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湖北省襄阳市襄州区2017-2018学年七年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份湖北省襄阳市襄州区2017-2018学年七年级（上）期末数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年湖北省襄阳市襄州区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．﹣2与2互为倒数 B．﹣2＜0
C． D．﹣2与互为相反数
3．（3分）下列合并同类项的正确结果是（ ）
A．2a+b=2ab B．a2+a2=a4
C．3x2﹣x2=3 D．3x2y﹣2yx2=x2y
4．（3分）当|a+3|+（b﹣4）2取得最小值时，a+b的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
5．（3分）关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（ ）
A．10 B．﹣8 C．﹣10 D．8
6．（3分）有x辆客车，若每辆客车乘50人，则还有10人不能上车；若每辆车乘52人，则只有2人不能上车，下列4个方程正确的是（ ）
A．50x+10=52x﹣2 B．50x﹣10=52x﹣2 C．50x+10=52x+2 D．50x﹣10=52x+2
7．（3分）如图，下列不正确的几何语句是（ ）
A．直线AB与直线BA是同一条直线
B．射线OA与射线OB是同一条射线
C．射线OA与射线AB是同一条射线
D．线段AB与线段BA是同一条线段
8．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两条直线相交，只有一个交点
C．两点确定一条直线
D．过平面上的任意三点，一定能作三条直线
9．（3分）用一副三角板可以画出一些指定的角，下列各角中，不能用一副三角板画出的是（ ）
A．15° B．75° C．85° D．105°
10．（3分）如图，将正方体的平面展开图重新折成正方体后，“快”字对面的字是（ ）
A．新 B．年 C．快 D．乐
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）襄阳电视台天气预报，元月7日襄州区的气温是﹣3℃﹣2℃，则这一天的温差是 ℃．
12．（3分）已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是 ．
13．（3分）互联网“微商”经营已成为大众创业的新途径，某微商服务平台有一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的进价为 元．
14．（3分）将21.54°用度、分、秒表示为 ．
15．（3分）已知关于x的方程kx=5﹣x，有正整数解，则整数k的值为 ．
16．（3分）在平面上∠AOB=100°，∠BOC=80°，OM平分∠AOB，ON平分∠COB，则∠MON的度数是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（12分）计算：
（1）65×4﹣（﹣2.5）÷（﹣0.1）；
（2）﹣23×5﹣（﹣2）4÷4；
（3）（4a2b﹣3ab）+（5a2b+4ab）；
（4）．
18．（16分）解下列方程：
（1）2x﹣（x+10）=5x+2（x﹣1）；
（2）3x+；
（3）；
（4）．
19．（5分）化简求值：2（x3﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3y2+2x3），其中x=﹣2，y=﹣3．
20．（5分）若一个锐角的余角的补角比这个锐角的补角的一半多15°，求这个锐角的度数．
21．（5分）如图，已知线段a、b、c（a＞c），用圆规和直尺作一条线段，使它等于a+2b﹣c．
22．（7分）为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水14吨，交水费25元．该市规定的每户月用水标准量是多少吨？
23．（8分）如图，∠AOB=100°，∠AOC为锐角，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．
（1）如果∠AOC=40°，求∠MON的度数；
（2）如果∠AOC为任意一个锐角，你能求出∠MON的度数吗？若能，请求出来；若不能，说明为什么？
24．（4分）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t；如果进行精加工，每天可加工6t，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
25．（10分）如图，线段AB=10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．） 当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x．
（1）当x=3时，线段PQ的长为 ．
（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长．
（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年湖北省襄阳市襄州区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】由相反数的定义容易得出结果．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的定义；熟记相反数的定义是解决问题的关键．
2．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．﹣2与2互为倒数 B．﹣2＜0
C． D．﹣2与互为相反数
【分析】从互为倒数的定义入手，可判断出A是否正确，根据任何负数都小于0得出B的正确性，根据负数的比较大小方法，绝对值大的反而小，判断出C，根据互为相反数的定义，判断出D．
