作D点的对称点，利用垂径定理以及解直角三角形求出CD即可，进而得出CP+PD的最小值．
【解答】
将半圆补成整圆，作D点关于直径AB的对称点D′，连接CD，作ON⊥CD，
∵ AC的度数为96∘，BD的度数为36∘，
∴ ∠DOB＝36∘，
∠AOC＝96∘，
∴ ∠COD＝48∘，
∴ ∠BOD′＝36∘，
∴ ∠COD′＝36∘+36∘+48∘＝120∘，
∵ 半圆的直径AB长为2，
∴ ∠OCN＝30∘，
∴ ON=12，
∴ CN=1−(12)​2=32，
∴ CD=3，
∵ CD＝PC+PD，
∴ PC+PD=3．
33.
【答案】
255
【考点】
相似三角形的性质与判定
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，
由圆周角定理得：∠ACB=∠ADB，
由勾股定理得：AD=42+22=25，
∴ sin∠ACB=sin∠ADB=AB25=265，
故答案为：255．
34.
【答案】
5485
【考点】
勾股定理
相似三角形的性质与判定
锐角三角函数的定义
【解析】
如图，过点F作FH⊥AC于H．首先证明FH:AH=2:3，设FH=2k，AH=3k，根据tan∠FCH = FHCH = ADAD，构建方程求解即可．
【解答】
解：如图，过点F作FH⊥AC于H．
在Rt△ABC中，∵ ∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，
∴ AB = CB2 + AC2 = 42 + 32 = 5.
∵ CD⊥AB，
∴ S△ABC = 12⋅AC⋅BC = 12⋅AB⋅CD，
∴ CD = 125，AD = AC2 − CD2 = 32 − (125)2 = 95.
∵ FH // EC，
∴ △AFH∽△AEC，
∴ FHEC = AHAC.
∵ EC=EB=2，
∴ FHAH = 23，设FH=2k，AH=3k，CH=3−3k.
∵ tan∠FCH = FHCH = ADCD，
∴ 2k3 − 3k = 95125，
∴ k = 917，
∴ FH = 1817，CH=3 − 2717 = 2417，
∴ CF = CH2 + FH2 = (1817)2 + (2417)2 = 3017，
∴ DF = 125 − 3017 = 5485.
故答案为：5485.
35.
【答案】
5
【考点】
等腰三角形的性质
勾股定理
直角三角形斜边上的中线
【解析】
利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【解答】
解：∵ AB=AC，AD平分∠BAC，
∴ AD⊥BC，BD=CD=6，
∴ ∠ADB=90∘，
∴ AB=AD2+BD2=82+62=10.
∵ AE=EB，
∴ DE=12AB=5.
故答案为：5.
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）
36.
【答案】
证明：（1）因为BD平分∠ABC，
所以 ∠ADB=12∠ABC=30∘，
又因为∠BAC=180∘−∠ABC−∠C=75∘，
所以∠BAC=∠ADB，
所以AB=BD，
（2）由题意，得BE=AEtan∠ABC=3 ，EC=AEtan∠C=3，
所以BC=3+3，
所以△ABC的面积为12BC⋅AE=9+332．
【考点】
圆周角定理
勾股定理
角平分线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：（1）因为BD平分∠ABC，
所以 ∠ADB=12∠ABC=30∘，
又因为∠BAC=180∘−∠ABC−∠C=75∘，
所以∠BAC=∠ADB，
所以AB=BD，
（2）由题意，得BE=AEtan∠ABC=3 ，EC=AEtan∠C=3，
所以BC=3+3，
所以△ABC的面积为12BC⋅AE=9+332．
37.
