高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数同步练习题

课时作业29　指数函数的应用

时间：45分钟

——基础巩固类——

1．下列判断正确的是(　D　)

A．2.52.5>2.53   B．0.82<0.83

C．π2<π   D．0.90.3>0.90.5

解析：∵y＝0.9x是减函数，且0.5>0.3，

∴0.90.3>0.90.5.

2．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域为R，则(　B　)

A．f(x)与g(x)均为偶函数

B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

C．f(x)与g(x)均为奇函数

D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数

解析：f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，f(x)为偶函数，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，g(x)为奇函数．

3．已知f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是(　D　)

A．a>0   B．a>1

C．a<1   D．0<a<1

解析：∵f(－2)＝a2, f(－3)＝a3.

f(－2)>f(－3)，即a2>a3，故0<a<1.选D.

4．定义运算a*b：a*b＝如1](　C　)

A．R   B．(0，＋∞)

C．(0,1]   D．[1，＋∞)

解析：由所给信息可得，f(x)＝2x*2－x＝

f(x)的图象如图所示，可知函数f(x)的值域为(0,1]．

5．当x∈(－∞， －1]时，不等式(m2－m)4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是(　C　)

A．(－2,1)   B．(－4,3)

C．(－1, 2)   D．(－3, 4)

解析：原不等式变形为m2－m<x，

∵函数y＝x在(－∞， －1]上是减函数，

∴x≥－1＝2，

当x∈(－∞， －1]时，m2－m<x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.

6．设函数f(x)定义在实数集上，f(1＋x)＝f(1－x)，且当x≥1时，f(x)＝x，则有(　D　)

A．f<f(2)<f

B．f<f(2)<f

C．f<f<f(2)

D．f(2)<f<f

解析：由f(1＋x)＝f(1－x)，得函数f(x)的图象关于x＝1对称，

当x≥1时，f(x)＝x单调递减，

则当x≤1时，函数f(x)单调递增，

∵f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)，

∴f(0)<f<f，

即f(2)<f<f.

7．已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是(－∞，1]．

解析：法1：由指数函数的性质可知f(x)＝x在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间．又y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]．

法2：f(x)＝|x－1|＝

可画出f(x)的图象求其单调递增区间．

8．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗4次．

解析：设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的2，经过第三次漂洗，存留量为原来的3，……，经过第x次漂洗，存留量为原来的x，故解析式为y＝x.由题意，x≤，4x≥100,2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次．

9．已知a是任意实数，则关于x的不等式(a2－a＋2 017)x2<(a2－a＋2 017)2x＋3的解集为{x|－1<x<3}．

解析：∵a2－a＋2 017＝2＋2 016.75>1，∴x2<2x＋3，解得－1<x<3.

10．已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数f(x)的值域．

解：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，

∴y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.

当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，

∴当a>1时，y≥2.

当0<a<1时，∵x≥0，∴0<t≤1.

∵g(0)＝－1，g(1)＝2，

∴当0<a<1时，－1<y≤2.

综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)；

当0<a<1时，函数的值域是(－1,2]．

11．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.

(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；

(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．

解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，

令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，

由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，

y＝x在R上是减函数，∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．

(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，

由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；

因此必有解得a＝1.

即当f(x)有最大值3时，a的值为1.

——能力提升类——

12．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为(　D　)

A．(1，＋∞)   B．(1,8)

C．(4,8)   D．[4,8)

解析：由题可知，f(x)在R上是增函数，

所以解得4≤a<8，

故选D.

13．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是[－1,0]．

解析：依题意，2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，

∴Δ＝4a2＋4a≤0，－1≤a≤0.

14．若方程x＋x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是(－3,0)．

解析：令x＝t，

∵方程有正根，∴t∈(0,1)．

方程转化为t2＋2t＋a＝0.

∴a＝1－(t＋1)2，

∵t∈(0,1)，∴a∈(－3,0)．

15．已知函数f(x)＝a－(x∈R)．

(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；

(2)若f(x)为奇函数，求a的值；

(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．

解：(1)证明：f(x)的定义域为R，

设x1，x2是R上的任意两个不相等的实数，且x1<x2，

(2)∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a－＝0，

解得a＝.

(3)由(2)知，f(x)＝－.

由(1)知，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，

∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．

∵f(1)＝－＝，

∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.