【解答】解：A．﹣2与2互为倒数，从互为倒数的定义入手，两数数相乘等于1，而﹣2×2=﹣4，故选项A错误；
B．﹣2＜0，根据任何负数都小于0，直接得出答案，故选项B正确；
C．﹣2＞﹣，根据负数的比较大小方法，绝对值大的反而小，可以得出，|﹣2|＞||，故﹣2＜﹣，故选项C错误；
D．﹣2与互为相反数，根据互为相反数的定义，即和为0，﹣2+（﹣）=≠0，故选项D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数大小的比较以及互为相反数和互为倒数的定义，题目难度不大，关键是区分这几个定义．
3．（3分）下列合并同类项的正确结果是（ ）
A．2a+b=2ab B．a2+a2=a4
C．3x2﹣x2=3 D．3x2y﹣2yx2=x2y
【分析】利用合并同类项的法则：系数相加作为系数，字母和字母的次数不变，即可作出判断．
【解答】解：A、2a与b不是同类项，不能合并，故A错误；
B、a2+a2=2a2，故B错误；
C、3x2﹣x2=2x2，故C错误；
D、同类项相减，字母不变，系数相减，则3x2y﹣2yx2=x2y，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项的法则，理解法则是关键．
4．（3分）当|a+3|+（b﹣4）2取得最小值时，a+b的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则a+b=﹣3+4=1．
故选：A．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
5．（3分）关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（ ）
A．10 B．﹣8 C．﹣10 D．8
【分析】在题中，可分别求出x的值，当然两个x都是含有m的代数式，由于两个x相等，可列方程，从而进行解答．
【解答】解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2
由题意知=m﹣2
解之得：m=﹣8．
故选：B．
【点评】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．
6．（3分）有x辆客车，若每辆客车乘50人，则还有10人不能上车；若每辆车乘52人，则只有2人不能上车，下列4个方程正确的是（ ）
A．50x+10=52x﹣2 B．50x﹣10=52x﹣2 C．50x+10=52x+2 D．50x﹣10=52x+2
【分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后列出方程解答即可．
【解答】解：设有x辆客车，根据题意可得：50x+10=52x+2．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
7．（3分）如图，下列不正确的几何语句是（ ）
A．直线AB与直线BA是同一条直线
B．射线OA与射线OB是同一条射线
C．射线OA与射线AB是同一条射线
D．线段AB与线段BA是同一条线段
【分析】根据射线的概念：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线；所以，射线的端点不同，则射线不同．
【解答】解：A正确，因为直线向两方无限延伸；
B正确，射线的端点和方向都相同；
C错误，因为射线的端点不相同；
D正确．
故选：C．
【点评】解答本题必须结合图形，否则易误选B．
8．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两条直线相交，只有一个交点
C．两点确定一条直线
D．过平面上的任意三点，一定能作三条直线
【分析】根据直线公理、线段公理进行逐一分析判断．
【解答】解：A、两点之间，线段最短，是线段公理，故该选项正确；
B、根据直线公理“两点确定一条直线”，则两条直线相交，只有一个交点，故该选项正确；
C、两点确定一条直线，是直线公理，故该选项正确；
D、当三点共线时，则只能确定一条直线，故该选项错误．
【点评】此题考查了直线公理、线段公理．
9．（3分）用一副三角板可以画出一些指定的角，下列各角中，不能用一副三角板画出的是（ ）
A．15° B．75° C．85° D．105°
【分析】一副三角板中的度数有：90°、60°、45°、30°；用三角板画出角，无非是用角度加减法，根据选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、15°的角，45°﹣30°=15°；
B、75°的角，45°+30°=75°；
C、85°的角，不能直接利用三角板画出；
D、105°的角，45°+60°=105°．
故选：C．
【点评】此题考查的知识点是角的计算，关键是用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．
10．（3分）如图，将正方体的平面展开图重新折成正方体后，“快”字对面的字是（ ）
A．新 B．年 C．快 D．乐
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“祝”与“新”是相对面，
“你”与“年”是相对面，
“快”与“乐”是相对面．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）襄阳电视台天气预报，元月7日襄州区的气温是﹣3℃﹣2℃，则这一天的温差是 5 ℃．
【分析】用最高气温减去最低气温，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】解：2﹣（﹣3）=3+2=5℃．
故答案为：5；
【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
12．（3分）已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是 7 ．
【分析】把题中的代数式2x+4y+1变为x+2y的形式，再直接代入求解．
【解答】解：∵x+2y=3，