【答案】
解：（1）过点D作DH⊥CE于点H，
由题意知CD=210米，
∵ 斜坡CF的坡比为i=1:3，
∴ DHCH=13，
设DH=x（米），CH=3x（米），
∵ DH2+CH2=DC2，
∴ x2+3x2=2102
∴ x=2，
∴ DH=2（米），CH=6（米），
答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
（2）过点D作DG⊥AB于点G，
∵ ∠DHB=∠DGB=∠ABC=90∘，
∴ 四边形DHBG为矩形，
∴ DH=BG=2米,DG=BH=x+6米，
∵ ∠ACB=45∘，
∴ BC=AB=x（米），
∴ AG=x−2米，
∵ ∠ADG=30∘，
∴ AGDG=tan30∘=33，
∴ x−2x+6=33，
∴ x=6+43，
∴ AB=6+43（米），
答：大树AB的高度是6+43米．
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
勾股定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）过点D作DH⊥CE于点H，
由题意知CD=210米，
∵ 斜坡CF的坡比为i=1:3，
∴ DHCH=13，
设DH=x（米），CH=3x（米），
∵ DH2+CH2=DC2，
∴ x2+3x2=2102
∴ x=2，
∴ DH=2（米），CH=6（米），
答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
（2）过点D作DG⊥AB于点G，
∵ ∠DHB=∠DGB=∠ABC=90∘，
∴ 四边形DHBG为矩形，
∴ DH=BG=2米,DG=BH=x+6米，
∵ ∠ACB=45∘，
∴ BC=AB=x（米），
∴ AG=x−2米，
∵ ∠ADG=30∘，
∴ AGDG=tan30∘=33，
∴ x−2x+6=33，
∴ x=6+43，
∴ AB=6+43（米），
答：大树AB的高度是6+43米．
38.
【答案】
解：如图：（1）线段AC即为所作，
（2）线段EF即为所作，
（3）四边形ABHG即为所作．
【考点】
三角形的面积
勾股定理
坐标与图形性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图：（1）线段AC即为所作，
（2）线段EF即为所作，
（3）四边形ABHG即为所作．
39.
【答案】
50815−81+362立方米．
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
勾股定理
分式方程的应用
【解析】
先过A作AH⊥BC于H，过E作EH⊥BC于G，由矩形的性质和题意斜坡AB的坡度i=1:1，得到BG=92−42，由题
意斜坡EF的坡度i=1:5，再结合梯形面积公式即可得到答案
【解答】
解：过A作AH⊥BC于H，过E作EH⊥BC于G，
则四边形EGHA是矩形，
EG=AHGH=AE=2
AB=30×30=900cm=9米，
斜坡AB的坡度i=1:1
BG=BH=922,
斜坡EF的坡度i=1:5
FG=9102
BF=FG−BG=9102−92−42
∴ S加加加加加=122+9102−92−42×922=815−81+3624
…共需土石为813−81+362E4×200=5085−81+362立方米．
F二
40.
【答案】
(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD // BC，DO=BO，
∴ ∠EDO=∠FBO，
又∵ EF⊥BD，
∴ ∠EOD=∠FOB=90∘，
在△DOE和△BOF中，
∠EDO=∠FBO,DO=BO,∠EOD=∠FOB=90,
∴ △DOE≅△BOF(ASA).
(2)解：由(1)可得，ED // BF，ED=BF，
∴ 四边形BFDE是平行四边形，
∵ BO=DO，EF⊥BD，
∴ ED=EB，
∴ 四边形BFDE是菱形，
根据AB=6，AD=8，设AE=x，可得BE=ED=8−x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2=AB2+AE2，
即(8−x)2=x2+62，
解得：x=74，
∴ BE=8−74=254，
∴ 四边形BFDE的周长=254×4=25．
【考点】
矩形的性质
全等三角形的性质与判定
菱形的判定与性质
勾股定理
【解析】
（1）根据矩形的性质可得BO＝DO，∠EOD＝∠FOB，∠EDO＝∠FBO，即可证的两个三角形全等；
（2）设AE＝x，根据已知条件可得AE＝8−x，由（1）可推得△EBO≅△EDO，可得ED＝EB，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；
【解答】
(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD // BC，DO=BO，
∴ ∠EDO=∠FBO，
又∵ EF⊥BD，
∴ ∠EOD=∠FOB=90∘，
在△DOE和△BOF中，
∠EDO=∠FBO,DO=BO,∠EOD=∠FOB=90,
∴ △DOE≅△BOF(ASA).
(2)解：由(1)可得，ED // BF，ED=BF，
∴ 四边形BFDE是平行四边形，
∵ BO=DO，EF⊥BD，
∴ ED=EB，
∴ 四边形BFDE是菱形，
根据AB=6，AD=8，设AE=x，可得BE=ED=8−x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2=AB2+AE2，
即(8−x)2=x2+62，
解得：x=74，
∴ BE=8−74=254，
∴ 四边形BFDE的周长=254×4=25．