∴2x+4y+1=2（x+2y）+1
=2×3+1=7．
故答案为：7．
【点评】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x+2y的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
13．（3分）互联网“微商”经营已成为大众创业的新途径，某微商服务平台有一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的进价为 180 元．
【分析】设这款服装每件的进价为x元，根据利润=售价﹣进价建立方程求出x的值就可以求出结论．
【解答】解：设这款服装每件的进价为x元，由题意，得
300×0.8﹣x=60，
解得：x=180．
故这款服装每件的进价为180元．
故答案是：180．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
14．（3分）将21.54°用度、分、秒表示为 21°32′24″ ．
【分析】根据不到一度的化成分，不得哦一分的化成秒，可得答案．
【解答】解：21.54°=21°32′24″，
故答案为：21°32′24″．
【点评】本题考查了度分秒的换算，大的单位化小的单位乘以进率，小的单位化大的单位除以进率．
15．（3分）已知关于x的方程kx=5﹣x，有正整数解，则整数k的值为 0或4 ．
【分析】根据方程的解是正整数，可得5的约数．
【解答】解：由kx=5﹣x，得
x=．
由关于x的方程kx=5﹣x，有正整数解，得
5是（k+1）的倍数，
得k+1=1或k+1=5．
解得k=0或k=4，
故答案为：0或4．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于k的方程是解题关键．
16．（3分）在平面上∠AOB=100°，∠BOC=80°，OM平分∠AOB，ON平分∠COB，则∠MON的度数是 10°或90° ．
【分析】注意此题要分两种情况：①当OC落在∠AOB的内部时，②当OC落在∠AOB的外部时；利用角的和差关系计算．
【解答】解：分两种情况：
①当OC落在∠AOB的内部时：
∵OM平分∠AOB，
∴∠BOM=∠AOB=×100°=50°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠BON=∠BOC=×80°=40°，
∴∠MON=∠BOM﹣∠BON=50°﹣40°=10°；
②当OC落在∠AOB的外部时：
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠BOM=∠AOB=×100°=50°，
∠BON=∠BOC=×80°=40°，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=50°+40°=90°．
综上所述，∠MON的度数是10°或90°．
故答案是：10°或90°．
【点评】此题主要考查了角的计算，做题时要注意分情况讨论，不能片面的考虑一种情况，题目比较典型．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（12分）计算：
（1）65×4﹣（﹣2.5）÷（﹣0.1）；
（2）﹣23×5﹣（﹣2）4÷4；
（3）（4a2b﹣3ab）+（5a2b+4ab）；
（4）．
【分析】（1）先计算乘除法，再计算减法即可得；
（2）根据有理数混合运算顺序和运算法则计算可得；
（3）先去括号，再合并同类项即可得；
（4）先去括号，再合并同类项即可得．
【解答】解：（1）原式=260﹣2.5×10
=260﹣25
=235；
（2）原式=﹣8×5﹣16÷4
=﹣40﹣4
=﹣44；
（3）原式=4a2b﹣3ab+5a2b+4ab=9a2b+ab；
（4）原式=3x2﹣（5x﹣x+3+2x2）
=3x2﹣5x+x﹣3﹣2x2
=x2﹣x﹣3．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则及去括号、合并同类项的法则是解题的关键．
18．（16分）解下列方程：
（1）2x﹣（x+10）=5x+2（x﹣1）；
（2）3x+；
（3）；
（4）．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解；
（2）（3）（4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
【解答】解：（1）2x﹣（x+10）=5x+2（x﹣1），
去括号得2x﹣x﹣10=5x+2x﹣2，
移项得2x﹣x﹣5x﹣2x=10﹣2
合并同类项得﹣6x=8，
系数化为1，得x=﹣；
（2）3x+，
18x+3（x﹣1）=18﹣2（2x﹣1），
18x+3x﹣3=18﹣4x+2，
18x+3x+4x=18+2+3，
25x=23，
x=；
（3），
4x+5（x﹣1）=15（x﹣1）﹣16x，
4x+5x﹣5=15x﹣15﹣16x，
4x+5x﹣15x+16x=﹣15+5，
10x=﹣10，
x=﹣1；
（4），
原方程可化为﹣x=﹣1，
3（x﹣4）﹣12x=2（10﹣x）﹣12，
3x﹣12﹣12x=20﹣2x﹣12，
3x﹣12x+2x=20﹣12+12，
﹣7x=20，
x=﹣．
【点评】考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
19．（5分）化简求值：2（x3﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3y2+2x3），其中x=﹣2，y=﹣3．
【分析】先去括号，然后合并同类项即可化简题目中的式子，然后将x、y的值代入即可解答本题．
【解答】解：2（x3﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3y2+2x3）
=2x3﹣4y2﹣x+2y﹣x+3y2﹣2x3
=﹣y2﹣2x+2y，
当x=﹣2，y=﹣3时，
原式=﹣（﹣3）2﹣2×（﹣2）+2×（﹣3）=﹣9+4+（﹣6）=﹣11．
【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
20．（5分）若一个锐角的余角的补角比这个锐角的补角的一半多15°，求这个锐角的度数．
【分析】设这个角为x，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可．
【解答】解：设这个锐角为x°，
由题意得180﹣（90﹣x）=（180﹣x）+15
解得，x=10
答：这个锐角为10°．
【点评】本题考查了余角与补角的定义，熟记“余角的和等于90°，补角的和等于180°”是解题的关键．
21．（5分）如图，已知线段a、b、c（a＞c），用圆规和直尺作一条线段，使它等于a+2b﹣c．
【分析】首先做射线，在射线上依次截取AB=a，BC=CD=b，再截取DE=c，进而得出AE即为所求．
【解答】解：如图，线段AE即为所求作的线段．
【点评】此题主要考查了复杂作图，正确截取已知线段是解题关键．
22．（7分）为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水14吨，交水费25元．该市规定的每户月用水标准量是多少吨？
【分析】用14×1.5与25比较可得出该用户用水超过了标准量，设该市规定的每户月用水标准量是x吨，根据1.5×标准用水量+2.5×超出标准量部分=25，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵14×1.5=21（元）＜25元，
∴该用户用水超过了标准量．
设该市规定的每户月用水标准量是x吨，
根据题意得：1.5x+2.5 （14﹣x）=25，
解得：x=10．
答：该市规定的每户每月用水标准量是10吨．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
23．（8分）如图，∠AOB=100°，∠AOC为锐角，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．
（1）如果∠AOC=40°，求∠MON的度数；
（2）如果∠AOC为任意一个锐角，你能求出∠MON的度数吗？若能，请求出来；若不能，说明为什么？
【分析】（1）依据OM平分∠BOC，ON平分∠AOC可得∠MOC=∠BOC，∠NOC=∠AOC，再根据∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠BOC﹣∠AOC）进行计算即可；
（2）结合图形，根据角的和差以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB的关系，即可求出∠MON的度数．
【解答】解：（1）因为OM平分∠BOC，ON平分∠AOC
所以∠MOC=∠BOC，∠NOC=∠AOC
所以∠MON=∠MOC﹣∠NOC
=（∠BOC﹣∠AOC）
=（100°+40°﹣40°）
=50°．
（2）可以．
同理，∠MON=∠MOC﹣∠NOC
=（∠BOC﹣∠AOC）
=（∠BOA+∠AOC﹣∠AOC）
=∠BOA
=50°．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及角的计算，此类问题注意结合图形，运用角的和差和角平分线的定义求解．
24．（4分）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t；如果进行精加工，每天可加工6t，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
【分析】方案1：把140吨蔬菜全部粗加工，每吨获利4500元；
方案2：15天精加工，每天加工6t，每吨获利7500；剩下的50t直接销售，每吨获利1000元；
方案3：等量关系为：精加工天数+粗加工天数=15，精加工吨数+粗加工吨数=140．
【解答】解：①方案一获利为：4500×140=630000（元）．
②方案二获利为：7500×（6×15）+1000×（140﹣6×15）=675000+50000=725000（元）．
③设x天进行粗加工，y天进行精加工，
由题意，得
解得：
所以方案三获利为：7500×6×10+4500×16×5=810000（元）．
由于810000＞725000＞630000，所以选择方案三获利最多．
答：选择方案三获利最多．
【点评】选择获利最多方案，用到的关系式为每吨获利×吨数=总获利，注意精加工和粗加工每吨获利不同．
25．（10分）如图，线段AB=10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．） 当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x．
（1）当x=3时，线段PQ的长为 2 ．
（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长．
（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）结合图形，表示出AP、AQ的长，可得PQ；
（2）当P，Q两点第一次重合时，点P运动路程+点Q运动路程=AB的长，列方程可求得；
（3）点Q落在线段AP的中点上有以下三种情况：①点Q从点B出发未到点A；②点Q到达点A后，从A到B；
③点Q第一次返回到B后，从B到A，根据AP=2AQ列方程可得．
【解答】解：（1）根据题意，当x=3时，P、Q位置如下图所示：
此时：AP=3，BQ=3×3=9，AQ=AB﹣BQ=10﹣9=1，
∴PQ=AP﹣AQ=2；
（2）设x秒后P，Q第一次重合，得：x+3x=10
解得：x=2.5，
∴BQ=3x=7.5；
（3）设x秒后，点Q恰好落在线段AP的中点上，根据题意，
①当点Q从点B出发未到点A时，即0＜x＜时，有
x=2（10﹣3x），
解得；
②当点Q到达点A后，从A到B时，即＜x＜时，有
x=2（3x﹣10），
解得 x=4；
③当点Q第一次返回到B后，从B到A时，即＜x＜10时，有
x=2（30﹣3x），
解得；
综上所述：当x=或x=4或x=时，点Q恰好落在线段AP的中点上．
故答案为：（1）2．
【点评】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，解答（3）题，对x分类讨论是解题关键，属中档题．
2017-2018学年湖北省襄阳市襄州区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．﹣2与2互为倒数 B．﹣2＜0
C． D．﹣2与互为相反数
3．（3分）下列合并同类项的正确结果是（ ）
A．2a+b=2ab B．a2+a2=a4
C．3x2﹣x2=3 D．3x2y﹣2yx2=x2y
4．（3分）当|a+3|+（b﹣4）2取得最小值时，a+b的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
5．（3分）关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（ ）
A．10 B．﹣8 C．﹣10 D．8
6．（3分）有x辆客车，若每辆客车乘50人，则还有10人不能上车；若每辆车乘52人，则只有2人不能上车，下列4个方程正确的是（ ）
A．50x+10=52x﹣2 B．50x﹣10=52x﹣2 C．50x+10=52x+2 D．50x﹣10=52x+2
7．（3分）如图，下列不正确的几何语句是（ ）
A．直线AB与直线BA是同一条直线
B．射线OA与射线OB是同一条射线
C．射线OA与射线AB是同一条射线
D．线段AB与线段BA是同一条线段
8．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两条直线相交，只有一个交点
C．两点确定一条直线
D．过平面上的任意三点，一定能作三条直线
9．（3分）用一副三角板可以画出一些指定的角，下列各角中，不能用一副三角板画出的是（ ）
A．15° B．75° C．85° D．105°
10．（3分）如图，将正方体的平面展开图重新折成正方体后，“快”字对面的字是（ ）
A．新 B．年 C．快 D．乐
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）襄阳电视台天气预报，元月7日襄州区的气温是﹣3℃﹣2℃，则这一天的温差是 ℃．
12．（3分）已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是 ．
13．（3分）互联网“微商”经营已成为大众创业的新途径，某微商服务平台有一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的进价为 元．
14．（3分）将21.54°用度、分、秒表示为 ．
15．（3分）已知关于x的方程kx=5﹣x，有正整数解，则整数k的值为 ．
16．（3分）在平面上∠AOB=100°，∠BOC=80°，OM平分∠AOB，ON平分∠COB，则∠MON的度数是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（12分）计算：
（1）65×4﹣（﹣2.5）÷（﹣0.1）；
（2）﹣23×5﹣（﹣2）4÷4；
（3）（4a2b﹣3ab）+（5a2b+4ab）；
（4）．
18．（16分）解下列方程：
（1）2x﹣（x+10）=5x+2（x﹣1）；
（2）3x+；
（3）；
（4）．
19．（5分）化简求值：2（x3﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3y2+2x3），其中x=﹣2，y=﹣3．
20．（5分）若一个锐角的余角的补角比这个锐角的补角的一半多15°，求这个锐角的度数．
21．（5分）如图，已知线段a、b、c（a＞c），用圆规和直尺作一条线段，使它等于a+2b﹣c．
22．（7分）为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水14吨，交水费25元．该市规定的每户月用水标准量是多少吨？
23．（8分）如图，∠AOB=100°，∠AOC为锐角，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．
（1）如果∠AOC=40°，求∠MON的度数；
（2）如果∠AOC为任意一个锐角，你能求出∠MON的度数吗？若能，请求出来；若不能，说明为什么？
24．（4分）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t；如果进行精加工，每天可加工6t，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
25．（10分）如图，线段AB=10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．） 当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x．
（1）当x=3时，线段PQ的长为 ．
（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长．
（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年湖北省襄阳市襄州区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】由相反数的定义容易得出结果．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的定义；熟记相反数的定义是解决问题的关键．
2．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．﹣2与2互为倒数 B．﹣2＜0
C． D．﹣2与互为相反数
【分析】从互为倒数的定义入手，可判断出A是否正确，根据任何负数都小于0得出B的正确性，根据负数的比较大小方法，绝对值大的反而小，判断出C，根据互为相反数的定义，判断出D．
【解答】解：A．﹣2与2互为倒数，从互为倒数的定义入手，两数数相乘等于1，而﹣2×2=﹣4，故选项A错误；
B．﹣2＜0，根据任何负数都小于0，直接得出答案，故选项B正确；
C．﹣2＞﹣，根据负数的比较大小方法，绝对值大的反而小，可以得出，|﹣2|＞||，故﹣2＜﹣，故选项C错误；
D．﹣2与互为相反数，根据互为相反数的定义，即和为0，﹣2+（﹣）=≠0，故选项D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数大小的比较以及互为相反数和互为倒数的定义，题目难度不大，关键是区分这几个定义．
3．（3分）下列合并同类项的正确结果是（ ）
A．2a+b=2ab B．a2+a2=a4
C．3x2﹣x2=3 D．3x2y﹣2yx2=x2y
【分析】利用合并同类项的法则：系数相加作为系数，字母和字母的次数不变，即可作出判断．
【解答】解：A、2a与b不是同类项，不能合并，故A错误；
B、a2+a2=2a2，故B错误；
C、3x2﹣x2=2x2，故C错误；
D、同类项相减，字母不变，系数相减，则3x2y﹣2yx2=x2y，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项的法则，理解法则是关键．
4．（3分）当|a+3|+（b﹣4）2取得最小值时，a+b的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则a+b=﹣3+4=1．
故选：A．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
5．（3分）关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（ ）
A．10 B．﹣8 C．﹣10 D．8
【分析】在题中，可分别求出x的值，当然两个x都是含有m的代数式，由于两个x相等，可列方程，从而进行解答．
【解答】解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2
由题意知=m﹣2
解之得：m=﹣8．
故选：B．
【点评】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数．
6．（3分）有x辆客车，若每辆客车乘50人，则还有10人不能上车；若每辆车乘52人，则只有2人不能上车，下列4个方程正确的是（ ）
A．50x+10=52x﹣2 B．50x﹣10=52x﹣2 C．50x+10=52x+2 D．50x﹣10=52x+2
【分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后列出方程解答即可．
【解答】解：设有x辆客车，根据题意可得：50x+10=52x+2．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
7．（3分）如图，下列不正确的几何语句是（ ）
A．直线AB与直线BA是同一条直线
B．射线OA与射线OB是同一条射线
C．射线OA与射线AB是同一条射线
D．线段AB与线段BA是同一条线段
【分析】根据射线的概念：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线；所以，射线的端点不同，则射线不同．
【解答】解：A正确，因为直线向两方无限延伸；
B正确，射线的端点和方向都相同；
C错误，因为射线的端点不相同；
D正确．
故选：C．
【点评】解答本题必须结合图形，否则易误选B．
8．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两条直线相交，只有一个交点
C．两点确定一条直线
D．过平面上的任意三点，一定能作三条直线
【分析】根据直线公理、线段公理进行逐一分析判断．
【解答】解：A、两点之间，线段最短，是线段公理，故该选项正确；
B、根据直线公理“两点确定一条直线”，则两条直线相交，只有一个交点，故该选项正确；
C、两点确定一条直线，是直线公理，故该选项正确；
D、当三点共线时，则只能确定一条直线，故该选项错误．
【点评】此题考查了直线公理、线段公理．
9．（3分）用一副三角板可以画出一些指定的角，下列各角中，不能用一副三角板画出的是（ ）
A．15° B．75° C．85° D．105°
【分析】一副三角板中的度数有：90°、60°、45°、30°；用三角板画出角，无非是用角度加减法，根据选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、15°的角，45°﹣30°=15°；
B、75°的角，45°+30°=75°；
C、85°的角，不能直接利用三角板画出；
D、105°的角，45°+60°=105°．
故选：C．
【点评】此题考查的知识点是角的计算，关键是用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．
10．（3分）如图，将正方体的平面展开图重新折成正方体后，“快”字对面的字是（ ）
A．新 B．年 C．快 D．乐
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“祝”与“新”是相对面，
“你”与“年”是相对面，
“快”与“乐”是相对面．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）襄阳电视台天气预报，元月7日襄州区的气温是﹣3℃﹣2℃，则这一天的温差是 5 ℃．
【分析】用最高气温减去最低气温，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】解：2﹣（﹣3）=3+2=5℃．
故答案为：5；
【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
12．（3分）已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是 7 ．
【分析】把题中的代数式2x+4y+1变为x+2y的形式，再直接代入求解．
【解答】解：∵x+2y=3，
∴2x+4y+1=2（x+2y）+1
=2×3+1=7．
故答案为：7．
【点评】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x+2y的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
13．（3分）互联网“微商”经营已成为大众创业的新途径，某微商服务平台有一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的进价为 180 元．
【分析】设这款服装每件的进价为x元，根据利润=售价﹣进价建立方程求出x的值就可以求出结论．
【解答】解：设这款服装每件的进价为x元，由题意，得
300×0.8﹣x=60，
解得：x=180．
故这款服装每件的进价为180元．
故答案是：180．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
14．（3分）将21.54°用度、分、秒表示为 21°32′24″ ．
【分析】根据不到一度的化成分，不得哦一分的化成秒，可得答案．
【解答】解：21.54°=21°32′24″，
故答案为：21°32′24″．
【点评】本题考查了度分秒的换算，大的单位化小的单位乘以进率，小的单位化大的单位除以进率．
15．（3分）已知关于x的方程kx=5﹣x，有正整数解，则整数k的值为 0或4 ．
【分析】根据方程的解是正整数，可得5的约数．
【解答】解：由kx=5﹣x，得
x=．
由关于x的方程kx=5﹣x，有正整数解，得
5是（k+1）的倍数，
得k+1=1或k+1=5．
解得k=0或k=4，
故答案为：0或4．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于k的方程是解题关键．
16．（3分）在平面上∠AOB=100°，∠BOC=80°，OM平分∠AOB，ON平分∠COB，则∠MON的度数是 10°或90° ．
【分析】注意此题要分两种情况：①当OC落在∠AOB的内部时，②当OC落在∠AOB的外部时；利用角的和差关系计算．
【解答】解：分两种情况：
①当OC落在∠AOB的内部时：
∵OM平分∠AOB，
∴∠BOM=∠AOB=×100°=50°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠BON=∠BOC=×80°=40°，
∴∠MON=∠BOM﹣∠BON=50°﹣40°=10°；
②当OC落在∠AOB的外部时：
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠BOM=∠AOB=×100°=50°，
∠BON=∠BOC=×80°=40°，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=50°+40°=90°．
综上所述，∠MON的度数是10°或90°．
故答案是：10°或90°．
【点评】此题主要考查了角的计算，做题时要注意分情况讨论，不能片面的考虑一种情况，题目比较典型．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（12分）计算：
（1）65×4﹣（﹣2.5）÷（﹣0.1）；
（2）﹣23×5﹣（﹣2）4÷4；
（3）（4a2b﹣3ab）+（5a2b+4ab）；
（4）．
【分析】（1）先计算乘除法，再计算减法即可得；
（2）根据有理数混合运算顺序和运算法则计算可得；
（3）先去括号，再合并同类项即可得；
（4）先去括号，再合并同类项即可得．
【解答】解：（1）原式=260﹣2.5×10
=260﹣25
=235；
（2）原式=﹣8×5﹣16÷4
=﹣40﹣4
=﹣44；
（3）原式=4a2b﹣3ab+5a2b+4ab=9a2b+ab；
（4）原式=3x2﹣（5x﹣x+3+2x2）
=3x2﹣5x+x﹣3﹣2x2
=x2﹣x﹣3．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则及去括号、合并同类项的法则是解题的关键．
18．（16分）解下列方程：
（1）2x﹣（x+10）=5x+2（x﹣1）；
（2）3x+；
（3）；
（4）．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解；
（2）（3）（4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
【解答】解：（1）2x﹣（x+10）=5x+2（x﹣1），
去括号得2x﹣x﹣10=5x+2x﹣2，
移项得2x﹣x﹣5x﹣2x=10﹣2
合并同类项得﹣6x=8，
系数化为1，得x=﹣；
（2）3x+，
18x+3（x﹣1）=18﹣2（2x﹣1），
18x+3x﹣3=18﹣4x+2，
18x+3x+4x=18+2+3，
25x=23，
x=；
（3），
4x+5（x﹣1）=15（x﹣1）﹣16x，
4x+5x﹣5=15x﹣15﹣16x，
4x+5x﹣15x+16x=﹣15+5，
10x=﹣10，
x=﹣1；
（4），
原方程可化为﹣x=﹣1，
3（x﹣4）﹣12x=2（10﹣x）﹣12，
3x﹣12﹣12x=20﹣2x﹣12，
3x﹣12x+2x=20﹣12+12，
﹣7x=20，
x=﹣．
【点评】考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
19．（5分）化简求值：2（x3﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3y2+2x3），其中x=﹣2，y=﹣3．
【分析】先去括号，然后合并同类项即可化简题目中的式子，然后将x、y的值代入即可解答本题．
【解答】解：2（x3﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3y2+2x3）
=2x3﹣4y2﹣x+2y﹣x+3y2﹣2x3
=﹣y2﹣2x+2y，
当x=﹣2，y=﹣3时，
原式=﹣（﹣3）2﹣2×（﹣2）+2×（﹣3）=﹣9+4+（﹣6）=﹣11．
【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
20．（5分）若一个锐角的余角的补角比这个锐角的补角的一半多15°，求这个锐角的度数．
【分析】设这个角为x，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可．
【解答】解：设这个锐角为x°，
由题意得180﹣（90﹣x）=（180﹣x）+15
解得，x=10
答：这个锐角为10°．
【点评】本题考查了余角与补角的定义，熟记“余角的和等于90°，补角的和等于180°”是解题的关键．
21．（5分）如图，已知线段a、b、c（a＞c），用圆规和直尺作一条线段，使它等于a+2b﹣c．
【分析】首先做射线，在射线上依次截取AB=a，BC=CD=b，再截取DE=c，进而得出AE即为所求．
【解答】解：如图，线段AE即为所求作的线段．
【点评】此题主要考查了复杂作图，正确截取已知线段是解题关键．
22．（7分）为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水14吨，交水费25元．该市规定的每户月用水标准量是多少吨？
【分析】用14×1.5与25比较可得出该用户用水超过了标准量，设该市规定的每户月用水标准量是x吨，根据1.5×标准用水量+2.5×超出标准量部分=25，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵14×1.5=21（元）＜25元，
∴该用户用水超过了标准量．
设该市规定的每户月用水标准量是x吨，
根据题意得：1.5x+2.5 （14﹣x）=25，
解得：x=10．
答：该市规定的每户每月用水标准量是10吨．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
23．（8分）如图，∠AOB=100°，∠AOC为锐角，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．
（1）如果∠AOC=40°，求∠MON的度数；
（2）如果∠AOC为任意一个锐角，你能求出∠MON的度数吗？若能，请求出来；若不能，说明为什么？
【分析】（1）依据OM平分∠BOC，ON平分∠AOC可得∠MOC=∠BOC，∠NOC=∠AOC，再根据∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠BOC﹣∠AOC）进行计算即可；
（2）结合图形，根据角的和差以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB的关系，即可求出∠MON的度数．
【解答】解：（1）因为OM平分∠BOC，ON平分∠AOC
所以∠MOC=∠BOC，∠NOC=∠AOC
所以∠MON=∠MOC﹣∠NOC
=（∠BOC﹣∠AOC）
=（100°+40°﹣40°）
=50°．
（2）可以．
同理，∠MON=∠MOC﹣∠NOC
=（∠BOC﹣∠AOC）
=（∠BOA+∠AOC﹣∠AOC）
=∠BOA
=50°．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及角的计算，此类问题注意结合图形，运用角的和差和角平分线的定义求解．
24．（4分）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t；如果进行精加工，每天可加工6t，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
【分析】方案1：把140吨蔬菜全部粗加工，每吨获利4500元；
方案2：15天精加工，每天加工6t，每吨获利7500；剩下的50t直接销售，每吨获利1000元；
方案3：等量关系为：精加工天数+粗加工天数=15，精加工吨数+粗加工吨数=140．
【解答】解：①方案一获利为：4500×140=630000（元）．
②方案二获利为：7500×（6×15）+1000×（140﹣6×15）=675000+50000=725000（元）．
③设x天进行粗加工，y天进行精加工，
由题意，得
解得：
所以方案三获利为：7500×6×10+4500×16×5=810000（元）．
由于810000＞725000＞630000，所以选择方案三获利最多．
答：选择方案三获利最多．
【点评】选择获利最多方案，用到的关系式为每吨获利×吨数=总获利，注意精加工和粗加工每吨获利不同．
25．（10分）如图，线段AB=10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．） 当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x．
（1）当x=3时，线段PQ的长为 2 ．
（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长．
（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）结合图形，表示出AP、AQ的长，可得PQ；
（2）当P，Q两点第一次重合时，点P运动路程+点Q运动路程=AB的长，列方程可求得；
（3）点Q落在线段AP的中点上有以下三种情况：①点Q从点B出发未到点A；②点Q到达点A后，从A到B；
③点Q第一次返回到B后，从B到A，根据AP=2AQ列方程可得．
【解答】解：（1）根据题意，当x=3时，P、Q位置如下图所示：
此时：AP=3，BQ=3×3=9，AQ=AB﹣BQ=10﹣9=1，
∴PQ=AP﹣AQ=2；
（2）设x秒后P，Q第一次重合，得：x+3x=10
解得：x=2.5，
∴BQ=3x=7.5；
（3）设x秒后，点Q恰好落在线段AP的中点上，根据题意，
①当点Q从点B出发未到点A时，即0＜x＜时，有
x=2（10﹣3x），
解得；
②当点Q到达点A后，从A到B时，即＜x＜时，有
x=2（3x﹣10），
解得 x=4；
③当点Q第一次返回到B后，从B到A时，即＜x＜10时，有
x=2（30﹣3x），
解得；
综上所述：当x=或x=4或x=时，点Q恰好落在线段AP的中点上．
故答案为：（1）2．
【点评】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，解答（3）题，对x分类讨论是解题关键，属中档题．
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